%% This document created by Scientific Word (R) Version 3.0

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\def \sujet{CORRIGE EPREUVE COMMUNES PETITES MINES 04}
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\begin{document}

\begin{center}
{\Large ANALYSE\bigskip}
\end{center}

{\Large PREMIERE\ PARTIE :\bigskip}

\begin{enumerate}
\item On remarque que $a\left(  x\right)  =\frac{1}{1-x}+\frac{1}{\left(
1-x\right)  ^{2}},$ ce qui d\'{e}finit une fonction continue sur $I,$ et
l'existence de primitives de $a$ sur $I$ est ainsi assur\'{e}e. Une primitive
de $a$ sur $I$ est alors par exemple $A$ d\'{e}finit sur $I$ par $A\left(
x\right)  =-\ln\left(  1-x\right)  +\frac{1}{1-x}.$

\item L'\'{e}quation $\left(  E\right)  $ est une \'{e}quation
diff\'{e}rentielle lin\'{e}aire homog\`{e}ne du premier ordre ; le coefficient
devant $y^{\prime}$ ne s'annule pas sur $I,$ on en d\'{e}duit que les
solutions de $\left(  E\right)  $ sur $I$ sont les fonctions d\'{e}finies sur
$I$ par $x\longmapsto\lambda e^{A\left(  x\right)  }$ o\`{u} $\lambda$ est un
r\'{e}el quelconque. Les solutions de $\left(  E\right)  $ sur $I$ sont donc
les fonctions d\'{e}finies sur $I$ par $x\longmapsto\frac{\lambda}%
{1-x}e^{\frac{1}{1-x}}.$

\item $f$ \'{e}tant de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $I,$ elle admet un
d\'{e}veloppement limit\'{e} \`{a} tout ordre en $0$ ; de plus,%
\begin{align*}
\frac{1}{1-x}e^{\frac{1}{1-x}}  &  =\left(  1+x+x^{2}+x^{3}+o\left(
x^{3}\right)  \right)  e.e^{x+x^{2}+x^{3}+o\left(  x^{3}\right)  }\\
&  =e\left(  1+x+x^{2}+x^{3}+o\left(  x^{3}\right)  \right)  \left(  1+\left(
x+x^{2}+x^{3}\right)  +\frac{1}{2}\left(  x+x^{2}\right)  ^{2}+\frac{1}%
{6}\left(  x\right)  ^{3}+o\left(  x^{3}\right)  \right) \\
&  =e\left(  1+x+x^{2}+x^{3}+o\left(  x^{3}\right)  \right)  \left(
1+x+\frac{3}{2}x^{2}+\frac{13}{6}x^{3}+o\left(  x^{3}\right)  \right) \\
&  =e\left(  1+2x+\frac{7}{2}x^{2}+\frac{17}{3}x^{3}+o\left(  x^{3}\right)
\right)
\end{align*}
ce qui est le d\'{e}veloppement limit\'{e} \`{a} l'ordre $3$ en $0$ de
$f.\bigskip$\newline{\Large DEUXIEME\ PARTIE :\bigskip}

\item Soit $E=\{n\in\mathbb{N}\ ;\ $il existe un polyn\^{o}me $P_{n}$ pour
lequel $\forall x\in I,\;f^{\left(  n\right)  }\left(  x\right)  =P_{n}\left(
\frac{1}{1-x}\right)  e^{\frac{1}{1-x}}\}$

\begin{itemize}
\item $\forall x\in I,\;f^{\left(  0\right)  }\left(  x\right)  =P_{0}\left(
\frac{1}{1-x}\right)  e^{\frac{1}{1-x}}$ pour le polyn\^{o}me $P_{0}=X,$ ce
qui prouve que $0\in E.$

\item Soit $n\in\mathbb{N},$ si $n\in E,$ alors soit $P_{n}$ polyn\^{o}me tel
que $\forall x\in I,\;f^{\left(  n\right)  }\left(  x\right)  =P_{n}\left(
\frac{1}{1-x}\right)  e^{\frac{1}{1-x}}$ ; $f$ \'{e}tant de classe
$\mathcal{C}^{\infty},$ on peut d\'{e}river l'expression pour obtenir :%
\[
\forall x\in I,\;f^{\left(  n+1\right)  }\left(  x\right)  =\left(  \frac
{1}{\left(  1-x\right)  ^{2}}P_{n}\left(  \frac{1}{1-x}\right)  +\frac
{1}{\left(  1-x\right)  ^{2}}P_{n}^{\prime}\left(  \frac{1}{1-x}\right)
\right)  e^{\frac{1}{1-x}}%
\]
Posons donc $P_{n+1}=X^{2}\left(  P_{n}+P_{n}^{\prime}\right)  ,$ $P_{n+1}$
est un polyn\^{o}me tel que
\[
\forall x\in I,\;f^{\left(  n+1\right)  }\left(  x\right)  =P_{n+1}\left(
\frac{1}{1-x}\right)  e^{\frac{1}{1-x}}%
\]
ce qui d\'{e}montre que $n+1\in E.$
\end{itemize}

