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\begin{document}



\section*{A.I}

1) Si $s=-\alpha^2$ avec $\alpha\in (\Z/p\Z)^\times$, on a $x^2+sy^2=(x-\alpha y)(x+\alpha y)$.
Comme $p$ est impair, la matrice $\left(\begin{array}{cc}1&-\alpha\\1&\alpha\end{array}\right)$
est inversible. Donc pour tout $t\in (\Z/p\Z)^\times$, l'ensemble  $\mathcal{A}_p(S,t)$ est en bijection avec
$\{(u,v)\in   (\Z/p\Z)^\times\times(\Z/p\Z)^\times; uv=t\}$ par $(x,y)\mapsto (x-\alpha y,x+\alpha y)$.
Ce dernier ensemble est de cardinal $p-1$; on a donc $A_p(S,t)=p-1$.

2.a Un polyn\^ome de degr\'e deux \`a coefficients dans un corps commutatif est irr\'eductible si et seulement
si il n'a pas de racine dans ce corps. Ici, $X^2+s$ est irr\'eductible sur $\Z/p\Z$. Le choix d'une racine de $X^2+s$ dans
$K$ fournit un homomorphisme
surjectif et injectif d'anneaux
$\Z/p\Z[X]/(X^2+s)\rightarrow K$. Le terme de gauche est un espace vectoriel de dimension $2$ sur $\Z/p\Z$ (de base
$\{1, \overline{X}\}$ o\`u $\overline{X}$ d\'esigne la classe de $X$ modulo $(X^2+s)$). Le corps $K$
est donc d'ordre $p^2$.

2.b On a $F(0)=0$, $F(1)=1$ et $F:K^\times\rightarrow K^\times$ est un homomorphisme de groupes multiplicatifs.
Pour voir que $F$ est additif, il suffit de noter par la formule du bin\^ome de Newton que les coefficients 
binomiaux $\left(\begin{array}{c}p\\i\end{array}\right)$ ($i=1,\ldots,p-1$)
sont divisibles par $p$. C'est clair car $i!\cdot (p-i)!\left(\begin{array}{c}p\\i\end{array}\right)=p!$ est divisible par
$p$. Comme les deux premiers facteurs sont premiers \`a $p$, c'est que $p$ divise le troisi\`eme. Ainsi $F$
est un homomorphisme de corps.
Tout homomorphisme de corps est injectif. Comme $K$ est fini, $F$ est donc bijectif. On a $F\circ F (z)=z^{p^2}$. Comme
$K^\times$ est un groupe d'ordre $p^2-1$, on a pour tout $z\in K^\times$, $z^{p^2-1}=1$, donc $z^{p^2}=z$. 
Cette relation est aussi satisfaite par $0$, donc on a $F\circ F=Id_K$.

Si $z^p=z$, $z$ est racine du polyn\^ome $X^p-X$ de degr\'e $p$. 
Par le petit th\'eor\`eme de Fermat, ce polyn\^ome a exactement $p$ racines. Le noyau de $F-Id_K$ est donc $\Z/p\Z$.

2.c Soit $\alpha\in K$ une racine de $X^2+s$. $F(\alpha)$ est encore racine de $X^2+s$ car $s\in \Z/p\Z$ est fix\'e par $F$.
Comme $\alpha\notin \Z/p\Z$, on a $F(\alpha)\neq \alpha$. Comme l'autre racine est $-\alpha$, on a $F(\alpha)=-\alpha$.

3) On a $N(z)=z F(z)$. C'est donc un homomorphisme multiplicatif de $K^\times$ dans lui-m\^eme. De plus
$(N(z))^p=z^{p^2+p}=z^{1+p}=N(z)$ car $F\circ F=Id_K$. Ainsi, $N(z)\in (Z/p\Z)^\times$.

3.b Si $N(z)=1$, $z$ est racine de $X^{p+1}-1$; ainsi l'ordre de ${\rm Ker}\,N$ est au plus $p+1$ et celui de ${\rm Im}\,N$ au
plus $p-1$. Comme celui de $K^\times$ est $(p-1)(p+1)$, on tire de l'isomorphisme $K^\times/{\rm Ker}\, N\cong {\rm Im}\, N$ que
${\rm Card}\,{\rm Ker}\,N=p+1$ et ${\rm Card}\,{\rm Im}\,N=p-1$.

