%%%% format LATEX 2.09

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%%%%%%%%%%%%%%%%%   Enonc\'{e} de la deuxi\`{e}me de math\'{e}matiques
%%%%%%%%%%%%%%%%%            Agr\'{e}gation interne 2004
%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\documentstyle{article}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%                   MACROS
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\pagestyle{plain}

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\frenchspacing

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\headsep 7.5mm
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\evensidemargin -5mm
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\hoffset 4mm

\def\longtetep{165mm}
\def\longtetei{165mm}

\parskip 3pt
\renewcommand{\footnoterule}{\vskip 3pt \hbox to 2.35cm{\hrulefill} \vskip 3pt}

\font\twelvesym=msbm10 at 12pt
\font\tensym=msbm10
\font\sevensym=msbm7
\font\fivesym=msbm5

\font\twelvegoth=eufb10 at 12pt
\font\tengoth=eufb10
\font\sevengoth=eufb7
\font\fivegoth=eufb5

\newfam\gothfam
\textfont\gothfam=\tengoth
\scriptfont\gothfam=\sevengoth
\scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth
\def\goth{\fam\gothfam\tengoth}


\def\C{{\bf C}}
\def\N{{\bf N}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Z{{\bf Z}}

\def\d{\displaystyle}


\def\SG{{\goth S}}
\def\IG{{\goth I}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\binomial#1#2{\left(\,\matrix{#1 \cr #2}\,\right)}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\vt{\vrule height 0mm depth 2mm width 0mm}
\def\vtt{\vrule height 0mm depth 3mm width 0mm}
\def\vttt{\vrule height 0mm depth 13mm width 0mm}
\def\vtr#1{\vrule height 0mm depth #1mm width 0mm}
\def\wtr#1#2{\vrule height #2mm depth #1mm width 0mm}

% ****************************************************************************
% ****************************************************************************



% Fonctions usuelles:

\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\exp{\mathop{\rm exp}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\cotan{\mathop{\rm cotan}\nolimits}
\def\arctan{\mathop{\rm Arctan}\nolimits}
\def\argth{\mathop{\rm Argth}\nolimits}
\def\argsh{\mathop{\rm Argsh}\nolimits}
\def\argch{\mathop{\rm Argch}\nolimits}
\def\arcsin{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits}
\def\arccos{\mathop{\rm Arccos}\nolimits}
\def\build#1_#2^#3{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}^{#3}}}







% Convergence

\def\tend#1#2#3#4{\build\hbox to #1mm{\rightarrowfill}_{#3\rightarrow #4}^{}#2}
\def\tendbis#1#2#3#4#5{\build\hbox to #1mm{\rightarrowfill}_{#3\rightarrow #4}^{#5}}



%Fleches, applications et diagrammes

        %fleche horizontale vers la droite (#1 longueur de la fl\^{e}che, #2 au dessus
\def\dfl#1#2#3{\smash{\mathop{\hbox to #1mm{\rightarrowfill}}
\limits^{\scriptstyle#2}_{\scriptstyle#3}}}

        %fleche horizontale vers la gauche (#1 longueur de la fl\^{e}che, #2 au dessus
\def\gfl#1#2#3{\smash{\mathop{\hbox to #1mm{\leftarrowfill}}
\limits^{\scriptstyle#2}_{\scriptstyle#3}}}


        %fleche verticale vers le bas (#1 longueur de la fl\^{e}che, #2 \`{a} gauche et #3
\def\bfl#1#2#3{\llap{$\scriptstyle #2$}\left\downarrow
\vbox to #1mm{}\right.\rlap{$\scriptstyle #3$}}

        %fleche verticale vers le haut (#1 longueur de la fl\^{e}che, #2 \`{a} gauche et #
\def\hfl#1#2#3{\llap{$\scriptstyle #2$}\left\uparrow
\vbox to #1mm{}\right.\rlap{$\scriptstyle #3$}}



\def\diagram#1{\def\normalbaselines{\baselineskip=0pt
\lineskip=10pt\lineskiplimit=1pt}   \matrix{#1}}