Le th\'{e}or\`{e}me de r\'{e}currence permet alors de conclure que
$E=\mathbb{N},$ et donc que pour tout entier naturel $n,$ il existe un
polyn\^{o}me $P_{n}$ pour lequel $\forall x\in I,\;f^{\left(  n\right)
}\left(  x\right)  =P_{n}\left(  \frac{1}{1-x}\right)  e^{\frac{1}{1-x}},$ de
plus on a \'{e}tablit la relation : $P_{n+1}=X^{2}\left(  P_{n}+P_{n}^{\prime
}\right)  ,$ $P_{n+1}$ pour tout entier naturel $n.$

\item On a d\'{e}j\`{a} expliqu\'{e} $P_{0}=X,$ et la relation
pr\'{e}c\'{e}dente permet de calculer $P_{1}=X^{3}+X^{2},$ puis $P_{2}%
=X^{5}+4X^{4}+2X^{3}$ et enfin $P_{3}=X^{7}+9X^{6}+18X^{5}+6X^{4}.$

\item D'apr\`{e}s 2) $f$ est une solution de $\left(  E\right)  $ sur $I,$
donc on a
\[
\forall x\in I,\;\left(  1-x^{2}\right)  f^{\prime}\left(  x\right)  =\left(
2-x\right)  f\left(  x\right)
\]
D\'{e}rivons cette expression $n$ fois par la formule de Leibniz, il vient :
\[
\forall x\in I,\;\left(  1-x\right)  ^{2}f^{\left(  n+1\right)  }\left(
x\right)  -2n\left(  1-x\right)  f^{\left(  n\right)  }\left(  x\right)
+n\left(  n-1\right)  f^{\left(  n-1\right)  }\left(  x\right)  =\left(
2-x\right)  f^{\left(  n\right)  }\left(  x\right)  -nf^{\left(  n-1\right)
}\left(  x\right)
\]
Multiplions le tout par $\left(  \frac{1}{1-x}\right)  ^{2}e^{-\frac{1}{1-x}%
},$ et utilisons l'expression des d\'{e}riv\'{e}es successives de $f$ obtenue
\`{a} la question 4), il vient :%
\[
P_{n+1}\left(  \frac{1}{1-x}\right)  -\left(  \left(  2n+1\right)  \frac
{1}{1-x}+\left(  \frac{1}{1-x}\right)  ^{2}\right)  P_{n}\left(  \frac{1}%
{1-x}\right)  +\frac{n^{2}}{\left(  1-x\right)  ^{2}}P_{n-1}\left(  \frac
{1}{1-x}\right)  =0
\]
Le polyn\^{o}me $P_{n+1}$ et le polyn\^{o}me $\left(  \left(  2n+1\right)
X+X^{2}\right)  P_{n}\left(  X\right)  -n^{2}X^{2}P_{n-1}\left(  X\right)  $
co\"{\i}ncident donc au moins sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ (puisque
$x\longmapsto\frac{1}{1-x}$ r\'{e}alise une bijection de $I$ sur
$\mathbb{R}_{+}^{\ast})$ donc en une infinit\'{e} de valeurs, ces
polyn\^{o}mes sont donc \'{e}gaux. Ainsi
\[
P_{n+1}=\left[  \left(  2n+1\right)  X+X^{2}\right]  P_{n}\left(  X\right)
-n^{2}X^{2}P_{n-1}\left(  X\right)
\]
\medskip{\Large TROISIEME\ PARTIE :}

\item D'apr\`{e}s la d\'{e}finition de $P_{n},$ on a $a_{n}=f^{\left(
n\right)  }\left(  0\right)  =P_{n}\left(  1\right)  e,$ d'o\`{u}
$a_{n+1}=\left(  \left(  2n+1\right)  +1\right)  a_{n}-n^{2}a_{n-1},$ soit
\[
a_{n+1}=\left(  2n+2\right)  a_{n}-n^{2}a_{n-1}%
\]


\item
\begin{enumerate}
\item On a calcul\'{e} $P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},$ on en d\'{e}duit
$a_{0}=e,\;a_{1}=2e,\;a_{2}=7e\;$et $a_{3}=34e,$ puis $a_{4}=8a_{3}%
-9a_{2}=209e$.

\item $f$ \'{e}tant de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ son d\'{e}veloppement
limit\'{e} \`{a} l'ordre $4$ en $0$ est obtenu par la formule de Taylor Young
:%
\[
f\left(  x\right)  =a_{0}+a_{1}x+\frac{a_{2}}{2}x^{2}+\frac{a_{3}}{3!}%
x^{3}+\frac{a_{4}}{4!}x^{4}+o\left(  x^{4}\right)
\]
Tous les calculs ont \'{e}t\'{e} faits pr\'{e}c\'{e}demment :%
\[
f\left(  x\right)  =e\left(  1+2x+\frac{7}{2}x^{2}+\frac{17}{3}x^{3}%
+\frac{209}{24}+o\left(  x^{4}\right)  \right)
\]
remarque : on v\'{e}rifie d'ailleurs ainsi que le r\'{e}sultat trouv\'{e} en
3) a de grandes chances d'\^{e}tre correct...
\end{enumerate}

