\baselineskip=14pt
\pretolerance=500  \tolerance=1000  \brokenpenalty=5000

\parindent=0cm


%d{\'U}finition des guillemets.
\def\og{\leavevmode
  \raise0.28ex\hbox{$\scriptscriptstyle\langle\!\langle$}\nobreak
 \hskip -.6pt plus.3pt minus.2pt $\,$}
\def\fg{$\!$\nobreak \hskip -.6pt plus.3pt minus.2pt
 \raise0.28ex\hbox{$\scriptscriptstyle\rangle\!\rangle$}\thinspace}

\hsize = 17cm \vsize = 24cm
\input amssym
%\input mescp



\def\[{[\mskip-3mu [}
\def\]{]\mskip-3mu]}
\def\U{{\Bbb U}}
\def\R{{\Bbb R}}
\def\N{{\Bbb N}}
\def\C{{\Bbb C}}
\def\Q{{\Bbb Q}}
\def\Z{{\Bbb Z}}
\def\K{{\Bbb K}}


%op{\'U}rateurs math{\'U}matiques
\def\tan{\mathop{\rm tan}\nolimits}
\def\cotan{\mathop{\rm cotan}\nolimits}
\def\arctan{\mathop{\rm Arctan}\nolimits}
\def\arccotan{\mathop{\rm Arccotan}\nolimits}
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\def\im{\mathop{\rm Im}\nolimits}      %image
\def\ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits}    %noyau
\def\rg{\mathop{\rm rg}\nolimits}      %rang
\def\E{\mathop{\rm E}\nolimits}        % partie enti�re
\def\re{\mathop{\rm Re}\nolimits}      %partie r{\'U}elle
\def\succ{\mathop{\rm Succ}\nolimits}  %sucesseur
%\def\emptyset{\mathchar"081F}          %ensemble vide
\def\dis{\displaystyle}
\def\underset#1_#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}
\def\iff{\Leftrightarrow}
\def\frac#1#2{{#1\over #2}}
\def\dis{\displaystyle}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\op{\mathop{\rm op}\nolimits}
\def\deg{\mathop{\rm deg}\nolimits}
\def\pgcd{\mathop{\rm pgcd}\nolimits}
\def\res{\mathop{\rm res}}
\def\det{\mathop{\rm det}\nolimits}
%\nopagenumbers

\def\hat{\widehat}
\def\vect{\overrightarrow}
\def\tilde{\widetilde}



%\centerline{\bf Introduction et notations}


%\vskip 1cm


%Ce texte d'analyse fonctionnelle a pour objet l'{\'e}tude de quelques
%propri{\'e}t{\'e}s des s{\'e}ries trigonom{\'e}triques ; il se conclut par une
%application {\`a} la r{\'e}solution d'un probl{\`e}me de Dirichlet par une
%approche variationnelle (partie III)
%\medskip



%\vfill\eject

\centerline{Agr{\'e}gation Interne 2004. Deuxi{\`e}me {\'e}preuve}
\smallskip

\centerline{ \bf CORRIG\'E }
\medskip

{\bf  Partie I : Questions pr{\'e}liminaires. Exemples }
\smallskip
 {\bf A. Un lemme de Cantor}
 \smallskip
1. La suite $f_n(x)= a_n\cos(nx)+b_n \sin(nx)$ tend vers $0$ pour
tout $x$ r{\'e}el. En prenant $x=2\pi$, il vient $\dis \lim_{n\to
+\infty} a_n =0$, et donc que $\dis \lim_{n\to +\infty}
b_n\sin(nx) =0$
\medskip


 2. a) Supposons que la suite $(b_n)$ ne tende pas vers z{\'e}ro. cela se traduit par
 $$\exists\ \varepsilon >0, \forall k\in \N,\ \exists\ n_k \hbox{ tel que } |b_{n_k}|\geq \varepsilon$$

Quitte  choisir $n_k$ plus grand, on peut supposer que la
sous-suite $(n_k)$ v{\'e}rifie $n_{k+1}\geq 3n_k$.

