\documentclass{article}
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\begin{document}
\parindent=0pt

%Macros perso
\renewcommand{\leq}{\,\leqslant\,}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\tq}{\mid}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\segment}[2]{\left [ #1, #2 \right ]}
\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\vecteur}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\matrice}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3  \ d#4}}
\newcommand{\intdouble}[4]{\displaystyle{\iint_{#1}#2 \, d#3 d#4}}
\newcommand{\limite}[3]{\lim_{#1 \to #2} \limits #3}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}


\begin{center}
\textbf{{\large \underline{Math{\'e}matiques}}}

\bigskip
\textbf{{\small Dur{\'e}e : 3 heures. - Coefficient : 3}}

\textbf{\textit{Les exercices sont ind{\'e}pendants.}}

\textbf{\textit{La calculatrice personnelle est interdite.}}
\end{center}



\begin{center}\textbf{{\large Exercice 1}}\end{center}

%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{}
\renewcommand{\labelenumii}{\Roman{enumi}.\arabic{enumii}. }
\renewcommand{\labelenumiii}{\noindent\alph{enumiii}) }

Notations : $\mathcal{M}_{3}(\C)$ d{\'e}signe l'ensemble des matrices carr{\'e}es de dimension $3$ sur le corps $\C$.
$a$, $b$, $c$ sont des nombres complexes.
On note $I$, $J$ et $M(a, b, c)$ les matrices suivantes

\centerline{$I = \matrice{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}$ \quad $J = \matrice{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0}$ \quad $M(a, b, c) = \matrice{a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a}$}

On note $j = e^{2i\pi/3}$. $j^{2} = \conj{j} = e^{4i\pi/3}$ est une autre racine cubique de l'unit{\'e}.

\begin{center}\textbf{Partie I}\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Partie I
\begin{enumerate}
\item %Question I.1
Calculer $J^{2}$ et $J^{3}$.

\item %Question I.2
D{\'e}terminer les valeurs propres de $J$. La matrice $J$ est-elle diagonalisable sur le corps $\C$ ? L'est-elle sur le corps $\R$ ?

\item %Question I.3
Pour chaque valeur propre de $J$ d{\'e}terminer le vecteur propre associ{\'e} ayant $1$ pour premi{\`e}re composante, et une matrice $P$ de passage {\`a} une base de vecteurs propres.

\item %Question I.4
Exprimer la matrice $M(a, b, c)$ {\`a} l'aide des matrices $I$, $J$ et $J^{2}$.
En d{\'e}duire que $H = \set{M(a, b, c) \tq (a, b, c) \in \C^{3}}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{3}(\C)$ pour les lois usuelles (somme et loi externe).
Pr{\'e}cisez la dimension de $H$.

\item %Question I.5
Montrer que les vecteurs propres (complexes) de $J$ sont aussi vecteurs propres de $J^{2}$ ainsi que de $M(a, b, c)$.
En d{\'e}duire les valeurs propres de $M(a, b, c)$ {\`a} l'aide de celles de $J$, puis en fonction du nombre complexe $j$.

\item %Question I.6
Montrer que tout {\'e}l{\'e}ment de $H$ est diagonalisable sur $\C$.
Donner la d{\'e}composition de $M(a, b, c)$ en fonction de la matrice $P$ du I.3 et d'une matrice diagonale que l'on explicitera.

\item %Question I.7
On suppose ici que les coefficients $(a, b, c)$ sont r{\'e}els.
\begin{enumerate}
\item Montrer que toutes les valeurs propres de $M(a, b, c)$ sont r{\'e}elles si et seulement si $b = c$.
\item D{\'e}terminer les valeurs propres de $M(a, b, c)$ ainsi que les \textit{sous-espaces propres r{\'e}els} associ{\'e}s.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie II}\end{center}

\item %Partie II
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien r{\'e}el de dimension $3$, de base orthonorm{\'e}e $\mathcal{B} = \left(\vecteur{i}, \vecteur{j}, \vecteur{k}\right)$.
On note $Id$ l'endomorphisme identit{\'e} de $E$.
Dans cette partie, on s'int{\'e}resse {\`a} une {\'e}tude g{\'e}om{\'e}trique des endomorphismes $f_{a, b, c}$ diff{\'e}rents de $Id$ dont la matrice relativement {\`a} la base $\mathcal{B}$ est $M(a, b, c)$, en supposant que les coefficients $(a, b, c)$ sont r{\'e}els.
Il est recommand{\'e} d'utiliser les r{\'e}sultats trouv{\'e}s dans la premi{\`e}re partie.

\begin{enumerate}
\item %Question II.1
Montrer qu'il existe deux couples $(a, b)$ tels que $f_{a, b, b}$ ait pour seules valeurs propres $1$ et $-1$.

