\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}


%Macros perso
\renewcommand{\leq}{\,\leqslant\,}
\renewcommand{\geq}{\,\geqslant\,}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\segment}[2]{\left [ #1, #2 \right ]}
\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
\newcommand{\matrice}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\binomial}[2]{C_{#1}^{#2}}
\newcommand{\D}{\mathop{\rm{} d}}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3  \ \D #4}}
\newcommand{\systeme}[1]{\left \{ \begin{array}{l}  #1 \end{array} \right.}



%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{{\large \textbf{\Roman{enumi}.}\quad}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\arabic{enumii}.} }
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\alph{enumiii})} }
\renewcommand{\labelitemi}{$\blacktriangleright$}

{\Huge ESSEC}

\rule{3cm}{2pt}

{\Large MBA}

\bigskip

\begin{center}
CONCOURS D'ADMISSION DE 2004

\medskip
\textbf{Option {\'e}conomique}

\medskip
\textbf{MATH{\'E}MATIQUES III}

\medskip
\textit{Mercredi 12 mai de 8h {\`a} 12h}
\end{center}

\textit{La pr{\'e}sentation, la lisibilit{\'e}, l'orthographe, la qualit{\'e} de la r{\'e}daction, la clart{\'e} et la pr{\'e}cision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appr{\'e}ciation des copies.}

\textit{Les candidat sont invit{\'e}s {\`a} \textbf{encadrer} dans la mesure du possible les r{\'e}sultats de leurs calculs.}

\textit{Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout mat{\'e}riel {\'e}lectronique est interdit. Seule l'utilisation d'une r{\`e}gle gradu{\'e}e est autoris{\'e}e.}

\textit{Si au cours de l'{\'e}preuve un candidat rep{\`e}re ce qui lui semble {\^e}tre une erreur d'{\'e}nonc{\'e}, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amen{\'e} {\`a} prendre.}

\bigskip
\textbf{{\Large Exercice 1 :} probabilit{\'e}s et alg{\`e}bre lin{\'e}aire}

Dans tout l'exercice, $N$ d{\'e}signe un nombre entier sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $1$.

\begin{enumerate}
\item %Partie I
\textbf{{\large {\'E}tude d'un endomorphisme}}

On note $\R_{N}[X]$ l'espace vectoriel form{\'e} des polyn{\^o}mes de degr{\'e} inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $N$ et du polyn�me nul ; on d{\'e}signe par $Id$ l'application identique de $\R_{N}[X]$ dans $\R_{N}[X]$.

\begin{enumerate}
\item %I.1
Soit $a$ un nombre r{\'e}el non nul et $P$ un {\'e}l{\'e}ment de $\R_{N}[X]$.

Justifier que $P(aX+1-a)$ (c'est-{\`a}-dire la fonction de $\R$ dans $\R$ : $x \mapsto P\left(ax+1-a\right)$) est un polyn{\^o}me de m{\^e}me degr{\'e} que $P$.

\framebox{\begin{minipage}{14 cm}
Dans toute la suite de l'exercice, pour tout r{\'e}el $a$ non nul, on note $f_{a}$ l'application de $\R_{N}[X]$ dans $\R_{N}[X]$ qui {\`a} un polyn{\^o}me $P$ associe le polyn{\^o}me $P\left(aX + 1-a\right)$.
\end{minipage}}

\item %I.2
Soient $a$ et $b$ des nombres r{\'e}els non nuls.
\begin{enumerate}
\item D{\'e}terminer la compos{\'e}e $f_{b} \circ f_{a}$ de $f_{a}$ par $f_{b}$.
\item D{\'e}montrer que $f_{a}$ est un isomorphisme de $\R_{N}[X]$, et pr{\'e}ciser sa bijection r{\'e}ciproque, not{\'e}e $\left(f_{a}\right)^{-1}$.
\item On pose : $\left(f_{a}\right)^{0} = Id$ et, pour tout entier naturel $n$ : $\left(f_{a}\right)^{n+1} = \left(f_{a}\right)^{n} \circ f_{a}$.

