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\begin{document}


%En-t{\^e}te et pied de page
\lhead{\textit{MATH{\'E}MATIQUES II}}
\rhead{\textit{Fili{\`e}re MP}}
\lfoot{\textit{Concours Centrale-Sup{\'e}lec 2004}}
\rfoot{\textit{\thepage/5}}
\cfoot{}


%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\Roman{enumi}.\Alph{enumii}-} }
\renewcommand{\labelenumiii}{\Roman{enumi}.\Alph{enumii}.\arabic{enumiii}) }
\renewcommand{\labelenumiv}{\alph{enumiv}) }


%Macros
\newcommand{\NomPropre}[1]{#1}
\renewcommand{\leq}{\,\leqslant\,}
\renewcommand{\geq}{\,\geqslant\,}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\interieur}[1]{\mathring{#1}}

\begin{center}
{\Huge Centrale-Sup{\'e}lec 2004 -- MATH{\'E}MATIQUES II}\end{center}

\hrule

\begin{center}\textit{\textbf{{\Large Objectif du probl{\`e}me}}}\end{center}

Cette introduction est destin{\'e}e {\`a} expliquer le type des r{\'e}sultats obtenus dans le probl{\`e}me. Ce dernier ne commence qu'{\`a} partir du I.

Dans la d{\'e}monstration en 1994 du {\og}dernier th{\'e}or{\`e}me{\fg} de \NomPropre{Fermat} par \NomPropre{Andrew Wiles}, les {\og}courbes elliptiques{\fg} jouent un r{\^o}le central par le biais de l'action du groupe $SL_{2}(\Z)$ sur le demi-plan ouvert $\mathscr{H} = \set{z \in \C : \Im{z} > 0}$.

En effet, il se trouve que l'ensemble des courbes elliptiques sur le corps $\C$ est en bijection ({\`a} un $\C$-isomorphisme pr{\`e}s) avec l'ensemble des r{\'e}seaux de $\C$ ({\`a} une similitude pr{\`e}s), lui-m{\^e}me en bijection avec l'ensemble des orbites du demi-plan $\mathscr{H}$ sous l'action de $SL_{2}(\Z)$.
Ce sont quelques propri{\'e}t{\'e}s de ces deux derniers ensembles que nous proposons d'{\'e}tudier dans ce probl{\`e}me.

\begin{center}\textbf{\textit{{\Large Partie I - Matrices carr{\'e}es d'ordre $2$ {\`a} coefficients entiers}}}\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Partie I
Soit $\mathscr{M}_{2}(\Z)$ l'ensemble des matrices $\matrice{a & b \\ c & d}$ carr{\'e}es d'ordre $2$ {\`a} coefficients dans l'anneau $\Z$ des entiers relatifs.

Dans les parties I, II, III, les lettres $a$, $b$, $c$, $d$ d{\'e}signent des {\'e}l{\'e}ments de $\Z$. On pose :

\centerline{$I_{2} = \matrice{1 & 0 \\ 0 & 1}$.}

\begin{enumerate}
\item %I.A - 
D{\'e}montrer que l'ensemble $\mathscr{M}_{2}(\Z)$ est un anneau.

\item %I.B -
\ 
\begin{enumerate}
\item %I.B.1)
D{\'e}montrer que l'ensemble $GL_{2}(\Z)$ des {\'e}l{\'e}ments de $\mathscr{M}_{2}(\Z)$ inversibles dans $\mathscr{M}_{2}(\Z)$ est un groupe pour la multiplication, appel{\'e} le groupe des unit{\'e}s de l'anneau $\mathscr{M}_{2}(\Z)$.

\item %I.B.2)
Montrer que

\centerline{$\matrice{a & b \\ c & d} \in GL_{2}(\Z)$ si et seulement si $\abs{ad - bc} = 1$.}
\end{enumerate}

\item %I.C -
On pose

\centerline{$SL_{2}(\Z) = \set{\matrice{a & b \\ c & d} \in \mathscr{M}_{2}(\Z) : ad - bc = 1}$.}
\begin{enumerate}
\item %I.C.1)
Montrer que $SL_{2}(\Z)$ est un groupe pour la multiplication des matrices.