\smallskip

Avec les notations de la question, demander $J_{k+1}\i J_k$
revient {\`a} demander
$${n_{k+1}\over n_k}({\pi\over 6}+p_k\pi)< {\pi\over 6}+p_{k+1}\pi< {5\pi\over 6}+p_{k+1}\pi<
{n_{k+1}\over n_k}({5\pi\over 6}+p_{k+1}\pi)$$
ou
$${n_{k+1}\over n_k}({1\over 6}+p_k)< {1\over 6}+p_{k+1}< {5\over 6}+p_{k+1}<
{n_{k+1}\over n_k}({5\over 6}+p_{k+1})$$
soit

$${n_{k+1}\over n_k}p_k +{1\over 6}\left({n_k+1-n_k\over n_k}\right) <p_{k+1}<
{n_{k+1}\over n_k}p_k +{5\over 6}\left({n_k+1-n_k\over
n_k}\right)$$ ou avec une notation {\'e}vidente
$$u+{1\over 6}v <p_{k+1}< u+{5\over 6}v$$

On remarque que $\dis v={n_k+1-n_k\over n_k}\geq 2$. Il suffit de
prendre $\dis p_{k+1}=\lfloor u+{1\over 6}v \rfloor$. On a
imm{\'e}diatement la premi{\`e}re in{\'e}galit{\'e}, et la seconde est v{\'e}rifi{\'e}e
puisque
$$u+{5\over 6}v= u+{1\over 6}v +{4\over 6}v \geq u+{1\over 6}v +{4\over 3}$$

\smallskip
Par le th{\'e}or{\`e}me des segments embo{\^\i}t{\'e}s, $\dis\bigcap_{k\geq 1} J_k
\neq \emptyset$. Soit $x\in \dis\bigcap_{k\geq 1} J_k$. Il vient,
comme $n_k x \in [a_k,b_k]$
$$|b_{n_k}\sin(n_k x)|\geq |b_{n_k}|{1\over 2}\geq {\varepsilon\over 2}$$
en contradiction, avec la premi{\`e}re question.

\smallskip
b) Un calcul imm{\'e}diat donne
$$\int_0^\pi (b_n \sin (nx))^2 dx = \pi b_n^2$$

Si la suite $(b_n)$ est born{\'e}e, la suite $(b_n\sin(nx))$ est
{\'e}galement born{\'e}e et comme elle
 converge simplement vers $0$, on a, par le th{\'e}or{\`e}me de convergence domin{\'e}e,
 $$\lim_{n\to +\infty} \pi b_n^2 = \lim_{n\to +\infty} \int_0^\pi (b_n \sin (nx))^2 dx=
 \int_0^\pi \lim_{n\to +\infty}(b_n \sin (nx))^2 dx = 0$$

 La suite $(b_n)$ tend donc vers $0$.

\smallskip

Dans le cas g{\'e}n{\'e}ral, on pose
$$b'_n =\inf(1, b_n)=\cases{ 1 & si $|b_n|>1$\cr
                             b_n & si $|b_n|\leq 1$\cr   }$$

Cette suite est born{\'e}e et comme $|b'_n|\leq |b_n|$, $\dis
\lim_{n\to +\infty} |b'_n \sin nx|=0$. Donc par le r{\'e}sultat
pr{\'e}c{\'e}dent, il vient  $\dis \lim_{n\to +\infty} b'_n =0$. Ainsi il
ne peut exister qu'un nombre fini d'indices $n$ pour lesquels
$|b_n|>1$. Donc, la suite  $(b_n)$ est born{\'e}e, et on est revenu {\`a}
la question pr{\'e}c{\'e}dente.



\bigskip
 {\bf B. L'espace $H$}
 \smallskip

1. a) Comme, pour tout $x$ r{\'e}el
$$\left|{a_n\over n}\sin (nx)\right|\leq {1\over 2}\left(a_n^2+{1\over n^2}\right)$$

 la s{\'e}rie $\dis \sum \left|{a_n\over n}\sin (nx)\right|$ est normalement convergente sur $\R$.

\smallskip
b) Pour tout $n\in \N^*$, $x \to {a_n\over n}\sin (nx)$ est
continue sur $[0,\pi]$. Par convergence normale sur $\R$,
$\theta(\alpha)$ est une fonction continue sur $[0, \pi]$, {\`a}
valeurs r{\'e}elles.