D{\'e}montrer que, pour tout entier naturel $n$ : $\left(f_{a}\right)^{n} = f_{a^{n}}$.
\end{enumerate}

\item %I.3
Pour tout r{\'e}el $a$ non nul,  on note $M_{a}$ la matrice de $f_{a}$ dans la base canonique $\left(1, X, {\dots}, X^{N}\right)$ de $\R_{N}[X]$.
\begin{enumerate}
\item %3.a
Expliciter $M_{a}$ dans le cas $N = 3$.

Dans le cas g{\'e}n{\'e}ral, donner le coefficient de la $(i+1)$-i{\`e}me ligne et $(j+1)$-i{\`e}me colonne de $M_{a}$ ($i$ et $j$ entiers compris au sens large entre $0$ et $N$).
\item %3.b)
$n$ d{\'e}signant un entier naturel, justifier l'{\'e}galit{\'e} : $\left(M_{a}\right)^{n} = M_{a^{n}}$.

Ce r{\'e}sultat reste-t-il valable si $n$ est un entier n{\'e}gatif ?
\end{enumerate}

\item %I.4
Pr{\'e}ciser l'ensemble des valeurs propres de $f_{a}$.

Pour tout entier $k$ compris au sens large entre $0$ et $N$, calculer $f_{a}\left((X-1)^{k}\right)$.

L'endomorphisme $f_{a}$ est-il diagonalisable ?
\end{enumerate}

\item %Partie II
\textbf{{\large {\'E}tude d'une exp{\'e}rience al{\'e}atoire}}

On dispose de $N$ pi{\`e}ces de monnaie, chacune ayant la probabilit{\'e} $p$ d'amener pile $(0 < p < 1)$ et $1-p$ d'amener face. On pourra poser : $q = 1-p$.

On s'int{\'e}resse {\`a} l'exp{\'e}rience al{\'e}atoire qui consiste {\`a} effectuer des lancers successifs selon le protocole suivant :
\begin{itemize}
\item {\`a} l'{\'e}tape $1$, on lance les $N$ pi{\`e}ces ;
\item {\`a} l'{\'e}tape $2$, on lance les pi{\`e}ces ayant amen{\'e} pile {\`a} l'{\'e}tape $1$ (s'il en existe) ;
\item {\`a} l'{\'e}tape $3$, on lance les pi{\`e}ces ayant amen{\'e} pile {\`a} l'{\'e}tape $2$ (s'il en existe),
\end{itemize}
et ainsi de suite.

{\`A} chaque {\'e}tape, les lancers des pi{\`e}ces sont suppos{\'e}s ind{\'e}pendants.

On consid{\`e}re les variables al{\'e}atoires suivantes :
\begin{itemize}
\item $X_{0}$ est la variable al{\'e}atoire certaine {\'e}gale {\`a} $N$,
\item pour tout entier naturel $n$ non nul, $X_{n}$ est le nombre de c{\^o}t{\'e}s pile apparaissant {\`a} l'{\'e}tape $n$, avec la convention que, si {\`a} une certaine {\'e}tape $n_{0}$ aucun c{\^o}t{\'e} pile n'appara{\^i}t, on consid{\`e}re que pour tous les entiers $n$ sup{\'e}rieurs ou {\'e}gaux {\`a} $n_{0}$ l'{\'e}v{\'e}nement $\left(X_{n} = 0\right)$ est r{\'e}alis{\'e}.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item %II.1
\textbf{{\'E}tude des variables al{\'e}atoires $X_{n}$}

Soit $n$ un entier naturel, soient $i$ et $j$ des entiers compris au sens large entre $0$ et $N$.
\begin{enumerate}
\item %II.1.a)
Pr{\'e}ciser la loi conditionnelle de $X_{n+1}$ sacahnt que l'{\'e}v{\'e}nement $\left(X_{n} = j\right)$ est r{\'e}alis{\'e}.