\item %I.C.2)
D{\'e}terminer l'ensemble des couples $(c, d) \in \Z \times \Z$ tels que la matrice $\matrice{3 & 5 \\ c & d}$ appartienne {\`a} $SL_{2}(\Z)$.

\item %I.C.3)
D{\'e}terminer l'ensemble des couples $(c, d) \in \Z \times \Z$ tels que la matrice $\matrice{3 & 5 \\ c & d}$ appartienne {\`a} $GL_{2}(\Z)$.

\item %I.C.4)
Quelle est la condition n{\'e}cessaire et suffisante portant sur le couple $(a, b)$ de $\Z \times \Z$ pour qu'il existe une matrice $\matrice{a & b \\ c & d}$ appartenant {\`a} $GL_{2}(\Z)$ ?
\end{enumerate}

\item %I.D - 
Soient $S$ et $T$ les {\'e}l{\'e}ments de $SL_{2}(\Z)$ d{\'e}finis par

\centerline{$S = \matrice{0 & -1 \\ 1 & 0}$ et $T = \matrice{1 & 1 \\ 0 & 1}$.}

Pour chacune des trois matrices $T$, $S$ et $TS$, r{\'e}pondre aux questions suivantes :
\begin{enumerate}
\item %I.D.1)
La matrice est-elle diagonalisable, ou {\`a} d{\'e}faut trigonalisable, dans $\mathscr{M}_{2}(\C)$ ?
Donner une forme r{\'e}duite {\'e}ventuelle ainsi qu'une matrice de passage.

\item %I.D.2)
La matrice est-elle diagonalisable, ou {\`a} d{\'e}faut trigonalisable, dans $\mathscr{M}_{2}(\R)$ ? Donner une forme r{\'e}duite {\'e}ventuelle ainsi qu'une matrice de passage.
\end{enumerate}

\item %I.E - 
On cherche les matrices $A$ de $SL_{2}(\Z)$ telles que $A^{2} = \matrice{1 & 0 \\ 0 & 1} = I_{2}$.
\begin{enumerate}
\item %I.E.1)
Soit $A$ une telle matrice. Montrer que $A$ est diagonalisable dans $\mathscr{M}_{2}(\R)$ et pr{\'e}ciser les formes r{\'e}duites diagonales possibles de $A$.

\item %I.E.2)
En d{\'e}duire l'ensemble des matrices solutions $A$.
\end{enumerate}

\item %I.F -
On cherche les matrices $A$ de $SL_{2}(\Z)$ telles que

\centerline{$A^{2} = \matrice{-1 & 0 \\ 0 & -1}$.}
\begin{enumerate}
\item %I.F.1)
Soit $A$ une telle matrice. Montrer que $A$ est diagonalisable dans $\mathscr{M}_{2}(\C)$ et calculer la trace $\trace{A}$ de $A$.

\item %I.F.2)
Donner la forme g{\'e}n{\'e}rale des matrices solutions $A$ en fonction des trois param{\`e}tres $a$, $b$, $c$ et d'une relation liant ces trois param{\`e}tres.
\end{enumerate}

\item %I.G -
\ 
\begin{enumerate}
\item %I.G.1)
D{\'e}montrer que si deux matrices $U$ et $V$ de $\mathscr{M}_{2}(\R)$ sont semblables en tant que matrices de $\mathscr{M}_{2}(\C)$, alors elles sont semblables dans $\mathscr{M}_{2}(\R)$.

\item %I.G.2)
En d{\'e}duire que les matrices $A$ de $SL_{2}(\Z)$ solutions de l'{\'e}quation :

\centerline{$A^{2} = \matrice{-1 & 0 \\ 0 & -1}$ sont semblables dans $\mathscr{M}_{2}(\R)$ {\`a} la matrice $S = \matrice{0 & -1 \\ 1 & 0}$.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{\textit{{\Large Partie II - R{\'e}seaux de $\C$}}}\end{center}

\item %Partie II
On note $\mathscr{H}$ le demi-plan ouvert d{\'e}fini par $\mathscr{H} = \set{z \in \C : \Im{z} > 0}$.

