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%%%%%% Theorem-like environments



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\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{cor}{Corollaire}
\newtheorem{pro}{Proposition}
\newtheorem{lem}{Lemme}
\newtheorem{sublem}{Sous-Lemme}
\newtheorem{de}{D\'efinition}
\title{Projet de Probl\`eme de Math\'ematiques G\'en\'erales}
\author{J. Tilouine}
\date{Dimanche 14 d\'ecembre  2003}
\pagestyle{plain}

\let\leq\leqslant
\let\geq\geqslant



\parindent=0mm
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\parindent=0mm

%\maketitle
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}

%\renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0mm}{\baselineskip}{\baselineskip}%
%{\centering\largeb}}%

\def\Det{{\rm Det}}
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\def\cupe{\mathop{\textstyle\bigcup}}
\def\vrg{\raise2pt\hbox{\hskip.2pt,}}

\everymath{\displaystyle}

\long\def\commentaire#1{
\begin{minipage}{.6cm}
$\phantom{*}$
\end{minipage}%
\begin{minipage}{15.5cm}
#1
\end{minipage}%
\begin{minipage}{.6cm}
$\phantom{*}$
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\long\def\indication#1{
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\qquad {\bf Indication:}
\end{minipage}
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\def\bs{\bigskip}
\def\ms{\medskip}
\def\ssp{\smallskip}


\long\def\Titre#1{
\vskip8mm
\begin{center}
\mathversion{bold}{\largeb#1}\mathversion{normal}
\end{center}

\bs}
\long\def\titre#1{
\bs

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\ms}

\long\def\tit#1{
\ms{\bf#1)~}}

\long\def\tita#1#2{
\ssp\qquad\llap{\bf#1.}{\bf#2.~}}

\vglue20mm
\begin{flushright}
{\largeb SESSION DE 2004}
\end{flushright}

\vskip15mm
{\Largeb concours externe

de recrutement de professeurs agr\'eg\'es}

\vskip15mm


\begin{flushright}
{\Largeb section: math\'ematiques}
\end{flushright}

\vskip10mm

{\Largess composition de math\'ematiques g\'en\'erales}

\bigskip
\begin{flushright}
{\largeb dur\'ee: 6 heures}
\end{flushright}


\vskip40mm


\commentaire{\sffamily Les calculatrices \'electroniques de poche sont autoris\'ees, conform\'ement \`a la r\'eglementation.

\bigskip
La qualit\'e de la r\'edaction et de la pr\'esentation, la clart\'e et la pr\'ecision des raisonnements constitueront un \'el\'ement important pour l'appr\'eciation des copies.}

\newpage


\Titre{Pr\'eambule}
%begin{center}
%\section*{{\largeb Pr\'eambule}}
%\end{center}
%\bs
Le but de ce probl\`eme est d'\'etudier le nombre de solutions modulo un entier naturel $q$ d'une
congruence quadratique matricielle
$${}^tXSX\equiv T \pmod q$$
o\`u $S$ et $T$ sont des matrices sym\'etriques donn\'ees \`a coefficients entiers, de tailles 
respectives $m\times m$ et
$n\times n$, $q$ est un entier strictement positif et l'inconnue $X$ est une matrice d'entiers 
de taille $m\times n$, ${}^tX$ d\'esignant sa transpos\'ee.
 
Soit $R$ un anneau commutatif; dans ce pr\'eambule, on note $1_R$ son \'el\'ement unit\'e, mais on permet 
d'\'ecrire $1$ dans la r\'edaction. On note $R^\times$ le groupe des \'el\'ements inversibles de $R$.

\ssp
\'Etant donn\'es deux entiers $m$ et $n$ strictement positifs, on note $M_{m,n}(R)$ l'ensemble
des matrices \`a $m$ lignes et $n$ colonnes \`a coefficients dans $R$.