En d{\'e}duire l'expression de $P\left(X_{n+1} = i\right)$ en fonction de $P\left(X_{n} = 0\right)$, $P\left(X_{n} = 1\right)$, {\dots}, $P\left(X_{n} = N\right)$.

\item %II.1.b)
On pose : $U_{n} = \matrice{P\left(X_{n} = 0\right) \\
P\left(X_{n} = 1\right) \\ \vdots  \\ P\left(X_{n} = N \right)}$.

D{\'e}terminer une matrice $M$ telle que : $U_{n+1} = M U_{n}$.

En d{\'e}duire l'expression de $U_{n}$ en fonction de $p$, $n$ et $U_{0}$, puis la loi de $X_{n}$.
V{\'e}rifier la coh{\'e}rence des r{\'e}sultats pour $n = 0$ et $n = 1$.

\item %II.1.c)
D{\'e}terminer le nombre moyen $m_{n}$ de pi{\`e}ces lanc{\'e}es au cours des $n$ premi{\`e}res {\'e}tapes ($n {\geq} 1$).
\end{enumerate}

\item %II.2
\textbf{{\'E}tude d'un temps d'attente}

On suppose les $N$ pi{\`e}ces num{\'e}rot{\'e}es de $1$ {\`a} $N$, et on note $T_{1}$, {\dots}, $T_{N}$ les variables al{\'e}atoires donnant le temps d'attente de la premi{\`e}re apparition de face respectivement pour la premi{\`e}re, deuxi{\`e}me {\dots}, $N$-i{\`e}me pi{\`e}ce.
De plus, on pose : $T = \sup{\left(T_{1}, {\dots}, T_{N}\right)}$.

\begin{enumerate}
\item %II.2.a)
Pr{\'e}ciser la loi et l'esp{\'e}rance des variables al{\'e}atoires $T_{1}$, {\dots}, $T_{N}$.

Quel est le nombre total moyen de pi{\`e}ces lanc{\'e}es au cours de l'exp{\'e}rience al{\'e}atoire ?
V{\'e}rifier la coh{\'e}rence de ce r{\'e}sultat avec celui de la question \textbf{II.1.c)}.

\item %II.2.b)
Interpr{\'e}ter la variable al{\'e}atoire $T$. Justifier bri{\`e}vement que $T$ admet une esp{\'e}rance.

\item %II.2.c)
Pour tout entier naturel $k$ non nul, calculer la probabilit{\'e} de l'{\'e}v{\'e}nement $\left(T {\leq} k\right)$ en fonction de $k$, $N$ et $p$. En d{\'e}duire la loi de $T$.

\item %II.2.d)
Rappeler la valeur de $\somme{k=1}{+{\infty}}{k p^{k-1}}$.

D{\'e}montrer, dans le cas $N = 2$ : $E\left(T\right) = \dfrac{1+2p}{1-p^{2}}$, puis dans le cas g{\'e}n{\'e}ral : $E(T) = \somme{i=1}{N}{\dfrac{(1)^{i+1} \binomial{N}{i}}{1-p^{i}}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\textbf{{\Large Exercice 2 : } probabilit{\'e}s et analyse}

On consid{\`e}re une urne compos{\'e}e de boules blanches et de boules rouges, mais dont la composition exacte est inconnue.
Supposons qu'apr{\`e}s avoir effectu{\'e} $n$ tirages au hasard avec remise dans cette urne, soit obtenu un total de $r$ boules rouges.
Il semble alors raisonnable de penser que la proportion initiale de boules rouges est proche de $r/n$.

Le probl{\`e}me qui suit propose une {\'e}tude de cette situation.

\begin{enumerate}
\item %Partie I
\textbf{{\large {\'E}tude d'une loi de probabilit{\'e} conditionnelle}}

Dans cette partie, $N$, $n$ et $r$ d{\'e}signent des entiers tels que : $N {\geq} 2$, $n {\geq} 1$, $0 {\leq} r {\leq}n$.