% application f A B a b donne f : A  -> B
%                                a |-> b

\def\application#1#2#3#4#5{\begin{tabular}[t]{cccc}
                                              $\d #1\,:$&$\d #2$&$\d \longrightarrow$&$\d #3$\\
                                                        &$\d #4$&$\d \longmapsto$&$\d #5$\\
                           \end{tabular}}

        % applicationbis A B a b donne   A  -> B
        %                                a |-> b


\def\applicationbis#1#2#3#4{\begin{tabular}[t]{ccc}
                                              $\d #1$&$\d \longrightarrow$&$\d #2$\\
                                              $\d #3$&$\d \longmapsto$&$\d #4$\\
                           \end{tabular}}



%Expression en rm dans un $  $

\def\Ker#1{{\rm Ker}\left(#1\right)}
\def\Im#1{{\rm Im}\,#1}
\def\dim#1{{\rm dim}\left(#1\right)}
\def\rg#1{{\rm rg}\left(#1\right)}
\def\Mat#1{{\rm Mat}\left(#1\right)}
\def\Vect#1{{\rm Vect}\left(#1\right)}
\def\Tr#1{{\rm Tr}\left(#1\right)}
\def\et{\ {\rm et}\ }
\def\ou{\ {\rm ou}\ }
\def\Card{\ {\rm Card}\ }

% Ecrire en caligraphique

\def\ca#1{{\cal #1}}

% Num\'{e}ro de question (d\'{e}cal\'{e}e dans la marge)

\def\ques#1{\vskip .5cm \hskip -1.6cm \hbox to 1.58cm{\bf #1 \hfill}}


% Titre (corrig\'{e}s ou \'{e}nonc\'{e}s)

\def\titre#1{
\begin{center}
{\huge \bf #1}
\end{center}
\vskip 1cm
\thispagestyle{empty}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%       D\'{e}but de l'\'{e}nonc\'{e}
%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\begin{document}
\thispagestyle{empty}

{\huge
\hskip 10cm \fbox{\ SESSION DE 2004\ }

\vskip 1cm
{\bf concours interne

de recrutement de professeurs agr\'{e}g\'{e}s

et concours d'acc\`{e}s \`{a} l'\'{e}chelle de r\'{e}mun\'{e}ration}

\vskip 1cm
\hskip 10cm \fbox{section{\,}: math\'{e}matiques}

\vskip 1cm
deuxi\`{e}me \'{e}preuve de math\'{e}matiques

\vskip 1cm
\hskip 10cm \fbox{dur\'{e}e{\,}: 6 heures}}

{\large
\vskip 2cm
\hskip .5cm Calculatrice de poche, y compris programmable, alphanum\'{e}rique
ou \`{a} \'{e}cran graphique, \`{a} fonctionnement autonome, non imprimante, autoris\'{e}e
conform\'{e}ment \`{a} la circulaire n$^{\circ}$99-186 du 16 novembre 1999.

\hskip .5cm L'usage de tout ouvrage de r\'{e}f\'{e}rence, de tout dictionnaire et de
tout mat\'{e}riel \'{e}lectronique est rigoureusement interdit.}

\vfill
\eject
\subsection*{
\begin{center}
{\bf Introduction et notations}
\end{center}}

Ce texte d'analyse fonctionnelle a pour objet l'\'{e}tude de quelques propri\'{e}t\'{e}s des s\'{e}ries trigonom\'{e}triques{\,}; il se conclut
par une application \`{a} la r\'{e}solution d'un probl\`{e}me de DIRICHLET par une approche variationnelle, (partie {\bf III}).

