\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}

%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\thesection.\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\thesection.\arabic{enumi}.\arabic{enumii}}}


%Macros
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\segment}[2]{\left [ #1, #2 \right ]}
\newcommand{\ouvgauche}[2]{\left ] #1, #2 \right ]}
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}
\newcommand{\limite}[3]{\lim_{#1 \to #2} \limits #3}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3  \ d#4}}
\newcommand{\matrice}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\newcommand{\systeme}[1]{\left \{ \begin{array}{l}  #1 \end{array} \right.}




\begin{center}{\Large \textsc{{\'E}coles d'Ing{\'e}nieurs Associ{\'e}es}}\end{center}

\begin{center}{\huge CONCOURS {\'E}IA 2004}\end{center}

\begin{center}{\Large \textsc{{\'E}preuve de math{\'e}matiques}}\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\framebox{\begin{minipage}{11 cm}
\begin{center}\textbf{Avis aux candidats}\end{center}

\begin{itemize}
\item Aucun document n'est autoris{\'e}
\item La calculatrice est interdite
\item Le probl{\`e}me et les deux exercices sont ind{\'e}pendants
\item Le sujet comporte six pages.
\end{itemize}
\end{minipage}}
\end{center}

\bigskip
\begin{center}
\textit{On attachera la plus grande importance {\`a} la qualit{\'e} de la r{\'e}daction.}
\end{center}

\begin{center}Dur{\'e}e : 3 heures\end{center}

\begin{center}Session du 24 mai 2004\end{center}


\vspace{2cm}
\section{Exercice I}

{\`A} tout couple de r{\'e}els $(x, y)$ on associe, dans $\mathcal{M}_{3}(\R)$, la matrice :
$$M(x, y) = \matrice{1-x+y & 1-x & y-z \\ x-y & x & x-y \\ x-1 & x-1 & z}$$

On pose $A = M(0, 0)$.

\begin{enumerate}
\item \ %Question 1.1
\begin{enumerate}
\item \ %1.1.1

Quel est le rang de $A$ ?
\item \ %1.1.2

D{\'e}terminer les valeurs propres de $A$.
\item \ %1.1.3

$A$ est-elle diagonalisable ?
\end{enumerate}

\item \ %Question 1.2

On donne les matrices $B = M(1, 0) - A$ et $C = M(0, 1) - A$.
Calculer $B$ et $C$ et montrer que pour tout $(x, y) \inÊ\R^{2}$ :
$$M(x, y) = A + x B + yC$$

\item \ %Question 1.3

Calculer $A^{2}$, $B^{2}$ et $C^{2}$ en fonction de $A$, $B$ et $C$.

\textit{Pour la suite de l'exercice on admettra, sans v{\'e}rification, que :}
$$AB = BA = AC = CA = BC = CB = 0$$

\item \ %Question 1.4

Montrer que, pour tous r{\'e}els $x$, $x'$, $y$ et $y'$, on a 
$$M(x, y) M(x', y') = M(xx', yy')$$

\item \ %Question 1.5

En d{\'e}duire l'expression de $\left [M(x, y)\right ]^{n}$ pour tout entier naturel non nul $n$ et tous r{\'e}els $x$ et $y$.

\item \ %Question 1.6

Apr{\`e}s avoir v{\'e}rifi{\'e} que $M(1, 1)$ est la matrice identit{\'e}, montrer que si $x$ et $y$ sont non nuls la matrice $M(x, y)$ est inversible puis d{\'e}terminer $\left [M(x, y)\right ]^{-1}$.

\item \ %Question 1.7

Calculer $\left [M(x, y)\right ]^{n}$ pour tout entier relatif $n$ et tous r{\'e}els $x$ et $y$ non nuls.
\end{enumerate}

\section{Exercice 2}

Soit $k$ un entier naturel, on consid{\`e}re la fonction $S_{k}$ d{\'e}finie par :
$$S_{k}(x) = \somme{n=0}{+{\infty}}{n^{k} x^{n}}$$

\textit{Lorsque ce sera n{\'e}cessaire on conviendra que $0^{0} = 1$.}

\begin{enumerate}
\item \ %Question 2.1

Donner l'intervalle de d{\'e}finition de $S_{k}$. On le notera $I$.

\item \ %Question 2.2

{\'E}tablir une relation entre $S_{k+1}$ et $\dfrac{dS_{k}}{dx}$.

\item \ %Question 2.3

Pour $x \in I$, calculer $S_{0}(x)$, puis $S_{1}(x)$ et $S_{2}(x)$.

\item \ %Question 2.4

Montrer qu'il existe un unique polyn{\^o}me $P_{k}$ tel que :
$$\forall x \in I, S_{k}(x) = \dfrac{P_{k}(x)}{\left(1-x\right)^{k+1}}$$

\item \ %Question 2.5

Donner $P_{0}$, $P_{1}$ et $P_{2}$.

\item \ %Question 2.6

On note $P'_{k}$ le polyn{\^o}me d{\'e}riv{\'e} de $P_{k}$. {\'E}tablir la relation :
$$\forall x \in I, P_{k+1}(x) = x (1-x) P'_{k}(x) + (k+1) x P_{k}(x)$$

\item \ %Question 2.7

Montrer que le polyn{\^o}me $P_{k}$ est de degr{\'e} $k$, unitaire (\textit{coefficient du terme de plus haut degr{\'e} {\'e}gal {\`a} $1$}) et qu'il s'annule en $0$ d{\`e}s que $k {\geq}Ê1$.