Pr{\'e}ciser les sous-espaces propres associ{\'e}s.
Donner la nature g{\'e}om{\'e}trique de $f_{a, b, b}$ dans les deux cas.

\item %Question II.2
Montrer qu'il existe deux couples $(a, b)$ tels que $f_{a, b, b}$ ait pour seules valeurs propres $1$ et $0$.

Pr{\'e}ciser les sous-espaces propres associ{\'e}s.
Donner la nature g{\'e}om{\'e}trique de $f_{a, b, b}$ dans les deux cas.

\item %Question II.3
\begin{enumerate}
\item {\`A} quelles conditions n{\'e}cessaires et suffisantes une matrice $3 \times 3$ {\`a} coefficients r{\'e}els repr{\'e}sente-t-elle la matrice dans la base $\mathcal{B}$ d'une rotation ?
\item Montrer que $J$ et $J^{2}$ sont des matrices de rotation de $E$, pr{\'e}ciser le cosinus de leurs angles de rotation.
\item Montrer que $f_{a,b,c}$ est une rotation vectorielle si et seulement si $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ et $a+b+c = 1$.
En d{\'e}duire que $ab + bc + ca = 0$.

Pr{\'e}ciser l'axe de rotation ainsi que le cosinus de son angle de rotation en fonction de $(a, b, c)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\begin{center}\textbf{{\large Exercice 2}}\end{center}

%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}. }
\renewcommand{\labelenumii}{\noindent\alph{enumii}) }

Dans ce qui suit, la fonction $f$ est d{\'e}finie et d{\'e}rivable sur $\R$.

On consid{\`e}re les {\'e}quations diff{\'e}rentielles, de fonction inconnue $f$ en la variable r{\'e}elle $x$
$$f'(x) + x f(x) = 0 \leqno{(E_{1})}$$
$$f'(x) + x f(x) = x^{3} \leqno{(E_{2})}$$

\begin{enumerate}
\item %Question 1
Donner la solution g{\'e}n{\'e}rale de $(E_{1})$ et l'unique solution $f_{0}$ telle que $f_{0}(0) = 1$.

\item %Question 2
Donner la solution g{\'e}n{\'e}rale de $(E_{2})$, et la fonction $f_{1}$ solution de $(E_{2})$ et telle que $f_{1}(0) = 0$.

\medskip
Dans la suite de l'exercice, on pose $F(x) = e^{\frac{-x^{2}}{2}}$ et on note $I(R) = \integ{0}{R}{e^{\frac{-x^{2}}{2}}}{x}$.

\item %Question 3
\begin{enumerate}
\item Montrer que $A = \integ{0}{{\infty}}{F(t)}{t} = \limite{R}{+{\infty}}{I(R)}$ existe.

\item Soit $J(R) = \intdouble{C}{F(x) F(y)}{x}{y}$ avec $C = \segment{0}{R} \times \segment{0}{R} = \segment{0}{R}^{2}$.

Exprimer $J(R)$ en fonction de $I(R)$.

\item Soit $K(R) = \intdouble{D}{F(x) F(y)}{x}{y}$ avec $D = \set{(x, y) \in \R^{2} \tq 0 {\leq} x, 0 {\leq} y, x^{2} + y^{2} {\leq} R^{2}}$.

Montrer que pour tout $R$ positif, on a $K(R) {\leq} J(R) {\leq} K\left(R\sqrt{2}\right)$.

\item Calculer la valeur de $K(R)$ par passage en coordonn{\'e}es polaires.
Calculer $\limite{R}{+{\infty}}{K(R)}$ et en d{\'e}duire que $A = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$.
\end{enumerate}

\item %Question 4
On consid{\`e}re la fonction $g(x) = \integ{-{\infty}}{+{\infty}}{\cos{(xt)} F(t)}{t}$.
\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence de $g(x)$.
\item En admettant que l'on peut d{\'e}river sous l'int{\'e}grale, d{\'e}montrer que $g$ est solution de $(E_{1})$.
[On transformera l'expression trouv{\'e}e pour $g'(x)$ {\`a} l'aide d'une int{\'e}gration par parties].
\item En d{\'e}duire l'expression de $g(x)$ en fonction de $F(x)$.
\end{enumerate}