\vskip 2mm
Dans tout ce qui suit on note{\,}:
\begin{itemize}
  \item[-] $\ca C([0,\pi],\R)$ le $\R$-espace vectoriel des applications continues du segment $[0,\pi]$ dans $\R${\,};
  \item[-] $E$ le $\R$-espace vectoriel des applications $f$ de $[0,\pi]$ dans $\R$, continues, de classe $\ca C^1$ par
  morceaux et v\'{e}rifiant $f(0)=f(\pi)=0${\,};

  \vskip 2mm
  Pour $f$ appartenant \`{a} $E$ on convient de d\'{e}signer par $f'$ la fonction d\'{e}finie sur $[0,\pi]$ par
\begin{itemize}
  \item[-] si en $x$ de $[0,\pi]$ $f$ est d\'{e}rivable, alors $f'(x)$ est le nombre d\'{e}riv\'{e} de $f$ en ce point{\,};
  \item[-] si en $x$ de $[0,\pi]$ $f$ n'est pas d\'{e}rivable, alors $f'(x)=0${\,};
\end{itemize}
  \item[-] $\ell_{\R}^2$ le $\R$-espace vectoriel des suites $(\alpha_n)_{n\geq 1}$ de nombres r\'{e}els telles que
  la s\'{e}rie $\d\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n^2$ converge{\,};
  \vskip 2mm
  On rappelle que, si $\alpha = (\alpha_n)_{n\geq 1}$ et $\beta=(\beta_n)_{n\geq 1}$ sont deux \'{e}l\'{e}ments de
  $\ell_{\R}^2$, la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $(\alpha_n\beta_n)_{n\geq 1}$ est absolument convergente. De plus
  l'application $(\alpha,\beta) \mapsto <\alpha,\beta>=\d\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n\beta_n$ est un produit scalaire
  sur $\ell_{\R}^2$ et $\ell_{\R}^2$ est complet pour la norme associ\'{e}e \`{a} ce produit scalaire{\,};
  \item[-] pour tout entier $n\geq 1$, par $e_n$ l'\'{e}l\'{e}ment de $E$ d\'{e}fini par $e_n(x)=\sin nx$.
\end{itemize}

\subsection*{
\begin{center}
{\bf  Partie I{\,}: Questions pr\'{e}liminaires. Exemples}
\end{center}}

\subsection*{
\begin{center}
{\bf  A. Un lemme de CANTOR}
\end{center}}
Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$ deux suites de nombres r\'{e}els. Pour tout $x$ de $\R$ et pour tout
entier $n \geq 1$ on pose $f_n(x) = a_n \cos nx+b_n \sin nx$, et on suppose que pour tout $x$ r\'{e}el la suite $(f_n(x))$
converge vers 0. On se propose de montrer que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ ont pour limite 0 en $+\infty$.

\begin{itemize}
  \item[1.]Montrer que  $a_n\tend 80n{\infty}$. En d\'{e}duire que, pour tout $x$ de $\R$, $b_n \sin nx\tend 80n{\infty}$.
  \item[2.] Dans cette question, on propose deux m\'{e}thodes pour montrer que la suite $(b_n)$ a pour limite 0 en $+\infty$.
\begin{itemize}
  \item[(a)] {\sl Raisonnement par l'absurde}

  On suppose que la suite $(b_n)$ ne converge pas vers 0.
\begin{itemize}
  \item[i.] Montrer qu'il existe un r\'{e}el strictement positif $\varepsilon$ et une sous suite $(b_{n_k})$ de la suite
  $(b_n)$ tels que $n_1>0$ et que l'on ait, pour tout entier $k$, $|b_{n_k}|\geq \varepsilon$ et $n_{k+1}\geq 3n_k$.
  \item[ii.] Construire pour tout entier $k$ un intervalle $[a_k,b_k]$ de la forme $a_k=\d{\pi\over 6}+p_k\pi$, $b_k = \d{5\pi\over 6}+p_k\pi$,
  avec $p_k\in \Z$, tel que si $J_k=\d {1\over n_k}[a_k,b_k]$ l'on ait, pour tout entier $k$, $J_{k+1}\subset J_k$. V\'{e}rifier que
  $|\sin n_kx|\geq \d{1\over 2}$ pour tout $x$ de $J_k$.
  \item[iii.] \'{E}tablir que l'intersection $\d\bigcap_{k\geq 1} J_k$ n'est pas vide, et conclure \`{a} une contradiction.
\end{itemize}
  \item[(b)] {\sl Intervention du calcul int\'{e}gral}
\begin{itemize}
  \item[(i)] Calculer $\d\int_0^{2\pi}(b_n\sin nx)^2\,{\rm d}x$.
  \item[(ii)] Conclure dans le cas o\`{u} la suite $(b_n)$ est born\'{e}e.
  \item[(iii)] Dans le cas g\'{e}n\'{e}ral, on pose $b'_n=\inf(1,|b_n|)$. V\'{e}rifier que, pour tout $x$ de $\R$,
  $b'_n\sin nx\tend 80n{\infty}$.