 \smallskip
c) L'application $\theta$ est manifestement lin{\'e}aire. Elle est
injective par le th{\'e}or{\`e}me de Parseval. En effet, $\theta(\alpha)$
est continue sur $[0,\pi]$, $2\pi$ p{\'e}riodique et impaire. Par
convergence normale, les coefficients de Fourier de
$\theta(\alpha)$ sont, pour tout $n\geq 0$
$$ a_n=0, \quad b_n= {\alpha_n\over n}$$
Donc, si pour tout $x$ r{\'e}el, $\theta(\alpha)(x)=0$, il vient
$$\sum_{n=1}^\infty\left|{\alpha_n\over n}\right|^2= {1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}|\theta(\alpha)(x)|^2 dx =0$$

Donc, pour tout $n\geq 1, \alpha_n=0$.
\smallskip

Par d{\'e}finition $H=\theta(\ell_\R^2)$, est isom{\'e}trique {\`a}
$\ell_\R^2$ qui est un espace de Hilbert. L'espace $H$ est donc
complet.

 \medskip

2. Soit $\tilde{f}$  d{\'e}finie dans cette question. Cette fonction
est continue sur $\R$ (car $f\in E$), $C^1_m$, $2\pi$ p{\'e}riodique
et impaire. Ainsi, pour tout $n\geq 0, a_n(\tilde{f})=0$ et pour
tout $n\geq 1$
$$b_n= {2\over \pi} \int_0^\pi f(t)\sin (nt)dt$$

Par le th{\'e}or{\`e}me de Dirichlet, la s{\'e}rie de Fourier de $\tilde{f}$
converge normalement vers $\tilde{f}$. Donc la s{\'e}rie $\dis
\sum_{n\geq 1}|b_n|$ converge et pour tout $t\in \R$
$$ \tilde{f}(t)= \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(nt)$$

Donc, pour tout $t\in [0,\pi]$
$$ f(t)= \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(nt)$$

Notons $0=t_0< t_1<\cdots < t_p=\pi$ les points de discontinuit{\'e}
de $\tilde{f}$. Une int{\'e}gration par parties donne
$$ b_n= {2\over \pi} \int_0^\pi f(t)\sin (nt)dt={2\over n\pi}\sum_{k=0}^{p-1}\int_{t_k}^{t_{k+1}}f'(t)\cos(nt)dt
={\alpha_n \over n}$$

les scalaires $\alpha_n$ sont les coefficients de Fourier de la
fonction $\tilde{f'}$ qui est $C_m^0$, paire et $2\pi$ p{\'e}riodique.
Par le th{\'e}or{\`e}me de Parseval $\dis \sum_{n\geq 1} |\alpha_n|^2$
converge.

\medskip

3. L'application $(f,g)\to (f\mid g)$ est manifestement bilin{\'e}aire
et sym{\'e}trique. Elle est d{\'e}finie positive, puisque $ (f\mid
f)={2\over \pi}\dis \int_0^\pi (f')^2(t) dt \geq 0$ et
$$0=(f\mid f)={2\over \pi}\dis \int_0^\pi (f')^2(t) dt \Rightarrow \forall\ t \in [0,\pi], f'(t)=0$$
et comme $f\in E$, il vient $f=0$.

La norme associ{\'e}e {\`a} ce produit scalaire co{\"\i}ncide avec la
restriction {\`a} $E$ de $||\cdot ||_H$, par la question pr{\'e}c{\'e}dente
(et donc le th{\'e}or{\`e}me de Parseval).

\smallskip
Enfin, $E$ est dense dans $(H,||\cdot ||_H)$, car si
$f=\theta(\alpha)\in H$, pour tout $t\in [0,\pi], f(t)= \dis
\sum_{n=1}^\infty {\alpha_n\over n} \sin(nt)$, avec $\dis
\sum_{n=1}^\infty |\alpha_n|^2$ s{\'e}rie convergente.

Posons, pour tout $N\in \N^*$, $f_N(t)= \dis \sum_{n=1}^N {\alpha_n\over n} \sin(nt)$. Cette
fonction est dans $E$ ($C^\infty, f_N(0)=f_N(\pi)=0$) et, lorsque $N$ tend vers l'infini
$$ ||f-f_N||_H^2= \sum_{n=N+1}^\infty |\alpha_n|^2 \longrightarrow 0$$
\medskip