\item Soit $p\in\mathbb{N}.$ Appliquons la formule de Taylor avec reste
int\'{e}grale \`{a} l'ordre $p$ \`{a} la fonction exponentielle entre $0$ et
$1$ :%
\[
e^{1}=\sum_{i=0}^{p}\frac{1}{i!}+\int_{0}^{1}\frac{\left(  1-t\right)  ^{p}%
}{p!}e^{t}dt
\]
Mais par croissance de l'int\'{e}grale et gr\^{a}ce \`{a} l'encadrement
$0\leqslant\frac{\left(  1-t\right)  ^{p}}{p!}e^{t}\leqslant\frac{1}{p!}$
valable pour tout r\'{e}el $t\in\left[  0,1\right]  ,$ on en d\'{e}duit%
\[
0\leqslant e-\sum_{i=0}^{p}\frac{1}{i!}\leqslant\frac{1}{p!}%
\]
et le th\'{e}or\`{e}me d'encadrement des limites permet alors de conclure :
$\lim\limits_{p\rightarrow\infty}\sum_{i=0}^{p}\frac{1}{i!}=e.$

\item
\begin{enumerate}
\item D'une part $S_{p}\left(  0\right)  =\sum_{i=0}^{p}\frac{i!}{\left(
i!\right)  ^{2}}=u_{p},$ d'autre part, $\newline$pour $i\geqslant1,$ $\left(
i+1\right)  !=\left[  \left(  i-1\right)  !\right]  \times i\left(
i+1\right)  =i^{2}\left(  i-1\right)  !+i!,$ donc pour tout $i\geqslant1,$%
\[
\frac{\left(  i+1\right)  !}{\left(  i!\right)  ^{2}}=\frac{\left(
i-1\right)  !}{\left(  \left(  i-1\right)  !\right)  ^{2}}+\frac{1}{i!}%
\]
D'o\`{u} en sommant :%
\begin{align*}
S_{p}\left(  1\right)   &  =1+\sum_{i=1}^{p}\frac{\left(  i+1\right)
!}{\left(  i!\right)  ^{2}}\\
&  =\left(  1+\sum_{i=1}^{p}\frac{1}{i!}\right)  +\sum_{i=1}^{p}\frac{\left(
i-1\right)  !}{\left(  \left(  i-1\right)  !\right)  ^{2}}%
\end{align*}
On en d\'{e}duit apr\`{e}s changement d'indice $i^{\prime}=i-1$ dans la
deuxi\`{e}me somme, la relation%
\[
S_{p}\left(  1\right)  =u_{p}+u_{p-1}%
\]


\item Il en r\'{e}sulte imm\'{e}diatement d'apr\`{e}s 9)%
\[
\lim\limits_{p\rightarrow+\infty}S_{p}\left(  0\right)  =e\text{ et }%
\lim\limits_{p\rightarrow+\infty}S_{p}\left(  1\right)  =2e
\]

\end{enumerate}

\item D'abord :%
\[
S_{p}\left(  n+1\right)  -\left(  2n+2\right)  S_{p}\left(  n\right)
+n^{2}S_{p}\left(  n-1\right)  =\sum_{i=0}^{p}\frac{\left(  n+i+1\right)
!-\left(  2n+2\right)  \left(  n+i\right)  !+n^{2}\left(  n+i-1\right)
!}{\left(  i!\right)  ^{2}}%
\]
Ensuite, on peut simplifier le terme g\'{e}n\'{e}ral de la somme de droite :%
\begin{align*}
\frac{\left(  n+i+1\right)  !-\left(  2n+2\right)  \left(  n+i\right)
!+n^{2}\left(  n+i-1\right)  !}{\left(  i!\right)  ^{2}}  &  =\frac{\left(
n+i-1\right)  !\left[  \left(  n+i+1\right)  \left(  n+i\right)  -\left(
2n+2\right)  \left(  n+i\right)  +n^{2}\right]  }{\left(  i!\right)  ^{2}}\\
&  =\frac{\left(  n+i-1\right)  !\left(  i^{2}-i-n\right)  }{\left(
i!\right)  ^{2}}%
\end{align*}
D'o\`{u} pour tout $i\geqslant1,$ $\frac{\left(  n+i+1\right)  !-\left(
2n+2\right)  \left(  n+i\right)  !+n^{2}\left(  n+i-1\right)  !}{\left(
i!\right)  ^{2}}=\frac{\left(  n+i-1\right)  }{\left(  \left(  i-1\right)
!\right)  ^{2}}-\frac{\left(  n+i\right)  !}{\left(  i!\right)  ^{2}},$ et
donc en revenant \`{a} la somme :%
\begin{align*}
S_{p}\left(  n+1\right)  -\left(  2n+2\right)  S_{p}\left(  n\right)
+n^{2}S_{p}\left(  n-1\right)   &  =-n!+\sum_{i=1}^{p}\frac{\left(
n+i-1\right)  }{\left(  \left(  i-1\right)  !\right)  ^{2}}-\sum_{i=1}%
^{p}\frac{\left(  n+i\right)  !}{\left(  i!\right)  ^{2}}\\
&  =\sum_{i=0}^{p-1}\frac{\left(  n+i\right)  !}{\left(  i!\right)  ^{2}}%
-\sum_{i=0}^{p}\frac{\left(  n+i\right)  !}{\left(  i!\right)  ^{2}}\\
&  =S_{p-1}\left(  n\right)  -S_{p}\left(  n\right)
\end{align*}
On a d\'{e}montr\'{e} la relation :
\[
S_{p}\left(  n+1\right)  -\left(  2n+2\right)  S_{p}\left(  n\right)
+n^{2}S_{p}\left(  n-1\right)  =S_{p-1}\left(  n\right)  -S_{p}\left(
n\right)
\]


