%% This document created by Scientific Word (R) Version 3.0

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%$S_{p}$
%$P$
%}
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\def \sujet{EPREUVE COMMUNE}
\def \an{2004}
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\begin{document}
{\Large L'emploi d'une calculatrice est interdit.}

\begin{center}
{\Large ANALYSE :}
\end{center}

{\Large PREMIERE\ PARTIE :}\newline Soit $\left(  E\right)  $ l'\'{e}quation
diff\'{e}rentielle : $\left(  1-x\right)  ^{2}y^{\prime}=\left(  2-x\right)
y.$\newline On note $I$ l'intervalle $\left]  -\infty,1\right[  .$

\begin{enumerate}
\item Calculer une primitive $A$ de la fonction $a$ d\'{e}finie sur $I$ par :
$a\left(  x\right)  =\frac{2-x}{\left(  1-x\right)  ^{2}}.$

\item Int\'{e}grer $\left(  E\right)  $ sur $I.$\newline Soit $f$ la fonction
d\'{e}finie sur $I$ par $f\left(  x\right)  =\frac{1}{1-x}e^{\frac{1}{1-x}}.$

\item Calculer le d\'{e}veloppement limit\'{e} de $f$ au voisinage de $0$
\`{a} l'ordre $3.$\newline{\Large DEUXIEME\ PARTIE :}

\item Prouver par r\'{e}currence que, pour tout entier naturel $n,$ il existe
un polyn\^{o}me $P_{n}$ tel que :\newline$f^{\left(  n\right)  }\left(
x\right)  =P_{n}\left(  \frac{1}{1-x}\right)  e^{\frac{1}{1-x}}$ pour tout
r\'{e}el $x$ appartenant \`{a} $I.$\newline La d\'{e}monstration permet
d'exprimer $P_{n+1}\left(  X\right)  $ en fonction de $P_{n}\left(  X\right)
,$ $P_{n}^{\prime}\left(  X\right)  $ et $X.$ Expliciter cette relation.

\item Pr\'{e}ciser $P_{0},P_{1},P_{2}$ et $P_{3}.$

\item En d\'{e}rivant $n$ fois les deux membres de l'\'{e}quation $\left(
E\right)  ,$ prouver que pour tout entier positif $n$ :%
\[
P_{n+1}\left(  X\right)  =\left[  \left(  2n+1\right)  X+X^{2}\right]
P_{n}\left(  X\right)  -n^{2}X^{2}P_{n-1}\left(  X\right)
\]
{\Large TROISIEME\ PARTIE\ :}\newline Le but de cette partie est d'\'{e}tablir
quelques propri\'{e}t\'{e}s des nombres $a_{n}=f^{\left(  n\right)  }\left(
0\right)  .$

\item Pour tout entier positif $n,$ exprimer $a_{n+1}$ en fonction de
$n,a_{n}$ et $a_{n-1}.$

\item
\begin{enumerate}
\item Pr\'{e}ciser, sans nouveau calcul : $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}.$ En
d\'{e}duire $a_{4}.$

\item Pr\'{e}ciser le d\'{e}veloppement limit\'{e} de $f$ au voisinage de $0$
\`{a} l'ordre $4.$
\end{enumerate}

\item On d\'{e}signe par $\left(  u_{p}\right)  $ la suite d\'{e}finie pour
tout entier naturel $p$ par : $u_{p}=\sum_{i=0}^{p}\frac{1}{i!}.$\newline En
appliquant une formule de Taylor \`{a} la fonction exponentielle, prouver que
la suite $\left(  u_{p}\right)  $ converge vers $e.$\newline$p$ et $n$
d\'{e}signant des entiers naturels quelconques, on pose :%
\[
S_{p}\left(  n\right)  =\sum_{i=0}^{p}\frac{\left(  n+i\right)  !}{\left(
i!\right)  ^{2}}%
\]


\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer $S_{p}\left(  0\right)  $ et $S_{p}\left(  1\right)  $ \`{a}
l'aide de $u_{p}$ et $u_{p-1}$ pour $p\geqslant1.$

\item Prouver que les suites $p\rightarrow S_{p}\left(  0\right)  $ et
$p\rightarrow S_{p}\left(  1\right)  $ convergent et pr\'{e}ciser leur limite
en fonction de $e.$
\end{enumerate}

\item Prouver que quels que soient les entiers $p$ et $n$ sup\'{e}rieurs ou
\'{e}gaux \`{a} $1$ :%
\[
S_{p}\left(  n+1\right)  -\left(  2n+2\right)  S_{p}\left(  n\right)
+n^{2}S_{p}\left(  n-1\right)  =S_{p-1}\left(  n\right)  -S_{p}\left(
n\right)
\]


\item En d\'{e}duire que pour tout entier naturel $n,$ la suite $p\rightarrow
S_{p}\left(  n\right)  $ converge.