\ssp Pour tout entier $n$ strictement positif, on note $[1,n]=\{i\in\Z\,|\,1\leq i\leq n\}$; pour simplifier, on note  $M_n(R)$, au lieu de $M_{n,n}(R)$, l'anneau des matrices carr\'ees de taille $n\times n$ \`a
coefficients dans $R$. Le d\'eterminant d'une matrice carr\'ee $X$ \`a coefficients dans $R$ est 
d\'efini par la formule habituelle et not\'e $\det A$. On rappelle qu'une matrice de $M_n(R)$ est inversible 
si et seulement si
son d\'eterminant est dans l'ensemble $R^\times$ des \'el\'ements inversibles de $R$. On note $GL_n(R)$ le groupe 
des \'el\'ements de $M_n(R)$ de d\'eterminant dans le groupe $R^\times$. 

\ssp On note $1_n$ la matrice unit\'e de $M_n(R)$. On note $S_n(R)$ l'ensemble des matrices $X$ de $M_n(R)$
sym\'etriques, c'est-\`a-dire telles que ${}^tX=X$. 
  



\Titre{A. Solutions modulo un nombre premier impair}

%\begin{center}
%\section*{{\largeb A. Solutions modulo un nombre premier impair}}
%\end{center}
%\bs

%\centerline{ \section*{\largeb A. Solutions modulo un nombre premier impair} }

%\bs
Dans cette partie {\bf A.}, on fixe un nombre premier {\bf impair} $p$ et on consid\`ere
deux matrices sym\'etriques $S$ et $T$, avec
$S\in M_m(\Z/p\Z)$ et $T\in M_n(\Z/p\Z)$,  de d\'eterminants respectifs $s$ et $t$ non nuls.
L'\'el\'ement de la $i$-\`eme ligne et $j$-\`eme colonne de $S$ (resp. $T$) est not\'e $s_{i,j}$ (resp. $t_{i,j}$).

On introduit l'ensemble
$\cA_p(S,\,T)=\bigl\{X\in M_{m,n}(\Z/p\Z)\,\bigm|\, {}^tXSX= T \bigr\}$
et on note $A_p(S,\,T)$ son cardinal. 


%\vskip 5mm

\titre{A.I Un cas particulier} 



Dans cette section {\bf A.I}, on prend $m=2$ et $n=1$. Soit  $s$ et $t$ deux \'el\'ements non nuls de $\Z/p\Z$, $T=\Bigl(\,t\,\Bigr)$ et $S=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&s\end{array}\right)$. La matrice $T$, de taille $1\times1$, est identifi\'ee \`a $t$; ainsi $A_p(S,\,t)$ est le nombre de couples $(x,y)$ dans $\Z/p\Z\times \Z/p\Z$ tels que $x^2+sy^2=t$.

\tit1Supposons que $-s$ soit un carr\'e dans $\Z/p\Z$. Calculer $A_p(S,\,t)$.

\tit2On suppose dans toute la suite de cette section {\bf A.I} que $-s$ n'est pas un carr\'e dans $\Z/p\Z$.

\tita2aMontrer que le polyn\^ome $X^2+s$ est irr\'eductible sur $\Z/p\Z$. 
Soit $K$ un corps de rupture. Quel est le cardinal de $K$?

\tita2bSoit $F:K\rightarrow K,\enspace z\mapsto z^p$. 
Montrer que $F$ est un automorphisme involutif de corps ($F\circ F= Id_K$) et d\'eterminer
ses points fixes.

\newpage
\tita2cSoit $\alpha$ une racine de $X^2+s$ dans $K$. Montrer que $F(\alpha)=-\alpha$.

\tit3Soit $N:K^\times\rightarrow K^\times,\enspace z\mapsto z^{p+1}$.

\tita3aMontrer que $N$ est un morphisme de groupes d'image contenue dans $(\Z/p\Z)^\times$.

\tita3bD\'eterminer le cardinal du noyau et de l'image de $N$.

\tita3cCalculer $N(x+y\alpha)$ pour $x,\,y\in \Z/p\Z$ non tous deux nuls.

\tit4Calculer $A_p(S,\,t)$. 
%\vskip 5mm


\titre{A.II Pr\'eliminaires} 

%\vskip 3mm
\commentaire{\sl Dans cette section {\bf A.II}, $m$ est un entier strictement positif et $V$ un espace vectoriel de dimension finie $m$ sur le corps $\Z/p\Z$.}

\tit1Soit $b:V\times V\rightarrow \Z/p\Z$ une forme bilin\'eaire
sym\'etrique sur $V$.