\item Consid\'{e}rons l'ensemble $E^{\prime}=\left\{  n\in\mathbb{N}%
\ ;\ \left(  S_{p}\left(  n\right)  \right)  _{p\in\mathbb{N}}\text{
converge}\right\}  $

\begin{itemize}
\item On a montr\'{e} en 10.b) que $0,1\in E^{\prime}$

\item Si un entier naturel non nul $n$ v\'{e}rifie $:\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
n-1\in E^{\prime}\\
n\in E^{\prime}%
\end{array}
\right.  $ alors $\left(  S_{p}\left(  n+1\right)  \right)  _{p\in\mathbb{N}}$
\'{e}tant combinaison lin\'{e}aire des suites $\left(  S_{p}\left(  n\right)
\right)  _{p\in\mathbb{N}}$ et $\left(  S_{p-1}\left(  n\right)  \right)
_{p\in\mathbb{N}}$ (avec de \textquotedblleft vrais\textquotedblright%
\ coefficients ind\'{e}pendants de $p)$ on en d\'{e}duit que $\left(
S_{p}\left(  n+1\right)  \right)  _{p\in\mathbb{N}}$ converge aussi, et donc
$n+1\in E^{\prime}.$
\end{itemize}

Le th\'{e}or\`{e}me de r\'{e}currence double permet alors de conclure que
$E^{\prime}=\mathbb{N}$ et donc que pour tout $n\in\mathbb{N},$ la suite
$\left(  S_{p}\left(  n\right)  \right)  _{p\in\mathbb{N}}$ converge.

\item Passons \`{a} la limite lorsque $p\rightarrow+\infty$ dans la relation
\'{e}tablie pr\'{e}c\'{e}demment :%
\[
S_{p}\left(  n+1\right)  -\left(  2n+2\right)  S_{p}\left(  n\right)
+n^{2}S_{p}\left(  n-1\right)  =S_{p-1}\left(  n\right)  -S_{p}\left(
n\right)
\]
et appelons $b_{n}$ la limite de $\left(  S_{p}\left(  n\right)  \right)
_{p\in\mathbb{N}}$ pour chaque entier $n,$ on obtient :
\[
b_{n+1}-\left(  2n+2\right)  b_{n}+n^{2}b_{n-1}=b_{n}-b_{n}%
\]
et on en d\'{e}duit que les suites $\left(  a_{n}\right)  $ et $\left(
b_{n}\right)  $ v\'{e}rifient la m\^{e}me relation de r\'{e}currence
double.\newline Mais de plus, $b_{0}=e=a_{0}$ et $b_{1}=2e=a_{1}$ ; on en
d\'{e}duit que les suites $\left(  a_{n}\right)  $ et $\left(  b_{n}\right)  $
sont \'{e}gales, c'est-\`{a}-dire que pour tout entier $n\in\mathbb{N},$ on a
:%
\[
a_{n}=\lim\limits_{p\rightarrow+\infty}S_{p}\left(  n\right)  =\lim
\limits_{p\rightarrow+\infty}\sum_{i=0}^{p}\frac{\left(  n+i\right)
!}{\left(  i!\right)  ^{2}}%
\]
Enfin, en remarquant $\left(
\begin{array}
[c]{c}%
n+i\\
n
\end{array}
\right)  \times\frac{1}{i!}=\frac{\left(  n+i\right)  !}{n!\left(  i!\right)
^{2}},$ on peut aussi \'{e}crire :%
\[
a_{n}=\lim\limits_{p\rightarrow+\infty}\sum_{i=0}^{p}\frac{\left(  n+i\right)
!}{\left(  i!\right)  ^{2}}=\lim\limits_{p\rightarrow+\infty}n!\sum_{i=0}%
^{p}\left(
\begin{array}
[c]{c}%
n+i\\
n
\end{array}
\right)  .\frac{1}{i!}\bigskip
\]
\bigskip
\end{enumerate}

\begin{center}
\bigskip{\Large ALGEBRE\ ET\ GEOMETRIE\bigskip}
\end{center}

{\Large PREMIERE\ PARTIE :}

\begin{enumerate}
\item On lit sur la matrice $J,$ $f\left(  \overrightarrow{u}\right)
=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(  \overrightarrow{k}+\overrightarrow{i}%
+\overrightarrow{j}\right)  =\overrightarrow{u}.$\newline D'autre part soit,
$\overrightarrow{v}\in\overrightarrow{E}$ et $\left(  x,y,z\right)  $ ses
coordonn\'{e}es dans $B.$ $f\left(  \overrightarrow{v}\right)  $ a alors pour
coordonn\'{e}es $\left(  y,z,x\right)  $ donc
\begin{align*}
\overrightarrow{v}  &  \in Q\iff x+y+z=0\\
&  \iff y+z+x=0\\
&  \iff f\left(  \overrightarrow{v}\right)  \in Q
\end{align*}
Donc $Q$ est stable par $f.$