$\mathscr{B} = (\alpha, \beta)$ {\'e}tant une base de $\C$ consid{\'e}r{\'e} comme plan vectoriel r{\'e}el, on appelle r{\'e}seau engendr{\'e} par $\mathscr{B}$ l'ensemble $\Lambda_{\mathscr{B}} = \Z \alpha + \Z \beta = \set{u \alpha + v \beta ; (u, v) \in \Z^{2}}$.

Pour simplifier les notations, un r{\'e}seau sera g{\'e}n{\'e}ralement d{\'e}sign{\'e} par la lettre $\Lambda$, sans pr{\'e}ciser quelle base $\mathscr{B}$ de $\C$ l'engendre.
\begin{enumerate}
\item %II.A -
\ 
\begin{enumerate}
\item %II.A.1)
De quelle structure alg{\'e}brique est dot{\'e} un r{\'e}seau $\Lambda$ ?

\item %II.A.2)
D{\'e}montrer que tout r{\'e}seau $\Lambda$ peut {\^e}tre engendr{\'e} par une base $\mathscr{B} = (\alpha, \beta)$ de $\C$ telle que $\dfrac{\alpha}{\beta} \in \mathscr{H}$.

\item %II.A.3)
D{\'e}montrer que pour tout quadruplet $(a, b, c, d) \in \Z^{4}$ et pour tout $z \in \C$ tel que $cz+d {\neq}�0$, on a

\centerline{$\Im{\dfrac{az+b}{cz+d}} = \dfrac{ad-bc}{\abs{cz+d}^{2}} \Im{z}$.}
\end{enumerate}

\item %II.B -
\ 
\begin{enumerate}
\item %II.B.1)
D{\'e}montrer que si deux bases $\mathscr{B} = \left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ et $\mathscr{B}' = \left(\omega'_{1}, \omega'_{2}\right)$ de $\C$ telles que

\centerline{$\dfrac{\omega_{1}}{\omega_{2}} \in \mathscr{H}$ et $\dfrac{\omega'_{1}}{\omega'_{2}} \in \mathscr{H}$}

engendrent le m{\^e}me r{\'e}seau $\Lambda$, alors il existe une matrice $\matrice{a & b \\ c & d} \in SL_{2}(\Z)$ telle que $\matrice{\omega'_{1} \\ \omega'_{2}} = \matrice{a & b \\ c & d} \matrice{\omega_{1} \\ \omega_{2}}$.

\item %II.B.2)
{\'E}tudier la r{\'e}ciproque.
\end{enumerate}

\item %II.C - 
On consid{\`e}re un r{\'e}seau $\Lambda$ engendr{\'e} par une base $\mathscr{B} = \left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)$ de $\C$ telle que $\dfrac{\omega_{1}}{\omega_{2}} \in \mathscr{H}$.

D{\'e}terminer l'ensemble des couples $(c, d) \in \Z^{2}$ tels que $\mathscr{B}' = \left(\omega'_{1}, \omega'_{2}\right)$ avec $\omega'_{1} = 3 \omega_{1} + 5 \omega_{2}$ et $\omega'_{2} = c \omega_{1} + d \omega_{2}$ soit une base de $\C$ engendrant {\'e}galement le
r{\'e}seau $\Lambda$.

\item %II.D -
Pour tout complexe $\tau \in \C \setminus \R$ on note $\Lambda_{\tau}$ le r{\'e}seau engendr{\'e} par la base $(\tau, 1)$ de $\C$.
On suppose que $\tau \in \mathscr{H}$. Trouver la condition n{\'e}cessaire et suffisante pour qu'un {\'e}l{\'e}ment $\tau' \in \mathscr{H}$ v{\'e}rifie $\Lambda_{\tau'} = \Lambda_{\tau}$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{\textit{{\Large Partie III - Similitudes directes de centre $O$ laissant stable un r{\'e}seau}}}\end{center}

\item %Partie III
Si $\Lambda$ est un r{\'e}seau et $z$ un nombre complexe, on pose $z\Lambda = \set{z\rho ; (\rho \in�\Lambda)}$.