\tita1aD\'emontrer que si $b(x,x)$ est nul pour tout $x$ dans $V$, alors la forme bilin\'eaire $b$ est nulle.

\tita1bD\'emontrer que $V$ poss\`ede une base $(e_1,\ldots,e_m)$ orthogonale pour $b$, 
c'est-\`a-dire telle que pour tous $i$ et $j$ distincts dans $[1,m]$, $b(e_i,e_j)=0$.

\tita1cEn d\'eduire qu'il existe une matrice diagonale $D\in M_m(\Z/p\Z)$ et une matrice inversible $P\in GL_m(\Z/p\Z)$ telles que $S={}^tPDP$.

\tit2Dans cette question {\bf 2}, on prend $V=M_{m,1}(\Z/p\Z)$ et on consid\`ere la forme bilin\'eaire $b$ d\'efinie pour $X$ et $Y$ dans $V$ par $b(X,Y)={}^tXSY$. 

Montrer que pour tout $n$ entier strictement positif et tout $T$ \'el\'ement de $S_n(\Z/p\Z)$, 
$A_p(S,T)$ est le nombre de $n$-uplets $(v_1,\ldots,v_n)$ d'\'el\'ements de $V$ v\'erifiant $b(v_i,v_j)=t_{i,j}$ pour tous $i$ et $j$ dans $[1,n]$.

\tit3V\'erifier que pour toutes matrices $P$ de $GL_m(\Z/p\Z)$ et $Q$ de $GL_n(\Z/p\Z)$, on a 
$$A_p(S,T)=A_p({}^tPSP,{}^tQTQ).$$
%\vskip 5mm

\tit4Soit $\phi$ la fonction indicatrice d'Euler qui \`a un entier $r$ strictement positif associe le nombre d'entiers de $[1,r]$ premiers \`a $r$.


\tita4aMontrer que pour tout entier $r$ strictement positif,  $\sum_{d\vert r}\phi(d)=r$, la somme \'etant \'etendue \`a tous les entiers strictement positifs $d$ diviseurs de $r$.

\tita4bSoit $K$ un corps fini commutatif \`a $q$ \'el\'ements. 
D\'emontrer que pour tout entier strictement positif $d$ diviseur de $q-1$, l'ensemble des \'el\'ements de $K^\times$ 
d'ordre divisant $d$ est de cardinal au plus $d$.

\tita4cEn d\'eduire que pour tout entier strictement positif $d$ diviseur de $q-1$, $K^\times$ poss\`ede $0$ ou $\phi(d)$ \'el\'ements d'ordre exactement $d$.

\tita4dEn d\'eduire que $K^\times$ est cyclique.

%\vskip 5mm
\def\ii{{\rm i}}
\newpage
\titre{A.III Le cas $n=1$} 

%\vskip 3mm
\def\ind#1#2{\left({#1\over#2}\right)}
Soit $n=1$; on a alors $T=t\in\Z/p\Z$ et $2st\neq 0$ o\`u l'on rappelle que $s=\det\,S$.

Soit $\omega=\exp\biggl(\frac{2\ii\pi}{p}\biggr)$ une racine primitive $p$-i\`eme de l'unit\'e (on a $\omega\in \C^\times$).
 
Pour $\alpha\in\Z$, le nombre complexe $\omega^\alpha$ ne d\'epend que de la classe $a$ de $\alpha$ modulo $p$;
on le note $\omega^a$: on admettra que l'on d\'efinit ainsi un morphisme $a\mapsto \omega^a$
du groupe additif $\Z/p\Z$ dans le groupe multiplicatif $\C^\times$.

\commentaire{\sl Pour $a\in (\Z/p\Z)^\times$, on pose $\ind ap=1$ s'il existe $b\in (\Z/p\Z)^\times$ tel que $a=b^2$, et $\ind ap=-1$
sinon.
Ces notations seront utilis\'ees dans toute la suite de la partie {\bf A.}}

\tita1aMontrer qu'il y a dans $(\Z/p\Z)^\times$ autant de carr\'es que de non carr\'es
et que $a\mapsto \ind ap$ est un morphisme de groupes multiplicatifs 
$(\Z/p\Z)^\times\rightarrow \C^\times$.