\item
\begin{enumerate}
\item $Q$ est en fait le plan de vecteur normal $\overrightarrow{u},$ donc
$\overrightarrow{v}\in Q\iff\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=0,$ ce que
l'on v\'{e}rifie ais\'{e}ment : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left(
\frac{1}{\sqrt{3}}\left(
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
1\\
1
\end{array}
\right)  |\left(
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
\frac{-1}{2}\\
\frac{1}{2}%
\end{array}
\right)  \right)  =0,$ donc $\overrightarrow{v}\in Q$ ; d'autre part,
$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v},$ donc
$\overrightarrow{w}\perp\overrightarrow{u},$ et donc aussi $\overrightarrow
{w}\in Q$ ; enfin, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ \'{e}tant deux
vecteurs orthogonaux non nuls, $\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow
{v},\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v}\right)  $ est une base
orthogonale de $\overrightarrow{E}$ donc $\left(  \overrightarrow
{v},\overrightarrow{w}\right)  $ est un famille libre de deux vecteurs dans
$Q,$ qui est de dimension $2,$ donc $\left(  \overrightarrow{v}%
,\overrightarrow{w}\right)  $ est une base de $Q.$

\item $\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow
{w}\right)  $ est une base orthogonale directe, mais n'est pas une base
orthonorm\'{e}e, puisque $\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert ^{2}%
=\frac{3}{2}$

\item On a vu que $\overrightarrow{v}\in Q,$ que $Q$ est stable par $f$ et que
$Q$ a pour base $\left(  \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)  ,$ donc
il existe deux r\'{e}els $\alpha$ et $\beta$ tels que $f\left(
\overrightarrow{v}\right)  =\alpha\overrightarrow{v}+\beta\overrightarrow{w}%
.$\newline De plus, puisque $\left(  \overrightarrow{v},\overrightarrow
{w}\right)  $ est orthogonale, on a $\alpha=\frac{f\left(  \overrightarrow
{v}\right)  .\overrightarrow{v}}{\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert
^{2}}$ et $\beta=\frac{f\left(  \overrightarrow{v}\right)  .\overrightarrow
{w}}{\left\Vert \overrightarrow{w}\right\Vert ^{2}}.$ On calcule alors les
coordonn\'{e}es de $\overrightarrow{w}$ puis les produits scalaires dans la
base orthonorm\'{e}e directe $B$ :%
\begin{align*}
\overrightarrow{w}  &  =\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v}=\left(
\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{j}-\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow
{k}\right) \\
f\left(  \overrightarrow{v}\right)  .\overrightarrow{v}  &  =\left(  \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\frac{-1}{2}\\
\frac{-1}{2}\\
1
\end{array}
\right)  |\left(
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
\frac{-1}{2}\\
\frac{-1}{2}%
\end{array}
\right)  \right)  =-\frac{3}{4}\\
f\left(  \overrightarrow{v}\right)  .\overrightarrow{w}  &  =\left(  \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\frac{-1}{2}\\
\frac{-1}{2}\\
1
\end{array}
\right)  |\left(
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
\frac{\sqrt{3}}{2}\\
-\frac{\sqrt{3}}{2}%
\end{array}
\right)  \right)  =\frac{-3\sqrt{3}}{4}%
\end{align*}
D'o\`{u} on d\'{e}duit $\alpha=\frac{-1}{2}$ et $\beta=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$
On a donc d\'{e}j\`{a} d\'{e}montr\'{e} $f\left(  \overrightarrow{v}\right)
=\cos\left(  -\frac{2\pi}{3}\right)  \overrightarrow{v}+\sin\left(
\frac{-2\pi}{3}\right)  \overrightarrow{w}.$\newline Enfin, le calcul
matriciel de $f\left(  \overrightarrow{w}\right)  $ donne $f\left(
\overrightarrow{w}\right)  =\frac{\sqrt{3}}{2}\left(  \overrightarrow
{i}-\overrightarrow{j}\right)  ,$ mais d'autre part :%
\[
\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{v}-\frac{1}{2}\overrightarrow{w}=\frac
{\sqrt{3}}{2}\left(  \overrightarrow{i}-\frac{1}{2}\overrightarrow{j}-\frac
{1}{2}\overrightarrow{k}\right)  -\frac{1}{2}\left(  \frac{\sqrt{3}}%
{2}\overrightarrow{j}-\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{k}\right)
=\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{i}-\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{k}%
\]
Donc $f\left(  \overrightarrow{w}\right)  =\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow
{v}-\frac{1}{2}\overrightarrow{w}=-\sin\left(  -\frac{2\pi}{3}\right)
\overrightarrow{v}+\cos\left(  \frac{-2\pi}{3}\right)  \overrightarrow{w}.$
D'o\`{u} pour $\theta=-\frac{2\pi}{3},$ on a
\[
f\left(  \overrightarrow{v}\right)  =\cos\left(  \theta\right)
\overrightarrow{v}+\sin\left(  \theta\right)  \overrightarrow{w}\text{ et
}f\left(  \overrightarrow{w}\right)  =-\sin\left(  \theta\right)
\overrightarrow{v}+\cos\left(  \theta\right)  \overrightarrow{w}%
\]


\item La restriction de $f$ au plan $Q$ est donc la rotation vectorielle
d'angle $-\frac{2\pi}{3}.$ (ces deux applications lin\'{e}aires
co\"{\i}ncident en effet sur la base $\left(  \overrightarrow{v}%
,\overrightarrow{w}\right)  $ donc aussi sur le plan $Q$ qu'elle
engendre).\bigskip