3.c On a $N(x+y\alpha)=(x+y\alpha ) F(x+y\alpha)=(x+y\alpha)(x-y\alpha)=x^2-y^2\alpha^2=x^2+sy^2$.

4) Notons qu'\'etant donn\'es deux \'el\'ements $x,y$ de $\Z/p\Z$, on a $x+y\alpha\in K^\times$ si et seulement si $x$ et $y$ sont non-nuls.
On peut donc \'ecrire  $\mathcal{A}_p(S,t)=\{z\in K^\times; N(z)=t\}$.
Choisissons $z_0\in K^\times$ tel que $N(z_0)=t$. On a alors $N(z)=t$ si et seulement si $N(zz_0^{-1})=1$, c'est-\`a-dire $zz_0^{-1}\in {\rm Ker}\,N$.
Ainsi $z\mapsto zz_0^{-1}$ est une bijection de $\mathcal{A}_p(S,t)$ vers ${\rm Ker}\,N$. L'ordre de  $\mathcal{A}_p(S,t)$ est donc $p+1$ par 3.b.

\section*{A.II}

1.a  On a $b(x,y)={1\over 2} [b(x+y,x+y)-b(x,x)-b(y,y)]$. Si donc $b(t,t)=0$ pour tout vecteur $t$, on a $b=0$.

1.b On raisonne par r\'ecurrence sur la dimension de $V$. Si $b=0$ il n'y a rien \`a d\'emontrer. Sinon, on prend $e_1\in V$ tel que $b(e_1,e_1)\neq 0$. La relation
$x=x-{b(e_1,x)\over b(e_1,e_1)}\cdot e_1+{b(e_1,x)\over b(e_1,e_1)}\cdot e_1$ montre que $V$ est somme directe
de la droite engendr\'ee par $e_1$ et de son orthogonal $V_1$. On applique alors l'hypoth\`ese de r\'ecurrence \`a $V_1$ pour conclure.

1.c On prend $V=M_{m,1}(\Z/p\Z)$ et $b(X,Y)={}^t XSY$.
Soit $P$ l'inverse de la matrice d'une base orthogonale de $b$. On a 
$S={}^t PDP$ o\`u $D$ est diagonale.

2) La relation ${}^tXSX=T$ signifie pour tout $i,j$ $b(v_i,v_j)=t_{i,j}$.

3) L'application
$$\mathcal{A}_p(S,T)\rightarrow \mathcal{A}_p({}^tPSP,{}^tQTQ),\quad X\mapsto P^{-1}XQ
$$ 
est bijective.

4.a On partitionne l'intervalle $[1,r]$ de $\Z$ en les sous-ensembles $\Phi(d)$ constitu\'es des entiers 
 dont le plus grand commun diviseur avec $r$ est $r/d$, $d$ parcourant l'ensemble des diviseurs
positifs de $d$. La multiplication par $r/d$ \'etablit une bijection de $\Phi(d)$ avec l'ensemble des entiers premiers \`a $d$ dans $[1,d]$.
Son ordre est $\phi(d)$. On a donc $r=\sum_{d\vert r}\phi(d)$.

4.b Un \'el\'ement $x \in K^\times $ est d'ordre divisant $d$ si et seulement si il est racine du polyn\^ome de degr\'e $d$ $X^d-1$.
Il y a donc au plus $d$ tels \'el\'ements dans $K^\times$.

4.c Si $K^\times$ poss\`ede un \'el\'ement $x$ d'ordre $d$ (diviseur $q-1$), il poss\`ede au moins $d$ \'el\'ements d'ordre divisant $d$.
Il en poss\`ede au plus $d$ par la question pr\'ec\'edente, donc exactement $d$, qui forment un groupe cyclique engendr\'e par $x$.
L'ensemble $(K^\times)_d$ des \'el\'ements d'ordre exactement $d$ est donc d'ordre $\phi(d)$.