  Conclure.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{itemize}


\subsection*{
\begin{center}
{\bf  B. L'espace H}
\end{center}}
\begin{itemize}
  \item[1.]
\begin{itemize}
  \item[(a)] Soient $\alpha = (\alpha_n)_{n\geq 1}$ un \'{e}l\'{e}ment de $\ell_{\R}^2$ et $x$ un \'{e}l\'{e}ment de $[0,\pi]$.
  Montrer que la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $\d {\alpha_n\over n}\,e_n(x)$ converge absolument (on pourra utiliser
  l'in\'{e}galit\'{e} $ab \leq \d{1\over 2}(a^2+b^2)$ pour deux nombres r\'{e}els $a$ et $b$).
  \item[(b)] On pose $\theta(\alpha)(x)=\d\sum_{n=1}^{\infty}{\alpha_n\over n}\,e_n(x)$. Montrer que l'on d\'{e}finit
  ainsi une application $\theta$ de $\ell_{\R}^2$ dans $\ca C([0,\pi],\R)$.
  \item[(c)] {\'E}tablir que $\theta$ est lin\'{e}aire et injective.

  \vskip 2mm
  Dans toute la suite on notera $H$ l'image de $\theta$, et $||\,\cdot\,||_H$ la norme d\'{e}finie sur $H$, pour $f=\theta(\alpha)$,
  par $\d ||f||_H=\sqrt{\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n^2}$\,. V\'{e}rifier que $H$ est complet pour cette norme.
\end{itemize}
  \item[2.] {\'E}tablir l'inclusion $E\subset H$. (On pourra montrer que tout \'{e}l\'{e}ment $f$ de $E$ est la restriction
  \`{a} $[0,\pi]$ d'une unique fonction $\widetilde f$ $2\pi$-p\'{e}riodique et impaire, de classe $\ca C^1$ par
  morceaux, et d\'{e}velopper $\widetilde f$ en s\'{e}rie de FOURIER).
  \item[3.] Montrer que l'application qui \`{a} un couple $(f,g)$ d'\'{e}l\'{e}ments de $E$ associe le nombre
  $$(f\,|\,g)={2\over \pi}\int_0^{\pi}f'(t)g'(t)\,{\rm d}t$$
  est un produit scalaire sur $E$. V\'{e}rifier que la norme associ\'{e}e \`{a} ce produit scalaire co\"{\i}ncide avec la restriction \`{a}
  $E$ de $||\,\cdot\,||_H$.

  \vskip 2mm
  Montrer que $E$ est dense dans $H$ pour la topologie associ\'{e}e \`{a} la norme $||\,\cdot\,||_H$.
  \item[4.] Pour $f$ dans $H$, on pose $\d ||f||_{\infty}=\sup_{x\in [0,\pi]} |f(x)|$.
\begin{itemize}
  \item[(a)] Prouver l'existence d'une constante $k$ telle que l'on ait l'in\'{e}galit\'{e}, valable pour tout $f$ de $H${\,}:
  $$(\star)\qquad \forall f\in H,\ ||f||_{\infty}\leq k ||f||_H.$$
  \item[(b)] Pour tout \'{e}l\'{e}ment a de $]0,\pi[$, on d\'{e}signe par $h_a$ l'\'{e}l\'{e}ment de $E$ d\'{e}fini en tout $x$ par
  $$h_a(x)=\cases{\ \ \d{x\over a}&si $x\leq a$\cr
                  \noalign{\vskip 3mm}
                  \d{\pi-x\over \pi -a}& si $x>a$}.$$
  En appliquant l'in\'{e}galit\'{e} de CAUCHY-SCHWARZ au produit scalaire $(f|h_a)$, pour $f$ dans $E$,
  montrer que la plus petite valeur de $k$ telle que l'on ait $(\star)$ est $\pi/\sqrt{8}$.
\end{itemize}
  \item[5.] On se propose de d\'{e}montrer que si $F$ est une application de classe $\ca C^2$ de $\R$ dans $\R$ telle que $F(0)=0$,
  et si $f$ est un \'{e}l\'{e}ment de $H$, alors $F\circ f$ appartient \`{a} $H$.