{\Large DEUXIEME\ PARTIE :\medskip}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On obtient $P=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 1\\
1 & \frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{-1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}\\
1 & \frac{-1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2} & \frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}%
\end{array}
\right]  $c'est-\`{a}-dire $P=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 1 & 1\\
1 & j & j^{2}\\
1 & j^{2} & j
\end{array}
\right]  .$

\item Le calcul donne imm\'{e}diatement $P\overline{P}=3I,$ en tenant compte
de la relation $1+j+j^{2}=0$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On effectue les produits matriciels :

\begin{itemize}
\item $JX_{1}=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
1\\
1
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
1\\
1
\end{array}
\right]  =X_{1}$

\item $JX_{2}=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
j\\
j^{2}%
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
j\\
j^{2}\\
1
\end{array}
\right]  =jX_{2}$

\item $JX_{2}=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{c}%
1\\
j^{2}\\
j
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
j^{2}\\
j\\
1
\end{array}
\right]  =j^{2}X_{2}$
\end{itemize}

\item On a donc
\[
J\left[  X_{1}\;X_{2}\;X_{3}\right]  =\left[  JX_{1}\;JX_{2}\;JX_{3}\right]
=\left[  X_{1}\;jX_{2}\;j^{2}X_{3}\right]  ,
\]
mais aussi
\[
\left[  X_{1}\;X_{2}\;X_{3}\right]  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 0\\
0 & j & 0\\
0 & 0 & j^{2}%
\end{array}
\right]  =\left[  X_{1}\;jX_{2}\;j^{2}X_{3}\right]  ,
\]
Par d\'{e}finition de $M\left(  a,b,c\right)  $d'o\`{u} en posant
$\Delta=\operatorname*{diag}\left(  1,j,j^{2}\right)  ,$ il vient
$JP=P\Delta.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item La matrice $M=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
a_{1} & b_{1} & c_{1}\\
a_{2} & b_{2} & c_{2}\\
a_{3} & b_{3} & c_{3}%
\end{array}
\right]  $ commute avec $J$ si et seulement si :%
\[
\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
a_{1} & b_{1} & c_{1}\\
a_{2} & b_{2} & c_{2}\\
a_{3} & b_{3} & c_{3}%
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0
\end{array}
\right]  \left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
a_{1} & b_{1} & c_{1}\\
a_{2} & b_{2} & c_{2}\\
a_{3} & b_{3} & c_{3}%
\end{array}
\right]
\]
Soit si et seulement si%
\[
\allowbreak\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
c_{1} & a_{1} & b_{1}\\
c_{2} & a_{2} & b_{2}\\
c_{3} & a_{3} & b_{3}%
\end{array}
\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
a_{2} & b_{2} & c_{2}\\
a_{3} & b_{3} & c_{3}\\
a_{1} & b_{1} & c_{1}%
\end{array}
\right]
\]
Donc si et seulement si $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
a_{1}=b_{2}=c_{3}\\
a_{2}=b_{3}=c_{1}\\
a_{3}=b_{1}=c_{2}%
\end{array}
\right.  $ $;$ ainsi $M$ commute avec $J$ si et seulement si il existe trois
complexes $a,b,c$ tels que $M=aI+bJ+cJ^{2}.$ Ce qui se traduit en disant que
$C\left(  J\right)  $ est le sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{3}\left(
\mathbb{C}\right)  $ engendr\'{e} par la famille $\left(  I,J,J^{2}\right)  .$

\item Cette famille est libre dans $M_{3}\left(  \mathbb{C}\right)  $, c'est
donc une base de $C\left(  J\right)  ,$ qui par suite est de dimension $3.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Par d\'{e}finition de $M\left(  a,b,c\right)  $, on a
\begin{align*}
P^{-1}M\left(  a,b,c\right)  P  &  =P^{-1}\left(  aI+bJ+cJ^{2}P\right) \\
&  =aI+bP^{-1}JP+cP^{-1}J^{2}P
\end{align*}
Or d'apr\`{e}s 4.b) $P^{-1}JP=\Delta$ et par suite $P^{-1}J^{2}P=\left(
P^{-1}JP\right)  ^{2}=\Delta^{2},$ d'o\`{u} on d\'{e}duit :%
\[
P^{-1}M\left(  a,b,c\right)  P=\operatorname*{diag}\left(  a+b+c,a+bj+cj^{2}%
,a+bj^{2}+cj\right)
\]


\item Par la r\`{e}gle de Sarrus, $\det\left(  M\left(  a,b,c\right)  \right)
)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc,$ et $D\left(  a,b,c\right)  $ \'{e}tant diagonale,
son d\'{e}terminant est le produit des \'{e}l\'{e}ments diagonaux, donc
$\det\left(  D\left(  a,b,c\right)  \right)  =\left(  a+b+c\right)  \left(
a+bj+cj^{2}\right)  \left(  a+bj^{2}+cj\right)  .$

\item Mais on a la relation $P^{-1}M\left(  a,b,c\right)  P=D\left(
a,b,c\right)  $ et

\begin{itemize}
\item le d\'{e}terminant d'un produit matriciel est le produit des d\'{e}terminants

\item le d\'{e}terminant de l'inverse d'une matrice inversible est l'inverse
du d\'{e}terminant,
\end{itemize}

d'o\`{u} $\det\left(  M\left(  a,b,c\right)  \right)  =\det\left(  D\left(
a,b,c\right)  \right)  .$ Ce qui fournit la factorisation demand\'{e}e :%
\[
a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\left(  a+b+c\right)  \left(  a+bj+cj^{2}\right)
\left(  a+bj^{2}+cj\right)
\]