4. a) Soit $f\in H$. Utilisons l'in{\'e}galit{\'e} de Cauchy--Schwarz ;
pour tout $t\in \R$
$$|f(t)|\leq \sum_{n=1}^\infty \left|{\alpha_n\over n}\right||\sin (nt)|\leq
\left(\sum_{n=1}^{\infty}{1\over n^2}\right)^{1/2} ||f||_H= {\pi\over \sqrt{6}}||f||_H$$

b) Soit $f\in E$. Un calcul donne
$$(f\mid h_a)= {2\over \pi a}\int_0^a f'(t)dt -{2\over \pi(\pi-a)}\int_a^\pi f'(t)dt= {2f(a)\over a(\pi-a)}$$
 Donc, pour tout $a\in ]0,\pi[$
 $$ |f(a)|\leq {a(\pi-a)\over 2}|(f\mid h_a)|\leq {a(\pi-a)\over 2} ||h_a||_H ||f||_H$$
 et
 $$||h_a||_H^2= {2\over \pi}\int_0^\pi h'_a(t)^2 dt = {2\over a(\pi-a)}$$

Donc
$$ |f(a)|\leq {a(\pi-a)\over 2}\times \sqrt{{2\over a(\pi-a)}} ||f||_H=\sqrt{{a(\pi-a)\over 2}}||f||_H $$

Par continuit{\'e} cette in{\'e}galit{\'e} reste valable sur $[0,\pi]$. Enfin,
pour tout $a\in [0,\pi]$
$$\sqrt{{a(\pi-a)\over 2}}\leq \sqrt{{\pi^2\over 8}}$$
Donc
$$||f||_\infty\leq {\pi\over \sqrt{8}}||f||_H$$

Par densit{\'e} de $E$ dans $(H,||\cdot ||_H)$, cette derni{\`e}re
in{\'e}galit{\'e} reste valable pour $f\in H$.

\medskip
5. a) Par continuit{\'e} de la norme, $\dis \lim_{n\to
+\infty}||f_n||_H=||f||_H$. La suite $(||f_n||_H)$est donc born{\'e}e
; l'in{\'e}galit{\'e} d{\'e}montr{\'e}e dans la question pr{\'e}c{\'e}dente montre que
$(||f_n||_\infty)$ est born{\'e}e.

\smallskip
b) On d{\'e}veloppe le carr{\'e} suivant

$$\eqalign{
{\pi\over 2}||g_p-g_q||_H^2 &=  \int_0^\pi \left(f'_p F'\circ f_p - f'_q F'\circ f_q\right)^2\cr
 &=  \int_0^\pi \left( (f'_q-f'_p)F'\circ f_q + f'_p(F'\circ f_q- F'\circ f_p)\right)^2\cr
 &= \int_0^\pi [(f'_q-f'_p)F'\circ f_q]^2 \cr
 &\hskip 1cm +2\int_0^\pi(f'_q-f'_p)F'\circ f_q\times f'_p(F'\circ f_q- F'\circ
 f_p)\cr
  &\hskip 1cm+\int_0^\pi [f'_p(F'\circ f_q- F'\circ f_p)]^2
}$$

On a
$$\int_0^\pi [(f'_q-f'_p)F'\circ f_q]^2\leq M_1^2 ||f_p-f_q||_H^2$$

On utilise ensuite l'in{\'e}galit{\'e} de Cauchy--Schwarz
$$\eqalign{\int_0^\pi(f'_q-f'_p)F'\circ f_q\times f'_p(F'\circ f_q- F'\circ f_p)& \cr
&\hskip -4cm\leq M_1 ||f_p-f_q||_H \left( \int_0^\pi [f'_p(F'\circ
f_q- F'\circ f_p)]^2 \right)^{1/2}}$$

Enfin, par le th{\'e}or{\`e}me des accroissements finis
$$\eqalign{
\int_0^\pi [f'_p(F'\circ f_q- F'\circ f_p)]^2&\leq \int_0^\pi
|f'_p|^2 M_2^2 |f_p-f_q|^2\cr &\leq M_2^2
||f_p-f_q||_\infty^2||f_p||_H^2\cr &\leq {\pi^2\over 8}M_2^2
||f_p-f_q||_H^2||f_p||_H^2}$$