  \vskip 2mm
  Soient $f$ un \'{e}l\'{e}ment de $H$ et $(f_n)$ une suite d'\'{e}l\'{e}ments de $E$ convergeant vers $f$ au sens de la norme
  $||\,\cdot\,||_H$. On pose $g_n=F\circ f_n$.
\begin{itemize}
  \item[(a)] V\'{e}rifier que la suite $(||f_n||_{\infty})$ est born\'{e}e.

  \vskip 2mm
  On note $A$ un r\'{e}el v\'{e}rifiant $||f_n||_{\infty}\leq A$ pour tout $n$, puis $M_1 = \d\sup_{|t|\leq A} |F'(t)|$
  et $M_2=\d\sup_{|t|\leq A} |F''(t)|$.
  \item[(b)] \'{E}tablir que, pour tous $p,q$ dans $\N$, on a l'in\'{e}galit\'{e}{\,}:
  $$||g_p-g_q||_H\leq \left({\pi\over \sqrt 8}M_2||f_p||_H+M_1\right)\,||f_p-f_q||_H.$$
  \item[(c)] Conclure.
  \item[(d)] En d\'{e}duire que $H$ est une alg\`{e}bre, {\sl i.e.} que le produit $fg$ de deux \'{e}l\'{e}ments $f$ et $g$ de $H$
  est un \'{e}l\'{e}ment de $H$. (On pourra utiliser la relation $4fg=(f+g)^2-(f-g)^2$).

\end{itemize}

\end{itemize}


\subsection*{
\begin{center}
{\bf  Partie II{\,}: Pseudo-d\'{e}riv\'{e}e seconde au sens de SCHWARZ}
\end{center}}

Si $f$ est une application continue de $\R$ dans $\R$, on dit que $f$ admet au point $x$ une d\'{e}riv\'{e}e seconde au
sens de SCHWARZ si, et seulement si, $\d\lim_{h\rightarrow 0,h\not=0}{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)\over h^2}$ existe{\,}; dans ce
cas la limite est not\'{e}e $f^{('')}(x)$.

\begin{itemize}
  \item[1.] Montrer que si $f$ est deux fois d\'{e}rivable sur $\R$, $f^{('')}(x)$ existe en tout $x$ de $\R$, et
  en donner la valeur.
  \item[2.] Soit $f$ une application de $\R$ dans $\R$ poss\'{e}dant en tout $x$ de $R$ une pseudo-d\'{e}riv\'{e}e seconde au
  sens de SCHWARZ nulle.
\begin{itemize}
  \item[(a)] Soient $a$ et $b$ des r\'{e}els tels que $a<b$, $\varepsilon$ un r\'{e}el strictement positif. On pose
  $$\varphi(x)=f(x)-f(a)-{f(b)-f(a)\over b-a}(x-a)-\varepsilon(x-a)(b-x)$$
  V\'{e}rifier que la fonction $\varphi$ est continue et que $\varphi(a)=\varphi(b)=0$. Calculer
  $\varphi^{('')}$.