4.d Si pour un diviseur $d$ de $q-1$ il n'y a pas d'\'el\'ement d'ordre $d$({\it i.e.} $(K^\times)_d=\emptyset$),
on a $q-1={\rm Card}\,K^\times=\sum_{\delta\vert q-1}{\rm Card}\,(K^\times)_\delta\,<\,\sum_{\delta\vert q-1} \phi(\delta)=q-1$,
ce qui est une contradiction.

\section*{A.III}

1.a L'homomorphisme $(\Z/p\Z)^\times\rightarrow (\Z/p\Z)^\times,x\mapsto x^2$ a pour noyau $\{\pm 1\}$. Son image est donc d'indice $2$ dans 
$(\Z/p\Z)^\times$. C'est dire qu'il y a autant de carr\'es que de non carr\'es dans $(\Z/p\Z)^\times$.Soit $a$ un non carr\'e, tout non carr\'e
peut s\'ecrire $ax^2$.
Ainsi  le produit de deux non carr\'es est un carr\'e (et le produit d'un carr\'e par un non carr\'e est un non-carr\'e, et le produit de deux
carr\'es est un carr\'e). Ceci montre que $x\mapsto ({a\over p})$ est un homomorphisme.

1.b Si $b\in(\Z/p\Z)^\times$, $a\mapsto ab$ est bijective, donc $\sum_{a\in \Z/p\Z}\omega^{ab}=
\sum_{a\in \Z/p\Z}\omega^{a}={\omega^p-1\over\omega-1}=0$.
Si $b=0$, on a $\sum_{a\in \Z/p\Z}\omega^{ab}=p$.

1.c On a $G_c=1+2\sum_{a\in (\Z/p\Z)^{\times 2}}\omega^{ca}$. D'autre part, 
$H_c=\sum_{a\in (\Z/p\Z)^{\times 2}}\omega^{ca}-\sum_{a\notin (\Z/p\Z)^{\times 2}}\omega^{ca}$.
Comme $c\in(\Z/p\Z)^\times$, on a $\sum_{a\in \Z/p\Z}\omega^{ac}=0=1+\sum_{a\in (\Z/p\Z)^{\times 2}}\omega^{ac}+\sum_{a\notin (\Z/p\Z)^{\times 2}}\omega^{ac}$, 
donc $1+\sum_{a\in (\Z/p\Z)^{\times 2}}\omega^{ac}=-\sum_{a\notin (\Z/p\Z)^{\times 2}}\omega^{ac}$. Ainsi,
$H_c=\sum_{a\in (\Z/p\Z)^{\times 2}}\omega^{ac}+1+\sum_{a\in (\Z/p\Z)^{\times 2}}\omega^{ac}=G_c$.

2.a  Par 1.b, la somme ${1\over p}.\sum_{a\in (\Z/p\Z)}\omega^{ab}$ vaut $1$ ou $0$ suivant que $b$ est nul ou pas.
Donc $pA_p(S,t)=\sum_{X\in M_{m,1}(\Z/p\Z)}{1\over p}\sum_{a\in\Z/p\Z}\omega^{a({}^tXSX-t)}$. D'o\`u la formule annonc\'ee.

2.b On a ${}^tXDX=\sum_{i=1}^m s_ix_i^2$ donc 
$\omega^{a({}^tXDX-t)}=\omega^{as_1x_1^2}\ldots \omega^{as_mx_m^2}\omega^{-at}$ et 

$pA_p(S,t)=\sum_{a\in\Z/p\Z}\omega^{-at}
(\sum_{x_1\in \Z/p\Z}\omega^{as_1x_1^2})\cdot\ldots\cdot 
(\sum_{x_m\in \Z/p\Z}\omega^{as_mx_m^2})$

La contribution du terme $a=0$ vaut $p^m$. De plus, on a pour chaque $i=1,\ldots ,m$.
$\sum_{x_i\in \Z/p\Z}\omega^{as_ix_i^2}=G_{as_i}=({as_i\over p}) G$. Donc
$pA_p(S,t)=p^m+\sum_{a\in(\Z/p\Z)^\times}\omega^{-at}({as_1\over p})\ldots({as_m\over p}) G)$
et comme $({s_1\over p})\cdot\ldots\cdot ({s_m\over p})=({D\over p})$, on a:
$pA_p(S,t)=p^m+G^m({D\over p})\sum_{a\in(\Z/p\Z)^\times}\omega^{-at}({a\over p})^m$.