On dit que deux r{\'e}seaux $\Lambda$ et $\Lambda'$ sont semblables s'il existe $\lambda \in \C^{*}$ tel que $\Lambda' = \lambda \Lambda$.
\begin{enumerate}
\item %III.A -
\ 
\begin{enumerate}
\item %III.A.1)
D{\'e}montrer que tout r{\'e}seau $\Lambda$ est semblable {\`a} un r{\'e}seau $\Lambda_{\tau}$ o{\`u} $\tau \in \mathscr{H}$.

\item %III.A.2)
D{\'e}montrer que deux r{\'e}seaux $\Lambda_{\tau}$ et $\Lambda_{\tau'}$, o{\`u} $(\tau, \tau') \in \mathscr{H} \times \mathscr{H}$, sont semblables
si et seulement si il existe une matrice $\matrice{a & b \\ c & d} \in SL_{2}(\Z)$ telle que $\tau' = \dfrac{a\tau + b}{c \tau + d}$.
\end{enumerate}

\textit{La fin de la partie III montre qu'il existe des similitudes directes de centre $O$, autres que des homoth{\'e}ties, laissant stable un r{\'e}seau donn{\'e} $\Lambda$.}

\item %III.B - 
Soit $\Lambda$ un r{\'e}seau.
\begin{enumerate}
\item %III.B.1)
Indiquer, sans faire de d{\'e}monstration, le lien existant entre l'ensemble $S(\Lambda) = \set{z \in \C ; z\Lambda \subset \Lambda}$ et l'ensemble des similitudes directes $\sigma$ de centre $O$ laissant stable le r{\'e}seau $\Lambda$, c'est-{\`a}-dire telles que $\sigma(\Lambda) \subset \Lambda$.

\item %III.B.2)
Quel est l'ensemble des homoth{\'e}ties de centre $O$ laissant stable le r{\'e}seau $\Lambda$ ? En d{\'e}duire l'ensemble $S(\Lambda) \cap \R$.

\item %III.B.3)
De quelle structure alg{\'e}brique est dot{\'e} l'ensemble $S(\Lambda)$ ?

\item %III.B.4)
$\mathscr{B} = (\omega_{1}, \omega_{2})$ {\'e}tant une base de $\C$, on pose $\tau = \dfrac{\omega_{1}}{\omega_{2}}$.

Comparer les ensembles $S\left(\Lambda_{\mathscr{B}}\right)$ et $S(\Lambda_{\tau})$.

\item %III.B.5)
Quelle relation d'inclusion existe-t-il entre les ensembles $S(\Lambda_{\tau})$ et $\Lambda_{\tau}$ ?
\end{enumerate}

\item %III.C - 
$\tau$ {\'e}tant un complexe de $\C \setminus \R$, on consid{\`e}re le r{\'e}seau $\Lambda_{\tau}$ engendr{\'e} par la base $(\tau, 1)$ de $\C$.
\begin{enumerate}
\item %III.C.1)
On suppose que l'ensemble $S(\Lambda_{\tau})$ n'est pas r{\'e}duit {\`a} $\Z$.
Montrer que $\tau$ est alors racine d'un polyn{\^o}me du second degr{\'e} {\`a} coefficients dans $\Z$.
\item %III.C.2)
R{\'e}ciproquement, on suppose que $\tau$ est racine non r{\'e}elle d'un polyn{\^o}me $P(X) = uX^{2} + vX + w$ du second degr{\'e} {\`a} coefficients $u$, $v$, $w$ dans $\Z$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $S(\Lambda_{\tau})$ n'est pas contenu dans $\R$.
\item Que dire des ensembles $S(\Lambda_{\tau})$ et $\Lambda_{\tau}$ si $u = 1$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{center}\textbf{\textit{{\Large Partie IV - Action du groupe $\Gamma$ des homographies associ{\'e}es {\`a} $SL_{2}(\Z)$ sur l'ensemble $\mathscr{H}$}}}\end{center}