\item $M\left(  a,b,c\right)  $ est singuli\`{e}re si et seulement si son
d\'{e}terminant est nul, donc d'apr\`{e}s la forme factoris\'{e}e
pr\'{e}c\'{e}dente si et seulement si $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\left(  a+b+c\right)  =0\\
\text{ou }\left(  a+bj+cj^{2}\right)  =0\\
\text{ou }\left(  a+bj^{2}+cj\right)  =0
\end{array}
\right.  .$\newline Or $\left(  a+b+c\right)  =0$ se traduit
g\'{e}om\'{e}triquement par $O$ est l'isobarycentre de $\left(  A,B,C\right)
$ et\newline$\left(  T\right)  $ est \'{e}quilat\'{e}ral si et seulement si
les affixes respectives de $A,B,C$ v\'{e}rifient $\frac{b-a}{c-a}=\pm
e^{\frac{2i\pi}{3}}$ (traduction de $AB=AB$ et $\left(  \overrightarrow
{AC},\overrightarrow{AB}\right)  \equiv\pm\frac{2\pi}{3}\left[  2\pi\right]
.$ Enfin, $\frac{b-a}{c-a}=\pm j^{2}$ s'\'{e}crit encore $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\left(  a+bj+cj^{2}\right)  =0\\
\text{ou }\left(  a+bj^{2}+cj\right)  =0
\end{array}
\right.  ,$ donc finalement,%
\[
M\left(  a,b,c\right)  \text{ est singuli\`{e}re si et seulement si }O\text{
est centre de gravit\'{e} de }\left(  T\right)  \text{ ou }\left(  T\right)
\text{ est \'{e}quilat\'{e}ral}%
\]
\bigskip{\Large TROISIEME\ PARTIE :\medskip}
\end{enumerate}

\item Notons que les relations traduisant les barycentres $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
a_{n+1}=\lambda b_{n}+\left(  1-\lambda\right)  c_{n}\\
b_{n+1}=\left(  1-\lambda\right)  a_{n}+\lambda c_{n}\\
c_{n+1}=\lambda a_{n}+\left(  1-\lambda\right)  b_{n}%
\end{array}
\right.  $ s'\'{e}crivent matriciellement
\begin{align*}
Y_{n+1}  &  =\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & \lambda & 1-\lambda\\
1-\lambda & 0 & \lambda\\
\lambda & 1-\lambda & 0
\end{array}
\right]  Y_{n}\\
&  =\left(  \lambda J+\left(  1-\lambda\right)  J^{2}\right)  Y_{n}\\
&  =M\left(  0,\lambda,1-\lambda\right)  Y_{n}%
\end{align*}
Passons alors \`{a} la relation de r\'{e}currence sur les vecteurs
$Z_{n}=P^{-1}Y_{n}:$%
\[
Z_{n+1}=P^{-1}M\left(  0,\lambda,1-\lambda\right)  PY_{n}%
\]
Et donc d'apr\`{e}s les r\'{e}sultats de la deuxi\`{e}me partie :%
\[
Z_{n+1}=D\left(  0,\lambda,1-\lambda\right)  Z_{n}%
\]


\item Toujours d'apr\`{e}s la deuxi\`{e}me partie, et sachant que les produits
de matrices diagonales sont des matrices diagonales dont les \'{e}l\'{e}ments
diagonaux sont obtenus par produits terme \`{a} terme, il vient :%
\[
\left(  D\left(  0,\lambda,1-\lambda\right)  \right)  ^{n}%
=\operatorname*{diag}\left(  1,\lambda j+\left(  1-\lambda\right)
j^{2}\right)  ^{n}=\operatorname*{diag}\left(  1,\left(  \lambda j+\left(
1-\lambda\right)  j^{2}\right)  ^{n},\left(  \lambda j^{2}+\left(
1-\lambda\right)  j\right)  ^{n}\right)
\]


\item
\begin{enumerate}
\item On met le nombre complexe $\lambda j+\left(  1-\lambda\right)  j^{2}$
sous forme alg\'{e}brique : $\lambda j+\left(  1-\lambda\right)  j^{2}%
=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\left(  2\lambda-1\right)  ,$ et on en
d\'{e}duit%
\[
\left\vert \lambda j+\left(  1-\lambda\right)  j^{2}\right\vert ^{2}=\frac
{1}{4}+\frac{3}{4}\left(  2\lambda-1\right)  ^{2}%
\]
Donc $\left\vert \lambda j+\left(  1-\lambda\right)  j^{2}\right\vert <1$ si
et seulement si $\frac{3}{4}\left(  2\lambda-1\right)  ^{2}<\frac{3}{4}$ ce
qui \'{e}quivaut \`{a} $\lambda\in\left]  0,1\right[  .$ On en d\'{e}duit que
$\left(  \left(  \lambda j+\left(  1-\lambda\right)  j^{2}\right)
^{n}\right)  _{n\in\mathbb{N}}$ converge si et seulement si $\lambda\in\left]
0,1\right[  .$