2.c Prenons $m=1$, $s_1=1$ et $t=1$. On a $A_p(S,1)=2$ donc comme $G_{-1}=({-1\over p})G$,
on a $2p=p+G({-1\over p})G$, soit $p=G^2({-1\over p})$, ou encore $G^2=({-1\over p})p$.

3.a Pour $S$ sym\'etrique non-d\'eg\'en\'er\'ee quelconque, ,on applique A.II 1.c et 3 pour se 
ramener \`a $S$ diagonale, de d\'eterminant $s_1\ldots s_m=s$. On obtient donc
$pA(S,t)=p^m+({s\over p}) G^m\sum_{a\in(\Z/p\Z)^\times}\omega^{-at}({a\over p})^m$.
Si $m=2r$, on a $G^m\sum_{a\in(\Z/p\Z)^\times}\omega^{-at}({a\over p})^m=-({-1\over p})^rp^r$,
donc
$pA(S,t)=p^m(1-({(-1)^{m/2}s\over p})p^{-m/2})$ d'o\`u la formule annonc\'ee.

Si $m=2r+1$, on a $G^m\sum_{a\in(\Z/p\Z)^\times}\omega^{-at}({a\over p})^m=({-t\over p})G^{m+1}
=({-t\over p})({-1\over p})^{r+1}p^{r+1}$ donc
$pA(S,t)=p^m(1+({(-1)^{(m-1)/ 2}st\over p})p^{(1-m)/2})$. D'o\`u la formule annonc\'ee.

3.b Le seul cas de nullit\'e intervient lorsque $m=1$ et lorsque $st$ n'est pas un carr\'e.

\section*{A.IV}

1.a  On \'ecrit $X=(C_1,X_1)$ o\`u $C_1$ est un vecteur colonne et $X_1\in M_{m,n-1}(\Z/p\Z)$.
Alors un calcul par blocs montre que ${}^tXSX=T$ \'equivaut \`a ${}^tC_1SC_1=\delta$,
 ${}^tX_1SX_1=T_1$ et ${}^tC_1SX_1=0$. L'application $X\mapsto C_1$ induit donc en particulier
une application 
$\gamma:\mathcal{A}(S,T)\rightarrow \mathcal{A}(S,\delta)$.

1.b Soit $W$ l'orthogonal de $C_1$ dans l'espace quadratique $V=M_{m,1}(\Z/p\Z)$ muni de 
$b(v,w)={}^tvSw$. Soit $(v_i)_{i=2,\ldots,m}$ une base
 de $W$. Soit $S_1=(b(v_i,v_j))_{2\leq i,j\leq m}$ la matrice de $b$ dans cette base.
Soit $T_1=(t_{i,j})_{2\leq i,j\leq n}$. Par la question pr\'ec\'edente, on peut r\'e\'ecrire 
l'ensemble $\gamma^{-1}(C_1)$ comme
$$\{(w_2,\ldots,w_n)\in W^{n-1}; b(w_i,w_j)=t_{i,j}\quad \mbox{\rm pour tout}\,i,j\in[2,m]\}$$
Soit $X'_1\in M_{m-1,n-1}(\Z/p\Z)$ la matrice des coordonn\'ees des vecteurs colonnes $w_j$ dans
la base des $v_i$. On peut r\'e\'ecrire l'ensemble $\gamma^{-1}(C_1)$ comme
$$\mathcal{A}(S_1,T_1)=\{X'_1\in M_{m-1,n-1}(\Z/p\Z); {}^tX'_1S_1X'_1=T_1\}$$
Soit $P$ la matrice de la base $(v_1,\ldots,v_m)$. On a
$$\left(\begin{array}{cc}\delta &0\\0&S_1\end{array}\right)={}^tPSP
$$  
Donc si $s_1={\rm det}\,S_1$, on a $\delta s_1= s ({\rm det}\, P)^2$ et 
$({\delta s_1\over p})=({s\over p})$.