En regroupant ces trois  in{\'e}galit{\'e}s, on obtient
$$||g_p-g_q||_H\leq \left({\pi\over \sqrt{8}}M_2 ||f_p||_H+M_1\right)||f_p-f_q||_H$$

c) La suite $(f_n)$ de $E$ convergeant vers $f$ dans $H$ est de
Cauchy. L'in{\'e}galit{\'e} pr{\'e}c{\'e}dente montre que la suite $(g_n)$ est de
Cauchy et donc converge dans $H$. Les $g_n$ sont {\'e}l{\'e}ments de $E$
(par les hypoth{\`e}ses demand{\'e}es sur $F$) et $\dis \lim_{n\to \infty}
g_n = F\circ f$. En effet
$$||g_n-g||_\infty \leq {\pi\over \sqrt{8}}||g_n-g||_H \longrightarrow 0$$
et par continuit{\'e} de $F$, pour tout $t, \dis \lim_{n\to +\infty}
(F\circ f_n)(t)= (F\circ f)(t)$. On conclut par unicit{\'e} de la
limite.


\smallskip
d) L'espace de Hilbert $H$ est une alg{\`e}bre, car, pour tout
$(f,g)\in H^2$
$$fg= {1\over 4}\left((f+g)^2-(f-g)^2\right)$$
et par la question pr{\'e}c{\'e}dente, avec $F(x)=x^2$, on sait que
$(f+g)^2$ et $(f-g)^2$ appartiennent {\`a} $H$.





\vskip 0.5cm { \bf Partie II. Pseudo--d{\'e}riv{\'e}e seconde au sens de
Schwarz}
\medskip

1. Soit $g : t \to f(x+t)-f(x)-tf'(x)-\dis  {t^2\over 2}f''(x)$.
La formule de Taylor--Young {\`a} l'ordre $2$ pour $f$ montre que
$g(h)+g(-h)=o(h^2)$, lorsque $h$ tend vers $0$. On a donc, lorsque
$h$ tend vers $0$
$$\lim_{h\to 0}{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)\over h^2}= f''(x)$$

\medskip
2. a) La fonction $\varphi$ est continue comme somme de fonctions
continues et on v{\'e}rifie imm{\'e}diatement que $\varphi(a)=
\varphi(b)=0$.

Un calcul donne
$${\varphi(x+h)+\varphi(x-h)-2\varphi(x)\over h^2}= {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)+2h^2\varepsilon\over h^2}$$

Ainsi $\varphi^{('')}(x)$ existe et $\varphi^{('')}(x)=2\varepsilon$.

\smallskip
Supposons que $\varphi$ admette un maximum strictement positif en
$x\in [a,b]$. Dans ce cas, pour tout $h$, $\dis
{\varphi(x+h)+\varphi(x-h)-2\varphi(x)\over h^2}<0$, et {\`a} la
limite lorsque $h$ tend vers $0$,
$\varphi^{('')}(x)=2\varepsilon\leq 0$ : contradiction {\`a}
$\varepsilon >0$.

\smallskip
b) Aussi, pour tout $x\in [a,b], \varphi(x)\leq 0$, et, pour tout $\varepsilon >0$
$$f(x)-f(a)-{f(b)-f(a)\over b-a}(x-a)\leq \varepsilon (x-a)(b-x)$$
En faisant rendre $\varepsilon$ vers $0$, il vient, pour tout $x\in [a,b]$,
$$f(x)-f(a)-{f(b)-f(a)\over b-a}(x-a)\leq 0$$

Posons
$$\psi(x) =f(x)-f(a)-{f(b)-f(a)\over b-a}(x-a)+ \varepsilon (x-a)(b-x)$$

La fonction $\psi$ est continue comme somme de fonctions continues
et on v{\'e}rifie imm{\'e}diatement que $\psi(a)= \psi(b)=0$.

Un calcul donne
$${\psi(x+h)+\psi(x-h)-2\psi(x)\over h^2}= {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)-2h^2\varepsilon\over h^2}$$

Ainsi $\psi^{('')}(x)$ existe et $\psi^{('')}(x)=-2\varepsilon$.


\smallskip
Supposons que $\psi$ admette un minimum strictement n{\'e}gatif en
$x\in [a,b]$. Dans ce cas, pour tout $h$, $\dis
{\psi(x+h)+\psi(x-h)-2\psi(x)\over h^2}>0$, et {\`a} la limite lorsque
$h$ tend  vers $0$, $\psi^{('')}(x)=-2\varepsilon\geq 0$ :
contradiction {\`a} $\varepsilon >0$.