\item %Question 2.8
\textbf{Application}

Donner la valeur des s{\'e}ries :

$$A = \somme{n=0}{+{\infty}}{\dfrac{n^{2}}{4^{n}}} \quad \mbox{et} \quad B = \somme{n=0}{+{\infty}}{\dfrac{n^{2}}{2^{n+(-1)^{n}}}}$$
\end{enumerate}

\section{Probl{\`e}me}

Le but de ce probl{\`e}me est d'{\'e}tablir le caract{\`e}re semi-convergent de l'int{\'e}grale
$$\integ{0}{+{\infty}}{\dfrac{\sin{t}}{t}}{t}$$
puis d'en calculer la valeur.


\begin{enumerate}
\item %Question 3.1
\textbf{\quad Partie 1}

On consid{\`e}re la fonction $\varphi$ d{\'e}finie sur $\segment{0}{\pi/2}$ par :
$$\varphi(x) = \systeme{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sin{x}} \mbox{ si } 0 < x {\leq} \dfrac{\pi}{2} \\
0 \mbox{ si } x = 0}$$

\begin{enumerate}
\item \ %3.1.1

Donner un {\'e}quivalent polynomial simple de $\varphi(x)$ au voisinage de $0$.

\item \ %3.1.2

{\'E}tablir que $\varphi$ est d{\'e}rivable en $0$ et calculer $\varphi'(0)$.

\item \ %3.1.3

Donner l'expression de la d{\'e}riv{\'e}e $\varphi'(x)$ sur l'intervalle $\ouvgauche{0}{\pi/2}$ puis en donner un {\'e}quivalent polynomial au voisinage de $0$.

\item \ %3.1.4

Montrer que la fonction $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur l'intervalle ferm{\'e} $\segment{0}{\pi/2}$.
\end{enumerate}

\item %Question 3.2
\textbf{\quad Partie 2}

On consid{\`e}re maintenant une fonction $f$ quelconque de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur l'intervalle ferm{\'e} $\segment{0}{\pi/2}$.
On note $f'$ sa fonction d{\'e}riv{\'e}e et, pour tout entier $n {\geq} 0$, on pose :
$$I_{n} = \integ{0}{\pi/2}{f(t) \sin{nt}}{t}$$

\begin{enumerate}
\item \ %3.2.1

Montrer que la suite de terme g{\'e}n{\'e}ral
$$\integ{0}{\pi/2}{f'(t) \cos{nt}}{t}$$
est born{\'e}e.

\item \ %3.2.2

Montrer qu'il existe un r{\'e}el positif $M$ tel que, pour tout $n {\geq} 1$ :
$$\abs{I_{n}} {\leq}Ê\dfrac{M}{n}$$

\item \ %3.2.3

En d{\'e}duire la limite de $I_{n}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
\end{enumerate}

\item %Question 3.3
\textbf{\quad Partie 3}

On pose, pour tout entier naturel $n {\geq} 1$ :
$$J_{n} = \integ{0}{\pi/2}{\dfrac{\sin{(2n+1)x}}{\sin(x)}}{x}$$

\begin{enumerate}
\item \ %3.3.1

Montrer que $J_{n}$ est bien d{\'e}finie.

\item \ %3.3.2

Calculer $J_{n+1} - J_{n}$.

\item \ %3.3.3

En d{\'e}duire que, pour tout entier $n$ :
$$J_{n} = \dfrac{\pi}{2}$$
\end{enumerate}

\item %Question 3.4
\textbf{\quad Partie 4}

Soit $a$ un r{\'e}el strictement positif.
\begin{enumerate}
\item \ %3.4.1

Montrer que l'int{\'e}grale impropre
$$\integ{a}{+{\infty}}{\dfrac{\abs{\sin{t}}}{t}}{t}$$
est de m{\^e}me nature que
$$\integ{a}{+{\infty}}{\dfrac{\abs{\cos{t}}}{t}}{t}$$

\item \ %3.4.2

Apr{\`e}s avoir {\'e}tabli que, pour tout r{\'e}el $t$, $\sin^{2}{t} {\leq} \abs{\sin{t}}$ et $\cos^{2}{t} {\leq}Ê\abs{\cos{t}}$, montrer que l'int{\'e}grale impropre
$$\integ{0}{+{\infty}}{\dfrac{\sin{t}}{t}}{t}$$
n'est pas absolument convergente.

\item \ %3.4.3

{\`A} l'aide d'une int{\'e}gration par parties montrer que l'int{\'e}grale
$$\integ{a}{+{\infty}}{\dfrac{\sin{t}}{t}}{t}$$
converge

\item \ %3.4.4

En d{\'e}duire la convergence de
$$\integ{0}{+{\infty}}{\dfrac{\sin{t}}{t}}{t}$$
\end{enumerate}

\item %Question 3.5
\textbf{\quad Partie 5}

On revient {\`a} la fonction $\varphi$ de la partie 1 et on lui applique les r{\'e}sultats {\'e}tablis aux parties 2 et 3.

\begin{enumerate}
\item \ %3.5.1

Calculer
$$\limite{n}{+{\infty}}{\integ{0}{\pi/2}{\varphi(x) \sin{(2n+1)x}}{x}}$$
puis
$$\limite{n}{+{\infty}}{\integ{0}{\pi/2}{\dfrac{\sin{(2n+1)x}}{x}}{x}}$$

\item \ %3.5.2

{\`A} l'aide du changement de variable $t = (2n+1)x$, en d{\'e}duire la valeur de l'int{\'e}grale :
$$\integ{0}{+{\infty}}{\dfrac{\sin{t}}{t}}{t}$$
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