\item %Partie IV
\textit{Dans cette derni{\`e}re partie, on {\'e}tudie l'action de ce groupe $\Gamma$ sur l'ensemble $\mathscr{H}$.}

\textit{On introduit au IV.D un sous-ensemble fondamental $\mathscr{F}$ de $\mathscr{H}$.
On montre aux questions IV.E et IV.F que $\Gamma$ est engendr{\'e} par les homographies $s$ et $t$ associ{\'e}es aux matrices $S$ et $T$ introduites au I.D et qu'un syst{\`e}me de repr{\'e}sentants des orbites de $\Gamma$ est constitu{\'e} par les points de $\mathscr{F}$.}

{\`A} toute matrice $A = \matrice{a & b \\ c & d}$ de $SL_{2}(\Z)$ on associe l'application $g : \mathscr{H} \rightarrow \C$ d{\'e}finie par :
$\forall \tau \in \mathscr{H}, g(\tau) = \dfrac{a\tau + b}{c\tau + d}$.

\begin{enumerate}
\item %IV.A -
\ 
\begin{enumerate}
\item %IV.A.1)
Montrer que l'on a $g(\mathscr{H}) \subset \mathscr{H}$.
On identifie dor{\'e}navant $g$ avec l'application de $\mathscr{H}$ vers $\mathscr{H}$ qu'elle induit.
Lorsque la matrice $A$ parcourt $SL_{2}(\Z)$, l'application correspondante $g$ de $\mathscr{H}$ vers $\mathscr{H}$ d{\'e}crit un ensemble not{\'e} $\Gamma$.
Dans la suite de cette question on s'int{\'e}resse aux propri{\'e}t{\'e}s de la surjection $\Phi : \systeme{SL_{2}(\Z) \rightarrow \Gamma \\ A \mapsto g}$

\item %IV.A.2)
Montrer que $\Phi(A) \circ \Phi(A') = \Phi(AA')$.
En d{\'e}duire que la loi $\circ$ de composition des applications est une loi interne sur $\Gamma$.

\item %IV.A.3)
Pour tout $A \in SL_{2}(\Z)$, montrer que $\Phi(A)$ est une bijection de $\mathscr{H}$ sur $\mathscr{H}$ et que l'on a $\left [\Phi(A)\right ]^{-1} = \Phi\left(A^{-1}\right)$.
En d{\'e}duire que $(\Gamma, \circ)$ est un groupe.

\item %IV.A.4)
Montrer que $\left [\Phi(A) = id_{\mathscr{H}}\right ] \Leftrightarrow \left [A = �I_{2}\right ]$.

\item %IV.A.5)
\begin{enumerate}
\item R{\'e}soudre l'{\'e}quation $\Phi(A') = \Phi(A)$.
\item En utilisant les matrices $S$ et $T$ d{\'e}finies en I.D, v{\'e}rifier que le groupe $(\Gamma, \circ)$ n'est pas commutatif.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item %IV.B -
\ 
\begin{enumerate}
\item %IV.B.1)
Montrer que le cercle $\mathscr{C}(\omega, R)$ de centre $\omega \in \C$ et de rayon $R > 0$ a pour {\'e}quation

\centerline{$\abs{z}^{2} - \left(\omega \conj{z} + \conj{\omega} z \right) + \abs{\omega}^{2} = R^{2}$.}

{\`A} quelle condition n{\'e}cessaire et suffisante ce cercle est-il inclus dans $\mathscr{H}$ ?