\smallskip
Aussi, pour tout $x\in [a,b], \psi(x)\geq 0$, et, pour tout $\varepsilon >0$
$$f(x)-f(a)-{f(b)-f(a)\over b-a}(x-a)\geq \varepsilon (x-a)(b-x)$$
En faisant rendre $\varepsilon$ vers $0$, il vient, pour tout $x\in [a,b]$,
$$f(x)-f(a)-{f(b)-f(a)\over b-a}(x-a)\geq 0$$

Finalement $f$ est une fonction affine sur $[a,b]$.

\medskip

3. a) La s{\'e}rie $\sum (a_n \cos nx +b_n \sin nx)$ {\'e}tant
convergente, on sait que pour tout $x$ r{\'e}el, $\dis \lim_{n\to
+\infty}a_n \cos nx +b_n \sin nx=0$. par le lemme de Cantor, on
sait alors que $\dis \lim_{n\to +\infty}a_n= \dis \lim_{n\to
+\infty}b_n=0$. les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont donc born{\'e}es et
pour tout $x$ r{\'e}el
$$ \left|{a_n \cos nx +b_n \sin nx\over n^2}  \right|\leq {C\over n^2}$$
ce qui entra{\^\i}ne une convergence normale de la s{\'e}rie $\sum (a_n
\cos nx +b_n \sin nx)$ et donc l'existence et la continuit{\'e} de
$F$.

\smallskip
b) On utilise les relations entre lignes trigonom{\'e}triques, pour
montrer que
$$\Delta(x,h)= \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx +b_n \sin nx) {4\over n^2h^2}\sin^2\left({nh\over 2}\right)$$

\smallskip
c) Regardons
$$\eqalign{
\sum_{k=0}^n S_k(x)(u(kh)-u((k+1)h))&= \sum_{k=0}^n S_k(x)u(kh)- \sum_{k=1}^n S_k(x)u((k+1)h)\cr
 &\hskip -2cm=\sum_{k=1}^n S_k(x)u(kh)- \sum_{k=1}^{n+1} S_{k-1}(x)u(kh)\cr
 & \hskip -2cm=\sum_{k=1}^n (a_k\cos kx +b_k \sin kx)u(kh)-S_n(x)u((n+1)h)
}$$

\'Egalement
$$\sum_{k=0}^n f(x)(u(kh)-u((k+1)h))= f(x)(1-u((n+1)h))$$

Donc
$$\eqalign{\sum_{k=0}^n (S_k(x)-f(x))(u(kh)-u((k+1)h))&= \cr
&\hskip -5cm \sum_{k=1}^n (a_k\cos kx +b_k \sin kx)u(kh)-f(x)-
(S_n(x)-f(x)) u((n+1)h)}$$

Or, lorsque $n$ tend vers l'infini, pour tout $x$ r{\'e}el,
$$|u((n+1)h)|\leq {4\over (n+1)^2h^2}\to 0, \quad \hbox{ et } |S_n(x)-f(x)|\to 0$$


\smallskip
d) i) On peut {\'e}crire
$$\Delta(x,h)-f(x)= \sum_{n=0}^\infty (S_n(x)-f(x))\int_{nh}^{(n+1)h} u'(t)dt$$
avec, pour $u'(0)=0$ et pour $t\neq 0$ $u'(x)= \dis {2\over x^2}\left[-{4\over x}\sin^2\left({x\over
2}\right)+\sin (x)\right]$.

$\star\ $ Pour tout $n$, pour tout $x$ r{\'e}el, $\dis \lim_{h\to 0}
(S_n(x)-f(x))\int_{nh}^{(n+1)h} u'(t)dt=0$

$\star\ $ On remarque que $u'\in C_0(\R^+)$ et qu'au voisinage de $\infty$, $|u'(x)|\leq
\dis {C\over x^2}$. La fonction $u'$ est donc sommable sur $\R^+$.

$\star\ $ On sait que la suite $(S_n)$ converge simplement vers
$f$. Soit $x$ fix{\'e} et $\varepsilon
>0$. Il existe $N_0=N(x, \varepsilon)$, tel que pour tout $n\geq N_0, |S_n(x)-f(x)|<\varepsilon$.