\tita1bPour $b\in \Z/p\Z$  calculer $\sum_{a\in \Z/p\Z}\omega^{ab}$.

\tita1cPour $c\in (\Z/p\Z)^\times$, on pose  $G_c=\sum_{a\in \Z/p\Z}\omega^{ca^2}$ et 
$H_c=\sum_{a\in (\Z/p\Z)^\times}\ind ap  \omega^{ca}$. 

D\'emontrer qu'on a $G_c=H_c=\ind cp\cdot G_1$.

\ms
\centerline{\sl Dans ce qui suit, $G_1$ sera not\'e $G$.}

\tita2aMontrer que $pA_p(S,\,t)=\sum_{a,X}\omega^{a({}^tXSX-t)}$ o\`u $a$ parcourt $\Z/p\Z$
et $X$ parcourt $ M_{m,1}(\Z/p\Z)$.

\tita2bSoit $D$ une matrice diagonale inversible \'el\'ement de $M_m(\Z/p\Z)$, de termes diagonaux $s_1,\ldots,s_m$.
Montrer que
$$pA_p(D,\,t)=p^{m}+\ind{\det D}{p}\cdot G^m\cdot \sum_{a\in (\Z/p\Z)^\times}\ind ap^m\omega^{-at}$$  

\vglue-5mm
\tita2cMontrer que $G^2=\ind{-1}{p}\cdot p$. 

\indication{On pourra appliquer \`a un cas particulier le r\'esultat d\'emontr\'e dans la question pr\'ec\'edente.}

\let\epsilon=\varepsilon
\tit3Pour $a\in (\Z/p\Z)^\times$ et $k$ entier naturel on pose  
$\epsilon_k^{(p)}(a)=\ind{(-1)^{k/2}a}{p}$ si $k$ est pair et $\epsilon_k^{(p)}(a)=0$ sinon.


\commentaire{\sl Cette notation sera utilis\'ee dans la suite du probl\`eme.}

\tita3aMontrer qu'on a l'\'egalit\'e:


$$A_p(S,\,t)=
\left\{\begin{array}{ll}
p^{m-1}\bigl(1-\epsilon_m^{(p)}(s)\, p^{-m/2}\bigr)&\mbox{si\ $m$ est pair}\\
p^{m-1}\bigl(1+\epsilon_{m-1}^{(p)}(st)\, p^{(1-m)/2}\bigr)\vphantom{\Bigl)^)}&\mbox{si\ $m$ est impair}
\end{array}\right.
$$

\tita3bPr\'eciser pour quelles valeurs de $m$, $s$ et $t$ la quantit\'e
 $A_p(S,\,t)$ s'annule.


\titre{A.IV Le cas $n$ quelconque}

Dans cette section, on suppose $m\geq n$.


\tit1Soit $n\geq 2$; soit $T\in S_n(\Z/p\Z)$ de d\'eterminant $t\in (\Z/p\Z)^\times$.
Supposons $T=\left(\begin{array}{cc} \delta&0\\0&T_1\end{array}\right)$ avec $\delta\in (\Z/p\Z)^\times$ et $T_1\in S_{n-1}(\Z/p\Z)$ inversible de d\'eterminant
$t_1$.

\tita1aMontrer que l'application qui \`a $X\in \cA_p(S,T)$ fait correspondre sa 
premi\`ere colonne induit une application $\gamma$ de $\cA_p(S,\,T)$ dans $\cA_p(S,\,\delta)$.

\tita1bSoit $C_1\in \cA_p(S,\,\delta)$. Montrer qu'il existe une matrice sym\'etrique inversible $S_1$ dans 
$M_{m-1}(\Z/p\Z)$ dont le d\'eterminant $s_1$ v\'erifie 
$\ind{\delta s_1}{p}=\ind sp$, et telle que $\gamma^{-1}(C_1)$ soit de cardinal $A_p(S_1,\,T_1)$.