  Montrer que $\varphi$ ne peut avoir de maximum strictement positif sur $[a,b]$.
  \item[(b)]En d\'{e}duire que f est affine.
\end{itemize}
  \item[3.] Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$ deux suites de r\'{e}els tels que la s\'{e}rie de
  fonctions de terme g\'{e}n\'{e}ral\par
  $(a_n\cos nx - b_n\sin nx)_{n\geq 1}$ converge simplement sur $\R$ vers une
  fonction $f$ continue sur $\R$. On pose alors
  $$F(x)=-\sum_{n=1}^{\infty}{a_n\cos nx+b_n\sin nx\over n^2}$$
\begin{itemize}
  \item[(a)] Justifier l'existence de $F$ sur $\R$ et prouver sa continuit\'{e}.
  \item[(b)] Pour $x$ dans $\R$ et $h>0$ on pose
  $$u(0)=1,\ u(x)={4\over x^2}\sin^2\left({x\over 2}\right)\ {\rm si}\ x\not=0\ {\rm et}\  \Delta(x,h)={F(x+h)+F(x-h)-2F(x)\over h^2}.$$
  V\'{e}rifier la relation
  $$\Delta(x,h)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)u(nh).$$
  \item[(c)] Si l'on pose $S_0(x)=0$ et $S_n(x)=\d\sum_{k=1}^n a_k \cos kx + b_k \sin kx$ pour $n\geq 1$, justifier
  l'\'{e}galit\'{e}
  $$\Delta(x,h)-f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}[S_n(x)-f(x)][u(nh)-u((n+1)h)].$$
  \item[(d)]
\begin{itemize}
  \item[i.] En remarquant que $u((n +1)h)-u(nh)=\d\int_{nh}^{(n+1)h}u'(x){\,}{\rm d}x$, d\'{e}duire de ce qui pr\'{e}c\`{e}de que,
  pour tout r\'{e}el $x$, $F^{('')}(x)$ existe et vaut $f(x)$.
  \item[ii.] Montrer que l'application qui au r\'{e}el $x$ associe $\d\int_0^x(x-t)f(t){\,}{\rm d}t$ est de classe $\ca C^2$
  calculer sa d\'{e}riv\'{e}e seconde.
  \item[iii.] Prouver finalement l'existence de r\'{e}els $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout r\'{e}el $x$ l'on ait
  $$F(x)=\alpha x+\beta +\int_0^x(x-t)f(t){\,}{\rm d}t.$$
\end{itemize}
  \item[(e)] En utilisant ce qui pr\'{e}c\`{e}de, \'{e}tablir que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont les coefficients de FOURIER de
  $f$, {\sl i.e.} que pour tout n{\,}:
  $$a_n={1\over \pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,{\rm d}x\quad{\rm et}\quad
  b_n={1\over \pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,{\rm d}x.$$
\end{itemize}

\end{itemize}

\subsection*{
\begin{center}
{\bf  Partie III{\,}: Application \`{a} un probl\`{e}me variationnel}
\end{center}}
On d\'{e}signe par $E_0$ le sous-espace vectoriel de $E$ des applications $v$ de $[0,\pi]$ dans $\R$, de classe $\ca C^1$
et v\'{e}rifiant $v(0)=v(\pi)=0$.

\vskip 2mm
On consid\`{e}re une application continue $f$ de $[0,\pi]$ dans $\R$ telle que, pour tout x de $[0,\pi]$,
$$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin nx$$
o\`{u} $(b_n)_{n\geq 1}$ est une suite de nombres r\'{e}els.
\begin{itemize}
  \item[1.] Montrer que, pour tout $x$ de $\R$, la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $(b_n \sin nx)_{n\geq 1}$ est convergente,
  et que sa somme co\"{\i}ncide avec l'unique application $\widetilde f$ de $\R$ dans $\R$, impaire, $2\pi$-p\'{e}riodique et
  prolongeant $f$.