\item %IV.B.2)
On appelle $s$ l'application de $\mathscr{H}$ vers $\mathscr{H}$ associ{\'e}e {\`a} la matrice $S = \matrice{0 & -1 \\ 1 & 0}$ d{\'e}finie au I.D, c'est-{\`a}-dire l'{\'e}l{\'e}ment $s = \Phi(S)$ de $\Gamma$.
D{\'e}terminer l'image par $s$ d'un cercle $\mathscr{C}(\omega, R)$ inclus dans $\mathscr{H}$.
\end{enumerate}

\item %IV.C -
\ 
\begin{enumerate}
\item %IV.C.1)
Trouver l'image par $s$ d'une droite $\mathscr{D}$ incluse dans $\mathscr{H}$, c'est-{\`a}-dire d'une droite $\mathscr{D}$ d'{\'e}quation $y = \beta$, avec $\beta > 0$.

\item %IV.C.2)
Trouver l'image par $s$ d'une demi-droite $\mathscr{D}_{+}$ d'{\'e}quation

\centerline{$\systeme{x = \alpha \\ y > 0}$, o{\`u} $\alpha \in \R$, incluse dans $\mathscr{H}$.}
\end{enumerate}

\item %IV.D - 
On introduit le sous-ensemble $\mathscr{F}$ de $\mathscr{H}$, d{\'e}fini par

\centerline{$\mathscr{F} = \set{\tau \in \mathscr{H} : \abs{\tau} {\geq} 1, \abs{\Re{\tau}} {\leq} \dfrac{1}{2}}$.}

On appelle $t$ l'application de $\mathscr{H}$ vers $\mathscr{H}$ associ{\'e}e {\`a} la matrice $T = \matrice{1 & 1 \\ 0 & 1}$ d{\'e}finie au I.D, c'est-{\`a}-dire l'{\'e}l{\'e}ment $t = \Phi(T)$ de $\Gamma$.
Repr{\'e}senter graphiquement l'ensemble $\mathscr{F}$ et ses images $t\left(\mathscr{F}\right)$ et $t^{-1}\left(\mathscr{F}\right)$ par les applications $t$ et $t^{-1}$.

\item %IV.E - 
On note $G$ le sous-groupe de $\Gamma$ engendr{\'e} par l'ensemble $\set{s, t}$. Soit $\tau$ un {\'e}l{\'e}ment de $\mathscr{H}$.
\begin{enumerate}
\item %IV.E.1)
Montrer qu'il existe un {\'e}l{\'e}ment $g_{0} \in G$ tel que

\centerline{$(\forall g \in�G) \Im{g(\tau)} {\leq} \Im{g_{0}(\tau)}$.}

\item %IV.E.2)
On pose alors $\tau' = g_{0}(\tau)$.
D{\'e}montrer qu'il existe un entier $m \in \Z$ tel que

\centerline{$\abs{\Re{t^{m}(\tau')}} {\leq} \dfrac{1}{2}$.}

\item %IV.E.3)
V{\'e}rifier que $\abs{t^{m}(\tau')} {\geq} 1$ et en conclure que $t^{m}(\tau') \in \mathscr{F}$.
\end{enumerate}

\item %IV.F - 
On peut d{\'e}montrer le r{\'e}sultat suivant, que l'on admettra ici : si $\tau \in \mathscr{F}$ et si pour un {\'e}l{\'e}ment $g \in \Gamma$, avec $g {\neq} id_{\mathscr{H}}$, on a $g(\tau) \in \mathscr{F}$ alors $\tau$ est un point fronti{\`e}re de $\mathscr{F}$, autrement dit on a

\centerline{$\Re{\tau} = �\dfrac{1}{2}$ ou $\abs{\tau} = 1$.}

En utilisant ce r{\'e}sultat ainsi que ceux de la section IV.E, d{\'e}montrer que $G = \Gamma$.

\textit{Indication :} on pourra consid{\'e}rer un point $\tau$ int{\'e}rieur {\`a} $F$ (c'est-{\`a}-dire $\tau \in \interieur{F}$) et son image $g(\tau)$ par $g \in \Gamma$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\hrule

\begin{center}\textbf{$\bullet$$\bullet$$\bullet$ FIN $\bullet$$\bullet$$\bullet$}\end{center}

\hrule
\end{document}