\item Prouver que : $a_{n}=\lim\limits_{p\rightarrow+\infty}\sum_{i=0}%
^{p}\frac{\left(  n+i\right)  !}{\left(  i!\right)  ^{2}}=\lim
\limits_{p\rightarrow+\infty}n!\sum_{i=0}^{p}\left(
\begin{array}
[c]{c}%
n+i\\
n
\end{array}
\right)  .\frac{1}{i!}\bigskip$
\end{enumerate}

\begin{center}
{\LARGE ALGEBRE\ ET\ GEOMETRIE\bigskip}
\end{center}

{\Large PREMIERE\ PARTIE :\bigskip}\newline Soient $I$ et $J$ les matrices
d\'{e}finies par : $I=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]  $ et $J=\left[
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0
\end{array}
\right]  .$\newline$\overrightarrow{E}$ d\'{e}signe l'espace vectoriel usuel
orient\'{e} muni d'une base orthonorm\'{e}e directe $B=\left(  \overrightarrow
{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)  .$\newline Soit : $f$
l'endomorphisme de $\overrightarrow{E}$ d\'{e}fini par sa matrice $J$
relativement \`{a} la base $B$ et $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\sqrt{3}%
}\left(  \overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}\right)  $

\begin{enumerate}
\item Calculer $f\left(  \overrightarrow{u}\right)  $ et prouver que le plan
$Q$ d'\'{e}quation $x+y+z=0$ est stable par $f$ (c'est-\`{a}-dire que l'image
par $f$ de tout vecteur de $Q$ appartient \`{a} $Q).$

\item On pose $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}+\frac{1}{2}\left(
-\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}\right)  $ et $\overrightarrow
{w}=\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v}.$

\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que $\left(  \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)
$ est une base du plan $Q.$

\item $\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow
{w}\right)  $ est-elle une base orthonorm\'{e}e directe de $\overrightarrow
{E}$ ?

\item Trouver un r\'{e}el $\theta$ tel que : $f\left(  \overrightarrow
{v}\right)  =\cos\left(  \theta\right)  \overrightarrow{v}+\sin\left(
\theta\right)  \overrightarrow{w}$ et $f\left(  \overrightarrow{w}\right)
=-\sin\left(  \theta\right)  \overrightarrow{v}+\cos\left(  \theta\right)
\overrightarrow{w}.$

\item Que pensez-vous de la nature g\'{e}om\'{e}trique de la restriction de
$f$ \`{a} $Q$ ?\bigskip
\end{enumerate}

{\Large DEUXIEME\ PARTIE :\bigskip}\newline Pour tout vecteur $\overrightarrow
{t}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k},$ on note
$\left[  \overrightarrow{t}\right]  =\left[
\begin{array}
[c]{c}%
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]  $ la matrice de $\overrightarrow{t}$ relativement \`{a} la base
$B.$\newline On d\'{e}finit ainsi les matrices colonnes \`{a} coefficients
complexes $X_{1}=\sqrt{3}\left[  \overrightarrow{u}\right]  ,$ $X_{2}=\left[
\overrightarrow{v}\right]  +i\left[  \overrightarrow{w}\right]  $ et
$X_{3}=\left[  \overrightarrow{v}\right]  -i\left[  \overrightarrow{w}\right]
$ et on d\'{e}signe par $P$ la matrice carr\'{e}e d'ordre $3$ : $P=\left[
X_{1}\;X_{2}\;X_{3}\right]  .$

\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer les coefficients non r\'{e}els de $P$ en fonction de $j$ et
$j^{2}.$ (On rappelle que $j$ d\'{e}signe le nombre complexe $e^{\frac{2i\pi
}{3}}$).

\item Soit $\overline{P}$ la matrice dont les coefficients sont les
conjugu\'{e} de ceux de $P.$ Exprimer le produit $P.\overline{P}$ en fonction
de la matrice $I.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Pour $i\in\left\{  1,2,3\right\}  ,$ calculer $JX_{i}$ en fonction de
$X_{i}.$

\item En d\'{e}duire une matrice diagonale $\Delta$ telle que : $P\Delta=JP.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Prouver que l'ensemble $C\left(  J\right)  =\left\{  M\in M_{3}\left(
\mathbb{C}\right)  /MJ=JM\right\}  $ des matrices $M$ qui commutent avec $J$
est le sous-espace vectoriel de $M_{3}\left(  \mathbb{C}\right)  $
engendr\'{e} par $I,J$ et $J^{2}.$

\item Donner une base et la dimension de $C\left(  J\right)  .$
\end{enumerate}

\item $a,b$ et $c$ d\'{e}signant des nombres complexes quelconques, on note :
$M\left(  a,b,c\right)  =aI+bJ+cJ^{2}.$

\begin{enumerate}
\item Calculer la matrice $D\left(  a,b,c\right)  =P^{-1}M\left(
a,b,c\right)  P,$ en utilisant le r\'{e}sultat de la question 4.b).