\smallskip
En regroupant ces informations, il vient
$$\eqalign{|R_{N_0}(x,h)|&\leq \sum_{n=N_0}^\infty |(S_n(x)-f(x))|\int_{nh}^{(n+1)h} |u'(t)|dt\cr
&\leq \varepsilon \sum_{n=N_0}^\infty \int_{nh}^{(n+1)h} |u'(t)|dt
 \leq \varepsilon  \int_{N_0h}^{\infty} |u'(t)|dt\cr
 &\leq  \varepsilon \int_{0}^{\infty} |u'(t)|dt =C \varepsilon}$$

La s{\'e}rie $\dis h\to \sum_{n=0}^\infty
(S_n(x)-f(x))\int_{nh}^{(n+1)h} u'(t)dt$ est donc uniform{\'e}ment
convergente sur $\R^+$. Par le th{\'e}or{\`e}me de limite, il vient
$$\lim_{h\to 0}\Delta(x,h)-f(x)=0$$

ii) Soit $\psi : \dis x \to \int_0^x (x-t) f(t) dt = x \int_0^x
f(t) dt -\int_0^x t f(t) dt$. La fonction $f$ {\'e}tant continue, la
fonction $\psi$ est de classe $C^2$ et $\psi''(x)=f(x)$, pour tout
$x$ r{\'e}el.

\smallskip

iii) Si l'on pose $g= F-\psi$, par les questions pr{\'e}c{\'e}dentes, on a
$g^{('')}(x)=0$ et donc $g$ est une fonction affine, soit
$$F(x)= \alpha x +\beta + \int_0^x (x-t) f(t) dt $$

\smallskip

e) Si $F(x)=\dis -\sum_{n=1}^\infty {a_n \cos nx +b_n \sin nx\over
n^2}$, par convergence normale,
$$a_0(F)=0, \forall n\geq 1, a_n(F)=-{a_n \over n^2}, b_n(F)=-{b_n \over
n^2}$$

On sait que $F(x)=\alpha x+\beta +\psi(x)$. Or $F$ est $2\pi$
p{\'e}riodique ; aussi
$$F(x)=F(x+2\pi) \Rightarrow \psi(x+2\pi)=\psi(x)-2\alpha\pi
\Rightarrow \alpha = {\psi(-\pi)-\psi(\pi)over 2\pi}$$ et
$$\psi'(x+2\pi)=\psi'(x)$$

On sait {\'e}galement que la fonction $\psi$ est de classe $C^2$ et
que $\psi''=f$. Un calcul d'int{\'e}grale donne avec les relations
pr{\'e}c{\'e}dentes
$$a_n(f)= {1\over \pi}\int_{-\pi}^\pi f(t) \cos nt dt
=-n^2a_n(\psi)$$
$$b_n(f)= -n{\psi(-\pi)-\psi(\pi)\over \pi}-n^2b_n(f)$$

On trouve {\'e}galement
$$a_n(\beta)=b_n(\beta)=0, a_n(x)= 0, b_n(x)= {1\over
\pi}\int_{-\pi}^\pi t \sin nt dt = {2 (-1)^{n+1}\over n}$$

Enfin
$$-{a_n\over n^2}= a_n(F)= \alpha a_n(x)+a_n(\beta) + a_n(\psi)=  -{a_n(f)\over
n^2}$$ et
$$\eqalign{-{b_n\over n^2}&= b_n(F)= \alpha b_n(x)+b_n(\beta) + b_n(\psi)\cr
&= (-1)^n {\psi(-\pi)-\psi(\pi)\over n\pi} -{b_n(f)\over n^2}
-(-1)^n {\psi(-\pi)-\psi(\pi)\over n\pi}\cr &=-{b_n(f)\over
n^2}}$$

\vskip 0.5cm {\bf Partie III. Application {\`a} un probl{\`e}me
variationnel}

\medskip

1. Le r{\'e}sultat de cette question correspond aux r{\'e}sultats de la
partie pr{\'e}c{\'e}dente, avec $a_n=0$, (c'est pourquoi $\tilde{f}$ est
impaire....)

\medskip

2. Il suffit de d{\'e}velopper les deux expressions propos{\'e}es pour
obtenir le r{\'e}sultat demand{\'e}.

\medskip
3. Soient $u_1, u_2$ deux solutions du probl{\`e}me $(P)$. L'{\'e}galit{\'e}
pr{\'e}c{\'e}dente, donne pour tout $t$ r{\'e}el, et par d{\'e}finition de $u_1,
u_2$
$$J((1-t)u_1+tu_2)+{t(1-t)\over 2}\int_0^\pi
(u_1'-u_2')^2+(u_1-u_2)^2=J(u_1)$$ Comme $(1-t)u_1+tu_2\in E_0$,
il vient, pour tout $t$ r{\'e}el
$${t(1-t)\over 2}\int_0^\pi(u_1'-u_2')^2+(u_1-u_2)^2=0$$
donc par continuit{\'e}, pour tout $t$ r{\'e}el
$$\int_0^\pi(u_1'-u_2')^2+(u_1-u_2)^2=0$$
et $u_1=u_2$.