\item %Question 5
Donner le d{\'e}veloppement en s{\'e}rie enti{\`e}re (et le rayon de convergence) de $G(x) = \integ{0}{x}{F(t)}{t}$.
\end{enumerate}


\begin{center}\textbf{{\large Exercice 3}}\end{center}

$P(z) = (z - a_{1}) (z - a _{2}) (z - a_{3})$ est un polyn{\^o}me de degr{\'e} $3$ dont les racines complexes $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$ sont distinctes.
On note $b_{1}$, $b_{2}$ les racines du polyn{\^o}me $P'(z)$, d{\'e}riv{\'e} de $P(z)$.
Dans le plan muni d'un rep{\`e}re orthonorm{\'e} $\left(O ; \vecteur{u}, \vecteur{v}\right)$, les points $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$, $B_{1}$, $B_{2}$ sont les points d'affixes respectives $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $b_{1}$, $b_{2}$.

\begin{enumerate}
\item %Question 1
D{\'e}composer en {\'e}l{\'e}ments simples la fraction rationnelle $\dfrac{P'(z)}{P(z)}$.

\item %Question 2
En d{\'e}duire que $\somme{k=1}{3}{\dfrac{1}{(b_{1} - a_{k})}} = 0$.
Que peut-on {\'e}crire pour $b_{2}$ ?

\item %Question 3
En d{\'e}duire que $\somme{k=1}{3}{\lambda_{k} \vecteur{A_{k}B_{1}}} = \vecteur{0}$ pour des coefficients $\lambda_{k}$ r{\'e}els {\`a} pr{\'e}ciser, et que le point $B_{1}$ est {\`a} l'int{\'e}rieur du triangle $(A_{1}, A_{2}, A_{3})$
[On rappelle que le barycentre de trois points dont les coefficients sont strictement positifs est int{\'e}rieur au triangle d{\'e}fini par ces trois points].
Que peut-on dire de $B_{2}$ ?

\item %Question 4
Calculer le coefficient de $z$ dans $P'(z)$ {\`a} l'aide de $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, et en d{\'e}duire que le point $G$, centre de gravit{\'e} du triangle $(A_{1}, A_{2}, A_{3})$ est le milieu du segment $\segment{B_{1}}{B_{2}}$.

\item %Question 5
On se propose de d{\'e}terminer une condition n{\'e}cessaire et suffisante pour que les points $B_{1}$, $B_{2}$ associ{\'e}s au triangle $(A_{1}, A_{2}, A_{3})$ soient confondus.
\begin{enumerate}
\item On suppose pour commencer que le centre du gravit{\'e} $G$ du triangle $(A_{1}, A_{2}, A_{3})$ est {\`a} l'origine.
Que peut-on en d{\'e}duire pour le coefficient de $z^{2}$ dans $P(z)$ ?
D{\'e}montrer que dans ce cas on a $B_{1} = B_{2}$ si et seulement si $(A_{1}, A_{2}, A_{3})$ est {\'e}quilat{\'e}ral de cercle circonscrit de centre $O$.
\item En d{\'e}duire une propri{\'e}t{\'e} analogue dans le cas g{\'e}n{\'e}ral.
\end{enumerate}

\item %Question 6
On se propose de montrer que les angles de vecteurs $\left(\vecteur{A_{1}A_{3}}, \vecteur{A_{1}B_{1}}\right)$ et $\left(\vecteur{A_{1}B_{2}}, \vecteur{A_{1}A_{2}}\right)$ sont {\'e}gaux.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $3(z-b_{1})(z-b_{2}) = (z-a_{1})(z-a_{2}) + (z-a_{2})(z-a_{3}) + (z-a_{3})(z-a_{1})$ pour tout nombre complexe $z$.
\item Montrer que $3(a_{1}-b_{1})(a_{1}-b_{2}) = (a_{1} - a_{2})(a_{1} - a_{3})$, puis que les arguments des nombres complexes $\dfrac{b_{1} - a_{1}}{a_{3} - a_{1}}$ et $\dfrac{a_{2} - a_{1}}{b_{2} - a_{1}}$ sont {\'e}gaux ({\`a} $2\pi$ pr{\`e}s).
\item En d{\'e}duire l'{\'e}galit{\'e} des angles $\left(\vecteur{A_{1}A_{3}}, \vecteur{A_{1}B_{1}}\right)$ et $\left(\vecteur{A_{1}B_{2}}, \vecteur{A_{1}A_{2}}\right)$.
Donner par la m{\^e}me m{\'e}thode deux autres {\'e}galit{\'e}s angulaires.
\item Si dans le triangle $(A_{1}, A_{2}, A_{3})$ le point $B_{1}$ est connu, donner une construction g{\'e}om{\'e}trique du point $B_{2}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}