\item Si cette condition est v\'{e}rifi\'{e}e, alors on a aussi $\left\vert
\overline{\lambda j+\left(  1-\lambda\right)  j^{2}}\right\vert <1,$ soit
$\left\vert \lambda j^{2}+\left(  1-\lambda\right)  j\right\vert <1$ et donc
la suite g\'{e}om\'{e}trique $\left(  \left(  \lambda j^{2}+\left(
1-\lambda\right)  j\right)  ^{n}\right)  _{n\in\mathbb{N}}$ converge aussi.
Notons alors pour tout $n\in\mathbb{N},\;Z_{n}=\left(
\begin{array}
[c]{c}%
x_{n}\\
y_{n}\\
z_{n}%
\end{array}
\right)  .$ On a $Z_{n}=\left(  D\left(  0,\lambda,1-\lambda\right)  \right)
^{n}Z_{0},$ donc
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
x_{n}=x_{0}\\
y_{n}=\left(  \lambda j+\left(  1-\lambda\right)  j^{2}\right)  ^{n}y_{0}\\
z_{n}=\left(  \lambda j^{2}+\left(  1-\lambda\right)  j\right)  ^{n}z_{0}%
\end{array}
\right.
\]
et donc $\left(  x_{n}\right)  _{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $x_{0},$
$\left(  y_{n}\right)  _{n\in\mathbb{N}}$ et $\left(  z_{n}\right)
_{n\in\mathbb{N}}$ convergent vers $0.$\newline Mais de plus $Y_{n}=PZ_{n},$
donc les suites $\left(  a_{n}\right)  ,\left(  b_{n}\right)  ,\left(
c_{n}\right)  $ sont combinaison lin\'{e}aire des suites $\left(
x_{n}\right)  ,\left(  y_{n}\right)  $ et $\left(  z_{n}\right)  .$ La
convergence de ces derni\`{e}res permet alors d'assurer que lorsque
$\lambda\in\left]  0,1\right[  $ les suites $\left(  a_{n}\right)  ,\left(
b_{n}\right)  $ et $\left(  c_{n}\right)  $ sont convergentes.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On a montr\'{e} en III.7) la relation $Y_{n+1}=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & \lambda & 1-\lambda\\
1-\lambda & 0 & \lambda\\
\lambda & 1-\lambda & 0
\end{array}
\right]  Y_{n},$ donc
\begin{align*}
a_{n+1}+b_{n+1}+c_{n+1}  &  =\left(  \lambda b_{n}+\left(  1-\lambda\right)
c_{n}\right)  +\left(  \left(  1-\lambda\right)  a_{n}+\lambda b_{n}\right)
+\left(  \lambda a_{n}+\left(  1-\lambda\right)  b_{n}\right) \\
&  =a_{n}+b_{n}+c_{n}%
\end{align*}


\item Lorsque $\lambda\in\left]  0,1\right[  ,$ on peut passer \`{a} la limite
dans la relation de r\'{e}currence matricielle pr\'{e}c\'{e}dente. Posons
$l_{1}=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}a_{n},$ $l_{2}=\lim
\limits_{n\rightarrow+\infty}b_{n}$ et $l_{3}=\lim\limits_{n\rightarrow
+\infty}c_{n},$ il vient :%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
l_{1}=\lambda l_{2}+\left(  1-\lambda\right)  l_{3}\\
l_{2}=\left(  1-\lambda\right)  l_{1}+\lambda l_{3}\\
l_{3}=\lambda l_{1}+\left(  1-\lambda\right)  l_{2}%
\end{array}
\right.
\]
Rempla\c{c}ons la deuxi\`{e}me ligne de ce syst\`{e}me par elle m\^{e}me
multipli\'{e}e par $\left(  1-\lambda\right)  $ additionn\'{e}e de la
premi\`{e}re ligne multipli\'{e}e par $-\lambda,$ on en d\'{e}duit :%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
l_{1}=\lambda l_{2}+\left(  1-\lambda\right)  l_{3}\\
-\lambda l_{1}+\left(  1-\lambda\right)  l_{2}=-\lambda^{2}l_{2}+\left(
1-\lambda\right)  ^{2}l_{1}\\
l_{3}=\lambda l_{1}+\left(  1-\lambda\right)  l_{2}%
\end{array}
\right.
\]
puis
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
l_{1}=\lambda l_{2}+\left(  1-\lambda\right)  l_{3}\\
\left(  1-\lambda+\lambda^{2}\right)  l_{1}=\left(  1-\lambda+\lambda
^{2}\right)  l_{2}\\
l_{3}=\lambda l_{1}+\left(  1-\lambda\right)  l_{2}%
\end{array}
\right.
\]
Enfin comme $\left(  1-\lambda+\lambda^{2}\right)  $ ne s'annule pas sur
$\left]  0,1\right[  $ on en d\'{e}duit $l_{1}=l_{2}$ puis $l_{3}=l_{1},$ donc
si les suites $\left(  a_{n}\right)  ,\left(  b_{n}\right)  ,\left(
c_{n}\right)  $ convergent, alors elles ont m\^{e}me limite $l.$

\item Enfin sachant que la suite $\left(  a_{n}+b_{n}+c_{n}\right)  $ est
constante \'{e}gale \`{a} $a+b+c,$ on peut conclure en passant de nouveau
\`{a} la limite $3l=a+b+c,$ donc
\[
\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}a_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}%
b_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}c_{n}=\frac{a+b+c}{3}%
\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}