\medskip
4. a) La encore, il suffit d'effectuer le calcul demand{\'e}.

\smallskip

b) La fonction $u$ est solution du probl{\`e}me $(P)$ si et seulement
si pour tout $t$ r{\'e}el, pour tout $v\in E_0$, $J(u)\leq J(u+tv)$
(car tout $w\in E_0$ peut s'{\'e}crire sous la forme $u+tv$)

Cela se traduit par, pour tout $t$ r{\'e}el, pour tout $v\in E_0$
$$ t \int_0^\pi (u'v'-uv-fv)+ {t^2\over 2}\int_0^\pi (v'^2+v^2)=0$$

Et ceci est v{\'e}rifi{\'e} si et seulement si, pour tout $v\in E_0$
$$\int_0^\pi (u'(x)v'(x)-u(x)v(x)-f(x)v(x))=0$$


\medskip
5. a) Par la question pr{\'e}c{\'e}dente, en prenant $v(x)=\sin (nx)\in
E_0$, il vient
$$\int_0^\pi f(x) \sin nx dx = \int_0^\pi (u(x)\sin nx dx -n
\int_0^\pi u'(x) \cos nx dx$$

Une int{\'e}gration par parties donne
$${2\over \pi}\int_0^\pi f(x) \sin nx dx = {b_n \over n^2+1}$$

b) La fonction $\tilde{u}$ poss{\`e}de les propri{\'e}t{\'e}s suivantes
\par
$\bullet\ $ $\tilde{u}$ est $2\pi$ p{\'e}riodique et
$\tilde{u}()=\tilde{u}(\pi)=0$

\par
$\bullet\ $ $\tilde{u}$ est continue par convergence normale de la
s{\'e}rie la d{\'e}finissant (car $\dis \lim_{n\to +\infty} b_n =0$.

\par
$\bullet\ $ la d{\'e}composition de $\tilde{u}$ sous sa seconde forme
est valable puisque chaque s{\'e}rie est normalement convergente.

\par
$\bullet\ $ par les r{\'e}sultats de la partie II, $\dis F(x)=
-\sum_{n=1}^\infty {b_n \sin nx \over n^2}$ v{\'e}rifie $F(x)=\alpha
x+\beta +\psi(x)$ et est donc de classe $C^2$, avec $F''(x)= f(x)$

\par
$\bullet\ $ enfin, comme $\dis \left( { b_n\over n^2(n^2+1)}\sin
nx\right)''=-\left( { b_n\over n^2+1}\sin nx\right)$, la s{\'e}rie
$\dis \sum_{n=1}^\infty\left( { b_n\over n^2(n^2+1)}\sin
nx\right)$ est de classe $C^2$, de d{\'e}riv{\'e}e seconde {\'e}gale {\`a}
$-\tilde{u}$.

\smallskip

On a donc $\tilde{u}(x) = F(x)-G(x)$, avec $G''(x)=-\tilde{u}$ et
$F''(x)= f(x)$. Ainsi, pour tout $x\in \R$
$$\tilde{u}(x)= f(x)+u(x)$$

c) La restriction de $\tilde{u}$ {\`a} l'intervalle $[0,\pi]$ est de
classe $C^2$ et v{\'e}rifie la m{\^e}me {\'e}quation diff{\'e}rentielle aux
conditions limites que pr{\'e}c{\'e}demment.

\smallskip

d) Soit $v\in E_0$. Une int{\'e}gration par parties donne
$$\eqalign{\int_0^\pi u'(x) v'(x) dx + \int_0^\pi u(x) v(x) dx &= \cr
&\hskip -3cm\int_0^\pi (u(x)-u''(x))v(x) dx=\cr
&\hskip-3cm\int_0^\pi f(x) v(x) dx}$$

Ainsi $u$ est solution de $(P')$ et donc de $(P)$ qui lui est
{\'e}quivalent.










\end