\indication{On pourra utiliser l'interpr\'etation de la question 2 du 
Pr\'eliminaire en introduisant l'orthogonal $W$ du vecteur $C_1$ pour la forme $b$ de matrice $S$
dans la base canonique de $V=M_{m,1}(\Z/p\Z)$.}


\tita2aEn proc\'edant par r\'ecurrence sur $n$, montrer que 
 
$$A_p(S,T)=p^{mn-n(n+1)/2}\psi_{p,m,n}(s,\,t)\prod_{m-n<2k<m}\left(1-{1\over p^{2k}}\right)$$
o\`u
$$\psi_{p,m,n}(s,\,t)=
\bigl(1-\epsilon_m^{(p)} (s) p^{-m/2}\bigr)\bigl(1+\epsilon_{m-n}^{(p)}(st) p^{(n-m)/2}\bigr)$$

\tita2b\`A quelles conditions $A_p(S,\,T)$ est-il nul?


\Titre{B. Matrices \`a coefficients dans l'anneau {\BB Z}/$\!${\Largem q}{\BB Z}}

Soit $q$ un entier naturel strictement positif; on note $\pi_q$ le morphisme 
canonique d'anneaux $\Z\rightarrow \Z/q\Z$ et, si $q'$ 
est un entier naturel strictement positif multiple de $q$, $\pi_{q,q'}$ 
le morphisme canonique d'anneaux $\Z/q'\Z\rightarrow \Z/q\Z$.
On pourra remarquer l'\'egalit\'e $\pi_{q,q'}\circ \pi_{q'}=\pi_{q}$. 
Si $n$ et $m$ sont des entiers strictement positifs et $M$ un \'el\'ement de $M_{m,n}(\Z)$,
on note aussi $\pi_q(M)$ la matrice \'el\'ement de $M_{m,n}(\Z/q\Z)$ 
dont les coefficients sont les images par $\pi_q$ des coefficients de $M$;
on d\'efinit de mani\`ere analogue $\pi_{q,q'}(M)$ si $q'$ est un multiple 
de $q$ et si $M$ est \'el\'ement de $M_{m,n}(\Z/q'\Z)$. On consid\'erera comme \'evidentes 
les propri\'et\'es des applications $\pi_q$ et $\pi_{q,q'}$ relativement 
\`a la somme des matrices, au produit d'une matrice par un scalaire,
au produit des matrices, \`a la transposition des matrices et au d\'eterminant. 


\ms On dira que les matrices $M_1$ et $M_2$ 
de m\^eme taille et \`a coefficients dans $\Z$, resp. $\Z/q'\Z$, sont congrues 
modulo $q$ si $\pi_q(M_1)=\pi_q(M_2)$, resp. si $q$ divise $q'$ et
$\pi_{q,q'}(M_1)=\pi_{q,q'}(M_2)$; cette relation sera not\'ee $M_1\equiv M_2\pmod q$.

\bs
\commentaire{\sl Dans ce qui suit, $m$ et $n$ repr\'esentent deux entiers strictement positifs tels que 
$m\geq n$ et $S$ et $T$ deux matrices sym\'etriques, $S\in S_m(\Z)$
et $T\in S_n(\Z)$, de d\'eterminants respectifs $s$ et $t$ non nuls. 
Pour tout entier naturel impair $q$ premier avec $st$, on pose
$$\cA_q(S,\,T)=\bigl\{X\in M_{m,n}(\Z/q\Z)\,\bigm\vert\, {}^tX\pi_q(S)X=\pi_q(T)\bigr\}$$
et on note $A_q(S,\,T)$ le cardinal de cet ensemble.
Pour $a\in\Z$ et $p$ premier impair, on pose $\chi_a(p)=0$ si $p$ divise $a$, $\chi_a(p)=1$
si $a$ est un carr\'e non nul modulo $p$, et sinon $\chi_a(p)=-1$.}


\tit1Soit $q$ un entier strictement positif quelconque. 

\tita1aOn suppose $q=q_1q_2$, o\`u
$q_1$ et $q_2$ sont premiers entre eux. 