On consid{\`e}re $N+1$ urnes not{\'e}es $U_{0}$, $U_{1}$, {\dots}, $U_{N}$ telles que, pour tout entier $k$ compris au sens large entre $0$ et $N$, l'urne $U_{k}$ soit compos{\'e}e de $k$ boule(s) rouge(s) et de $N-k$ boule(s) blanche(s).
On choisit une urne au hasard dans laquelle on effectue alors $n$ tirages successifs avec remise de la boule dans cette m{\^e}me urne.
On note $U$ la variable al{\'e}atoire {\'e}gale au num{\'e}ro de l'urne choisir et $R$ la variable al{\'e}atoire {\'e}gale au nombre de boules rouges obtenues au cours des $n$ tirages.

\begin{enumerate}
\item %I.1
\begin{enumerate}
\item %I.1.a)
Soit $k$ un entier compris au sens large entre $0$ et $N$.

Quelle est la loi de $R$ conditionn{\'e}e par l'{\'e}v{\'e}nement $\left(U = k\right)$ ?

\item %I.1.b)
{\`A} l'aide de la formule des probabilit{\'e}s totales, en d{\'e}duire l'{\'e}galit{\'e} :

\centerline{$P\left(R = r\right) = \dfrac{\binomial{n}{r}}{N+1} \somme{k=0}{N}{\left(\dfrac{k}{N}\right)^{r} \left(1 - \dfrac{k}{N}\right)^{n-r}}$.}
\end{enumerate}

\item %I.2
Soit $i$ un entier compris au sens large entre $0$ et $N$.

D{\'e}montrer : \hspace{2cm} $P\left(U = i / R = r\right) = \dfrac{\left(\dfrac{i}{N}\right)^{r} \left(1 - \dfrac{i}{N}\right)^{n-r}}{\somme{i=0}{N}{\left(\dfrac{k}{N}\right)^{r} \left(1 - \dfrac{k}{N}\right)^{n-r}}}$.

\item %I.3
Soit $p$ un r{\'e}el de $\segment{0}{1}$ tel que $pN$ soit un entier naturel et $Y_{N}$ la variable al{\'e}atoire {\'e}gale {\`a} la proportion de boules rouges dans l'urne choisir initialement parmi les $N+1$ urnes.
\begin{enumerate}
\item %I.3.a)
{\'E}crire l'{\'e}v{\'e}nement $\left(Y_{N} {\leq} p\right)$ {\`a} l'aide de la variable al{\'e}atoire $U$.

D{\'e}terminer alors l'expression de $P\left(Y_{N} {\leq} p / R = r\right)$ en fonction de $N$, $n$, $r$ et $p$.
\item %I.3.b
En d{\'e}duire, {\`a} l'aide du th{\'e}or{\`e}me sur les sommes de Riemann :

\centerline{$\lim_{\stackrel{N \to +{\infty}}{pN \mbox{ entier naturel}}}\limits{P\left(Y_{n} {\leq} p / R = r\right)} = \dfrac{\integ{0}{p}{t^{r} \left(1-t\right)^{n-r}}{t}}{\integ{0}{1}{t^{r} \left(1-t\right)^{n-r}}{t}}$.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item %Partie II
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\textbf{{\large Loi de probabilit{\'e} b{\^e}ta}}

Dans toute cette partie, $a$ et $b$ d{\'e}signent des r{\'e}els sup{\'e}rieurs ou {\'e}gaux {\`a} $1$.
\begin{enumerate}
\item %II.1
Justifier l'existence de l'int{\'e}grale $\integ{0}{1}{x^{a-1} \left(1-x\right)^{b-1}}{x}$.
On notera dor{\'e}navant $B(a, b)$ cette int{\'e}grale.

\item %II.2
\begin{enumerate}
\item %II.2.a)
\begin{itemize}
\item D{\'e}montrer l'{\'e}galit{\'e} : $B(a+1, b) + B(a, b+1) = B(a, b)$.
\item {\`A} l'aide d'une int{\'e}gration par parties, prouver : $B(a, b+1) = \dfrac{b}{a} B(a+1, b)$.
\item Des deux relations pr{\'e}c{\'e}dentes, d{\'e}duire la formule : $B(a+1, b) = \dfrac{a}{a+b} B(a, b)$.
\end{itemize}

\item %II.2.b)
Calculer $B(1, b)$, puis exprimer explicitement $B(a, b)$ en fonction de $a$ et $b$ dans le cas o{\`u} $a$ et $b$ sont entiers.