  \vskip 2mm
  Justifier que, pour tout entier $n \geq 1${\,}:
$$b_n={2\over \pi}\,\int_0^{\pi}f(x)\sin nx\,{\rm d}x.$$
  \item[2.] {\sl Le probl\`{e}me variationnel}

  On d\'{e}signe par $J{\,}: E_0\rightarrow \R$ la fonctionnelle d\'{e}finie par{\,}:
$$\forall v\in E_0,\ J(v)={1\over 2}\,\int_0^{\pi}[(v'(x))^2+(v(x))^2]\,{\rm d}x-\int_0^{\pi}f(x)v(x)\,{\rm d}x,$$
et on s'int\'{e}resse au probl\`{e}me de minimisation suivant{\,}:
\begin{center}
$(P)$\hskip .5cm  Trouver $u\in E_0$ tel que, pour tout $v\in E_0$, $J(u)\leq J(v)$.
\end{center}
\'{E}tablir, pour tout $t$ de $\R$ et tous $u,v$ de $E_0$, l'identit\'{e} suivante{\,}:
$$J((1-t)u +tv)+ {t(1-t)\over 2}\,\int_0^{\pi}[(v'(x) - u'(x))^2+(v(x)-u(x))^2]{\,}{\rm d}x=(1-t)J(u)+tJ(v).$$
  \item[3.] {\sl Unicit\'{e} de la solution du probl\`{e}me (P)}

  D\'{e}duire de la question pr\'{e}c\'{e}dente que si $u_l$ et $u_2$ sont solutions de (P), alors{\,}:
$$\int_0^{\pi}[(u'_1(x) - u'_2(x))^2+(u_1(x)-u_2(x))^2]{\,}{\rm d}x=0$$
et, par suite, $u_1=u_2$.
  \item[4.] {\sl Caract\'{e}risation des solutions de $(P)$}
\begin{itemize}
  \item[(a)] Montrer que pour tous $u,v$ de $E_0$, l'on a, pour tout r\'{e}el $t${\,}:
  $$J(u+tv)=J(u)+t\int_0^{\pi}(u'(x)v'(x)+u(x)v(x)-f(x)v(x))\,{\rm d}x+{t^2\over 2}\,\int_0^{\pi}(v'^2(x)+v^2(x))\,{\rm
  d}x.$$
  \item[(b)] En d\'{e}duire que, pour $u$ dans $E_0$, $u$ est solution de $(P)$ si, et seulement si, $u$ v\'{e}rifie{\,}:
  $$(P')\qquad \forall v\in E_0,\ \int_0^{\pi} (u'(x)v'(x)+u(x)v(x))\,{\rm d}x=\int_0^{\pi}f(x)v(x)\,{\rm d}x.$$
\end{itemize}
  \item[5.] {\sl Existence d'une solution de $(P)$}
\begin{itemize}
  \item[(a)] Soit $u$ une solution de $(P)$. D\'{e}duire de la question pr\'{e}c\'{e}dente que
n\'{e}cessairement, pour tout entier $n\geq 1${\,}:
$${2\over \pi}\,\int_0^{\pi}u(x)\sin nx\,{\rm d}x={b_n\over n^2+1}.$$
  \item[(b)] Pour tout $x$ de $\R$, on pose $\d\widetilde u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{b_n\over n^2+1}\,\sin nx$. En \'{e}crivant
$$\widetilde u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{b_n\over n^2}\sin nx-\sum_{n=1}^{\infty}{b_n\over n^2(n^2+1)}\sin nx$$
montrer que $\widetilde u$ est de classe $\ca C^2$ sur $\R$, $2\pi$-p\'{e}riodique et v\'{e}rifie{\,}:
$$\cases{-\widetilde u''+\widetilde u=\widetilde f&\cr
         \noalign{\vskip 3mm}
         \widetilde u(0)=\widetilde u(\pi)=0&\cr}$$
  \item[(c)]En d\'{e}duire que la restriction $u$ de $\widetilde u$ \`{a} $[0,\pi]$ est de classe $\ca C^2$ sur $[0,\pi]$
  et est solution, sur cet intervalle, du probl\`{e}me de DIRICHLET{\,}:
$$(D)\qquad \cases{-u''+u=f&\cr
         \noalign{\vskip 3mm}
         u(0)=u(\pi)=0&\cr}$$

  \item[(d)] Montrer que $u$ est solution de $(P')$, et donc de $(P)$.
\end{itemize}

\end{itemize}


\end{document}




\end{document}