2.a  Pour $n=1$, vue la convention sur les cas de nullit\'e de $\epsilon_k^{(p)}(a)$, 
les formules pour $A_p(S,t)$ distinguant $m$ pair ou impair peuvent \^etre synth\'etis\'ees
en la seule formule $A_p(S,t)=p^{m-1}\psi_{p,m,1}(s,t)$.
Si le r\'esultat est vrai pour $n-1$, soit $T\in S_n(\Z/p\Z)$; quitte \`a remplacer $T$ par 
${}^tQTQ)$, ce qui ne change pas $A_p(S,T)$ par A.II.3, on peut supposer $T$ diagonale (et en particulier
de la forme de la question 1.2 ci-dessus.
Avec les notations de la question 1.b, on a
$A_p(S,T)=A_p(S,\delta)A_p(S_1,T_1)$. Par hypoth\`ese de r\'ecurrence,
$A_p(S_1,T_1)=p^{(m-1)(n-1)-(n-1)n/2}\psi_{p,m-1,n-1}(s_1,t_1)\prod_{m-n+1<2k<m}(1-{1\over p^{2k}})$.
et
$A_p(S,\delta)=p^{m-1}\psi_{p,m,1}(s,\delta)$.
Traitons par exemple le cas o\`u $m$ et $n$ sont pairs. On observe que
\begin{itemize}
\item $(m-1)(n-1)-n(n-1)/2+(m-1)=mn-n(n+1)/2$
\item $\psi_{p,m,1}(s,\delta)=1-({(-1)^{m/2}s\over p})p^{-m/2}$ et 
\item $\psi_{p,m-1,n-1}(s_1,t_1)=1+({(-1)^{(m-n)/2}s_1t_1\over p})p^{(n-m)/2}$, et comme 
par la question 1.2 on a $s_1t_1\delta^2=stu^2$, on trouve 
$\psi_{p,m,1}(s,\delta)\psi_{p,m-1,n-1}(s_1,t_1)=\psi_{p,m,n}(s,t)$. Comme on a aussi
\item $\prod_{m-n<2k<m}(1-{1\over p^{2k}})=\prod_{m-n+1<2k<m}(1-{1\over p^{2k}})$
\end{itemize}
on voit donc en multipliant $A_p(S,\delta)$ et $A_p(S_1,T_1)$ que
$$A_p(S,T)=p^{mn-n(n+1)/2}\psi_{p,m,n}(s,t)\prod_{m-n<2k<m}(1-{1\over p^{2k}})$$
comme annonc\'e. Les autres cas se traitent de m\^eme.

2.b Le seul cas de nullit\'e de $A_p(S,T)$ se produit lorsque $m=n$ et que $st$ n'est pas un carr\'e.


\section*{B.}

1.a et 1.b se traitent simultan\'ement en observant que, lorsque $q_1$ et $q_2$ sont premiers entre eux,
 le lemme chinois induit un isomorphisme d'anneaux
$M_{m,n}(\Z/q_1q_2\Z)\cong M_{m,n}(\Z/q_1\Z)\times M_{m,n}(\Z/q_2\Z)$.

1.c est imm\'ediat \`a partir des questions ci-dessus.

2.a Soit $\widetilde{T}=\pi_p(T)$. Soit $H_1\in M_n(\Z/p\Z)$. Soit $H_2\in M_n(\Z/p\Z)$ 
telle que $H_1=\widetilde{T}H_2$; posons 
$H=\widetilde{X}H_2\in M_{m,n}(\Z/p\Z)$. On a ${}^t\widetilde{X}\widetilde{S}H={}^tX\widetilde{S}
\widetilde{X}H_2=\widetilde{T}H_2=H_1$.