\item %II.2.c)
{\'E}crire un programme en langage \textbf{Pascal} permettant de calculer et d'afficher la valeur de $B(a, b)$, les entiers naturels non nuls $a$ et $b$ {\'e}tant saisis au clavier par l'utilisateur.
\end{enumerate}

\item %II.3
On revient au cas g{\'e}n{\'e}ral o{\`u} $a$ et $b$ sont des r{\'e}els sup{\'e}rieurs ou {\'e}agux {\`a} $1$, non n{\'e}cessairement entiers.

$C$ d{\'e}signant un nombre r{\'e}el, on consid{\`e}re la fonction $f$ d{\'e}finie sur $\R$ par :

\centerline{$\left \{ \begin{array}{lcl}
f(x) = C x^{a-1} (1-x)^{b-1} & \mbox{ si } & 0 < x < 1 \\
f(x) = 0 & \mbox{ si } & x {\leq} 0 \mbox{ ou } x {\geq} 1 \end{array} \right.$}

\begin{enumerate}
\item %II.3.a)
D{\'e}montrer que, pour une certaine valeur de la constante $C$ {\`a} d{\'e}terminer, la fonction $f$ est une densit{\'e} de probabilit{\'e}. On supposera dor{\'e}navant $C$ ainsi fix{\'e}e.

On dit alors qu'une variable al{\'e}atoire de densit{\'e} $f$ suit la loi de probabilit{\'e} b{\^e}ta de param{\`e}tres $a$ et $b$.

\item %II.3.b
\begin{itemize}
\item D{\'e}terminer $f'(x)$ pour tout r{\'e}el $x$ de $\ouvert{0}{1}$.

Justifier que, si $a$ et $b$ sont distincts de $1$, alors, sur $\ouvert{0}{1}$, $f'$ s'annule en un r{\'e}el et un seul.

\item {\'E}tudier la continuit{\'e} et la d{\'e}rivabilit{\'e} de $f$ en $0$ en discutant selon la valeur de $a$.

\item Tracer l'allure de la courbe repr{\'e}sentative de $f$ dans chacun des deux cas $\systeme{1 < a <2 \\ b > 2}$ et $\systeme{a > 2 \\ b = 2.}$
\end{itemize}

\item %II.3.c)
Soit $X$ une variable al{\'e}atoire d{\'e}finie sur un espace probabilis{\'e} et admettant pour densit{\'e} $f$.
\begin{itemize}
\item D{\'e}terminer l'esp{\'e}rance de la variable al{\'e}atoire $X$.
\item D{\'e}montrer que $X$ admet une variance {\'e}gale {\`a} $\dfrac{ab}{(a+b)^{2} (a+b+1)}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item %Partie III
\textbf{{\large Conclusion}}

Consid{\'e}rons {\`a} nouveau une urne compos{\'e}e de boules blanches et de boules rouges, dont la composition exacte est inconnue.
On peut traduire cette ignorance en supposant que la variable al{\'e}atoire {\'e}gale {\`a} la proportion de boules rouges de cette urne suit la loi uniforme sur l'intervalle $\segment{0}{1}$.
Cela revient {\`a} faire tendre dans la partie \textbf{I.} le nombre d'urnes vers l'infini.

En reprenant la situation et les  notations de la partie \textbf{I.}, et en admettant dans la question \textbf{3.b)} de cette partie, que le calcul de limite reste valable que $pN$ soit un entier naturel ou pas, montrer que la suite des variables $Y_{N}$ sachant $(R = r)$ converge en loi vers une variable al{\'e}atoire de loi de probabilit{\'e} b{\^e}ta dont on d{\'e}terminera les param{\`e}tres puis l'esp{\'e}rance.
\end{enumerate}

\end{document}