Montrer que l'application $X\mapsto (\pi_{q_1,q}(X),\pi_{q_2,q}(X))$
\'etablit une bijection entre 

$$M_{m,n}(\Z/q\Z)\ {\rm et}\ M_{m,n}(\Z/q_1\Z)\times M_{m,n}(\Z/q_2\Z).$$ 


\tita1bMontrer que la bijection trouv\'ee au {1.b} induit une bijection entre 

$$\cA_q(S,T)\ {\rm et}\
\cA_{q_1}(S,T)\times \cA_{q_2}(S,T).$$


\tita1cOn suppose $q=p_1^{\alpha_1}\ldots p_r^{\alpha_r}$ o\`u $p_1,\ldots,\, p_r$ sont des nombres premiers impairs deux \`a deux distincts
et $\alpha_1,\ldots,\,\alpha_r$ sont des entiers strictement positifs.  Pour tout $i$ dans $[1,r]$, on pose $q_i=p_i^{\alpha_i}$. D\'emontrer que
$$A_q(S,T)=\prod_{i=1}^rA_{q_i}(S,T)$$

\tit2Dans cette question $p$ d\'esigne un nombre premier impair premier avec $st$ et $\alpha$ est un entier naturel $\geq 1$.
On consid\`ere une matrice $X\in M_{m,n}(\Z)$ telle que $\pi_{p^\alpha}(X)\in \cA_{p^\alpha}(S,T)$ et on pose $\widetilde{X}=\pi_p(X)$ et $\widetilde{S}=\pi_p(S)$.


\tita2aMontrer que l'application $u:H\mapsto {}^t\widetilde{X}\widetilde{S}H$, est une application $\Z/p\Z$-lin\'eaire surjective
$M_{m,n}(\Z/p\Z)$ dans $M_n(\Z/p\Z)$.

\tita2bMontrer que l'application $v:H\mapsto {}^t\widetilde{X}\widetilde{S}H+ {}^tH\widetilde{S}\widetilde{X}$ est une application $\Z/p\Z$-lin\'eaire surjective
de $M_{m,n}(\Z/p\Z)$ dans $S_n(\Z/p\Z)$.

\tita2cMontrer que le cardinal du noyau de l'application lin\'eaire de la question pr\'ec\'edente est $p^{mn-{n(n+1)\over 2}}$.

\tit3Montrer qu'il existe une matrice $U$ dans $M_{m,n}(\Z)$ telle que la matrice $Y=X+p^\alpha U$ de
$M_{m,n}(\Z)$
satisfasse
$\pi_{p^{\alpha+1}}(Y)\in \cA_{p^{\alpha+1}}(S,T)$.

\tit4D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que l'application 
$$\pi_{p^\alpha,p^{\alpha+1}}:M_{m,n}(\Z/p^{\alpha+1}\Z)\rightarrow M_{m,n}(\Z/p^\alpha\Z)$$
induit une application $r_\alpha:\cA_{p^{\alpha+1}}(S,\,T)\rightarrow \cA_{p^\alpha}(S,T)$ surjective, et que les cardinaux des images
r\'eciproques par $r_\alpha$ des singletons valent tous $p^{mn-{n(n+1)\over 2}}$.


\tit5D\'eterminer $A_{p^\alpha}(S,\,T)$ pour tout $\alpha\geq 1$.



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\tit6Soit $q$ un entier naturel impair $\geq 1$ premier avec $st$.

\tita6aExprimer $A_q(S,T)$ en fonction de $m$, $n$, $s$, $t$, $q$ et des facteurs premiers de $q$.

\tita6b\`A quelle condition $A_q(S,\,T)$ est-il nul?

\tit7On note $\cP$ l'ensemble des nombres premiers ne divisant pas $2st$; pour tout entier $h$ strictement positif, on pose $\cP_h=\cP\cap [1,h]$
et on note $q_h$ le produit des \'el\'ements de $\cP_h$.
On fixe $m\geq 1$ et $n\geq 1$ de sorte que $m>n+2$.

\tita7aMontrer que la suite $\left(A_{q_h}(S,\,T)\Big/q_h^{mn-{n(n+1)\over 2}}\right)_{h\geq1}$ a une limite finie strictement positive.


\tita7bSoit $Q_h=\prod_{p\in \cP_h}p^h=q_h^h$. 

Montrer que la suite
$\left(A_{Q_h}(S,T)\Big/Q_h^{mn-{n(n+1)\over 2}}\right)_{h\geq1}$ a une limite finie strictement positive.


\end{document}