2.b Comme $p$ est impair, toute matrice sym\'etrique $H_1\in S_n(\Z/p\Z)$ s'\'ecrit $H_2+{}^tH_2$ pour
une matrice $H_2\in M_n(\Z/p\Z)$; par la question pr\'ec\'edente, il existe $H\in M_{m,n}(\Z/p\Z)$
tel que ${}^t\widetilde{X}\widetilde{S}H=H_2$. Ceci montre la surjectivit\'e de 
$H\mapsto {}^t\widetilde{X}\widetilde{S}H +{}^tH\widetilde{S}\widetilde{X}$.

2.c Le noyau de l'application ci-dessus est de dimension $mn-n(n+1)/2$. Donc son cardinal est
$p^{mn-n(n+1)/2}$.

3. On abr\`ege $\pi_{p^\alpha}(X)=X_\alpha$. Si ${}^tX_\alpha S_\alpha X_\alpha=T_\alpha$, posons
$Y=X+p^\alpha U$. Cherchons $U\in M_{m,n}(\Z)$ de sorte que 
${}^tYS Y\equiv T \pmod{p^{\alpha+1}}$.
On peut r\'e\'ecrire cette relation comme ${}^t(X+p^\alpha U)S(X+p^\alpha U)\equiv T \pmod{p^{\alpha+1}}$,
ou encore, en posant ${}^tXSX=T+p^\alpha\Theta$:  ${}^t USX+{}^tXSU \equiv \Theta \pmod{p}$.
Par la question 2.2, cette congruence a une solution $U\in M_{m,n}(\Z)$.  

4. Etant donn\'ee $X\in M_{m,n}(\Z)$ telle que ${}^tXSX\equiv T \pmod{p^\alpha}$, l'ensemble 
$\{\pi_p(U)\in M_{m,n}(\Z/p\Z);  {}^t USX+{}^tXSU \equiv \Theta \pmod{p}\}$ est une vari\'et\'e
lin\'eaire affine de direction de dimension $mn-n(n+1)/2$. C'est donc un ensemble d'ordre
$p^{mn-n(n+1)/2}$. Ainsi, $r_\alpha$ est surjective et l'image inverse de chaque singleton est d'ordre
$p^{mn-n(n+1)/2}$.

5. On en d\'eduit que 
$$A_{p^\alpha}=p^{(\alpha-1)(mn-n(n+1)/2)}p^{mn-n(n+1)/2}
\psi_{p,m,n}(s,t)\prod_{m-n<2k<m}(1-{1\over p^{2k}})=$$
$$
p^{\alpha(mn-n(n+1)/2}\psi_{p,m,n}(s,t)\prod_{m-n<2k<m}(1-{1\over p^{2k}}).$$

6.a On a 
$$A_q(S,T)= A_{p_1^{\alpha_1}}(S,T)\ldots A_{p_r^{\alpha_r}}(S,T)=$$
$$q^{\alpha(mn-n(n+1)/2)}
\prod_i\psi_{p_i,m,n}(s,t)\prod_{m-n<2k<m}(1-{1\over p_i^{2k}})$$

6.b La nullit\'e de $A_q(S,T)$ ne se produit que lorsque $m=n$ et que $st$ n'est pas un carr\'e
modulo l'un des facteurs premiers de $q$.

7.a On a $A_{q_h}(S,T)/q_h^{mn-n(n+1)/2}=\prod_i\psi_{p_i,m,n}(s,t)\prod_{m-n<2k<m}(1-{1\over p_i^{2k}})$
On a $m>n+2$ donc en particulier $m/2>3/2$ et $(m-n)/2>1$; donc les produits infinis
$\prod_i(1-({(-1)^{m/2}s\over p_i})p_i^{-m/2})$ et $\prod_i(1-({(-1)^{(m-n)/2}st\over p_i})p_i^{-(m-n)/2})$
sont absolument convergents. A fortiori les produits $\prod_i(1-{1\over p_i^{2k}})$ pour
$2k\in]m-n,m[$. Leur limite sont des nombres strictement positifs. Il en va donc de m\^eme pour leur produit fini.

7.b L'argument est identique car 
$$A_{Q_h}(S,T)/Q_h^{mn-n(n+1)/2}=A_{q_h}(S,T)/q_h^{mn-n(n+1)/2}$$
\end{document}