\item Calculer de fa\c{c}on ind\'{e}pendante les d\'{e}terminants de $M\left(
a,b,c\right)  $ et $D\left(  a,b,c\right)  .$

\item En d\'{e}duire que l'expression : $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc,$ est le
produit de trois expressions de la forme $\alpha a+\beta b+\gamma c$ o\`{u}
$\alpha,\beta$ et $\gamma$ repr\'{e}sentent des nombres complexes \`{a} pr\'{e}ciser.

\item On suppose que $a,b,c$ sont distincts et on consid\`{e}re ces nombres
comme les affixes respectives des sommets $A,B,C$ d'un triangle $\left(
T\right)  $ dans un plan complexe d'origine $O.$

\item Prouver que la matrice $M\left(  a,b,c\right)  $ est singuli\`{e}re
(autrement dit : non inversible) si et seulement si $\left(  T\right)  $ est
\'{e}quilat\'{e}ral ou si $O$ est son centre de gravit\'{e}.
\end{enumerate}

{\Large TROISIEME\ PARTIE\ :}\newline On reprend les notations de la question
pr\'{e}c\'{e}dente et on construit par r\'{e}currence une suite $\left(
T_{n}\right)  $ de triangles de sommets $A_{n},B_{n}$ et $C_{n}$ en posant :

\begin{itemize}
\item $\left(  T_{0}\right)  =\left(  T\right)  .$

\item $\lambda$ d\'{e}signant un nombre r\'{e}el, pour tout entier naturel
$n,$ $\left(  T_{n+1}\right)  $ est le triangle dont les sommets
$A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1}$ sont tels que :%
\begin{align*}
&  A_{n+1}\text{ est le barycentre des points pond\'{e}r\'{e}s }\left(
B_{n},\lambda\right)  \text{ et }\left(  C_{n},1-\lambda\right) \\
&  B_{n+1}\text{ est le barycentre des points pond\'{e}r\'{e}s }\left(
C_{n},\lambda\right)  \text{ et }\left(  A_{n},1-\lambda\right) \\
&  C_{n+1}\text{ est le barycentre des points pond\'{e}r\'{e}s }\left(
A_{n},\lambda\right)  \text{ et }\left(  B_{n},1-\lambda\right)
\end{align*}
On note : $a_{n},b_{n}$ et $c_{n}$ les affixes respectives des sommets
$A_{n},$ $B_{n}$ et $C_{n}.$%
\[
Y_{n}=\left[
\begin{array}
[c]{c}%
a_{n}\\
b_{n}\\
c_{n}%
\end{array}
\right]  \text{ et }Z_{n}=P^{-1}Y_{n}%
\]

\end{itemize}

\item Prouver que pour tout entier $n$ : $Z_{n+1}=D\left(  0,\lambda
,1-\lambda\right)  .Z_{n}.$

\item Expliciter les coefficients de la matrice $\left(  D\left(
0,\lambda,1-\lambda\right)  \right)  ^{n}.$

\item
\begin{enumerate}
\item On admet qu'une suite g\'{e}om\'{e}trique non nulle de raison complexe
$q$ converge si et seulement si $q=1$ ou $\left\vert q\right\vert <1.$\newline
Prouver que la suite d\'{e}finie pour tout entier $n$ par $\left(  \lambda
j+\left(  1-\lambda\right)  j^{2}\right)  ^{n}$converge si et seulement si
$\lambda$ appartient \`{a} un intervalle \`{a} pr\'{e}ciser.

\item Prouver que si cette condition est r\'{e}alis\'{e}e, les suites $\left(
a_{n}\right)  ,\left(  b_{n}\right)  $ et $\left(  c_{n}\right)  $ convergent.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer $a_{n+1}+b_{n+1}+c_{n+1}$ en fonction de $a_{n}+b_{n}+c_{n}.$

\item Prouver que les suites $\left(  a_{n}\right)  ,\left(  b_{n}\right)  $
et $\left(  c_{n}\right)  $ ont m\^{e}me limite.

\item Exprimer cette limite en fonction de $a,b$ et $c.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}
