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\title{\Large CENTRALE - 2004 - PC - MATH 1  :  corrig\'{e}.\normalsize}
\date{ Mai 2004 }

\begin{document}
\maketitle \centerline{ \large \fbox{  Convergence de s\'{e}ries
enti\`{e}res sur le cercle de convergence.} \normalsize }

\bigskip
\centerline{\underline{\large Partie I  :  Calculs
pr\'{e}liminaires\normalsize } }  \hspace{3em}

I-A) La premi\`{e}re in\'{e}galit\'{e} est standard; la seconde
tient \`{a} la concavit\'{e} de la fonction sinus sur $[0..\pi
/2]$.\\

I-B) La restriction sur x permet de sommer comme suite
g\'{e}om\'{e}trique : \\
\centerline{$|\sum_{k=p}^{q}e^{ikx}|=|\bonfrac{e^{ipx}.(1-e^{i(q-p+1)x})}{1-e^{ix}}|$}
\\

I-C) \underline{Cette question porte sur la transformation d'Abel}\\
\begin{eqnarray*}  1)
\sum_{k=p+1}^{q-1}(u_{k}-u_{k+1}).V_{k}&=&\sum_{k=p+1}^{q-1}(u_{k}.V_{k})
-\sum_{k=p+2}^{q}(u_{k}.V_{k-1})\\
&=&u_{p+1}.V_{p+1}+\sum_{k=p+2}^{q-1}u_{k}v_{k}-(u_{q}.V_{q}-u_{q}.v_{q})
\qquad car \quad V_{k}-V_{k-1}=v_{k} \\
&=& u_{p+1}.V_{p}+\sum_{k=p+1}^{q}u_{k}.v_{k}-u_{q}.V_{q} \qquad
car \quad
V_{p+1}=V_{p}+v_{p} \\
\end{eqnarray*}
d'o\`u : \hspace{5em}
$\sum_{k=p+1}^{q}(u_{k}.v_{k})=\sum_{k=p+1}^{q-1}(u_{k}-u_{k+1}).V_{k}+u_{q}.V_{q}-u_{p+1}.V_{p}$
\\[3mm]
 2) \textbf{Erreur grossi\`{e}re dans le texte} :
\emph{il faut
ajouter l'hypoth\`{e}se } : $u_{n}\rightarrow 0$ ! \\
Montrer que $\sum_{n\geq 1}u_{n}v_{n}$ converge revient \`a
prouver que $|\sum_{k=p+1}^{q}u_{k}v_{k}|\rightarrow 0 \quad (p,q
\rightarrow \infty )$ . \\
Les hypoth\`{e}ses de l'\'{e}nonc\'{e} entrainent par majoration
\'{e}l\'{e}mentaire que
$|\sum_{k=p+1}^{q-1}(u_{k}-u_{k+1}).V_{k}|\rightarrow 0$ et , si
$u_{n}\rightarrow 0$ alors  $u_{q}.V_{q}-u_{p+1}.V_{p}\rightarrow
0 \quad (p\rightarrow \infty) $ . La convergence de $\sum
u_{n}.v_{n}$ est alors cons\'{e}quence de l'\'{e}galit\'{e}
obtenue dans la question pr\'{e}c\'{e}dente.\\
3) Si $(u_{n})$ est d\'{e}croissante et convergente, alors
$\sum_{k=1}^{n}|u_{k}-u_{k+1}|=u_{1}-u_{n+1}\rightarrow
u_{1}-lim(u_{n})$ , et  $u_{n}\rightarrow 0$ permet de conclure,
comme au-dessus, \`a la convergence de $\sum_{k\geq 1}|u_{k}-u_{k+1}|$ .  \\[2mm]
I-D) Les s\'{e}ries propos\'{e}es sont les parties r\'{e}elle et
imaginaire de  $\quad \sum_{k\geq 1} \bonfrac{e^{ikx}}{k} $ ;
posant  $u_{k}=1/k$ et $v_{k}=e^{ikx}$ , les conditions
d'application de  I-C-3)  sont r\'{e}unies (au vu de la majoration
I-B) ) , donc la s\'{e}rie  $\quad \sum_{k\geq 1} \bonfrac
{e^{ikx}}{k} $ converge \emph{sans utiliser I-C)-2)} . \\
Si $ x \in 2\pi \Z $ , alors  $ \quad \sum _{k\geq 1}
\bonfrac{cos(kx)}{k} =\sum_{k\geq 1} \bonfrac{1}{k} $ qui diverge
. \\[3mm]


\centerline{\underline{\large Partie II  :  quelques exemples
d'ensembles $C_{a}$ \normalsize} } \bigskip

II-A) $\bullet$  Si $|z|<1$ alors $|z.R_{a}|<R_{a}$ donc $\sum
b_{n}z^{n}=\sum a_{n}(z.R_{a})^{n}$ est absolument convergente \\
$\bullet$ Si $|z|>1$ alors $|z.R_{a}|>R_{a}$ donc $\sum
b_{n}z^{n}=\sum a_{n}(zR_{a})^{n}$ diverge grossi\`{e}rement . \\
$\bullet$  $z\in C_{a} \Leftrightarrow (|z|=R_{a}$ et $\sum
a_{n}z^{n}$ converge) $\Leftrightarrow (|z/R_{a}|=1$ et $\sum
b_{n} (z/R_{a})^{n}$ converge) $\Leftrightarrow \bonfrac{z}{R_{a}}
\in C_{b}$ \\

II-B) 1) Si $|z|=R_{a}=1$ alors $|a_{n}z^{n}|=|a_{n}|$ donc $z\in
C_{a}$ : $C_{a}$ est le cercle unit\'{e} . \\
2) $\forall x\in I$ , $|e^{inx}|=1$ donc $|f_{n}(x)|=a_{n}$ et
$\sum |f_{n}(x)|=\sum|a_{n}$ qui converge : il y a convergence
normale donc uniforme de $\sum f_{n}$ sur I, et la fonction somme
est par cons\'{e}quent continue sur I. \\
3) On prend  $a_{n}=1/n^{2}$ . \\

II-C) Prendre $a_{n}=1$ . \\

II-D) 1) $\bullet$ $R_{a}>1 \Rightarrow \sum a_{n}z^{n}$ est
absolument convergente pour $|z|<R_{a}$ donc en particulier pour
$z_{0}$, ce qui est faux. Donc $R_{a}\leq 1$. \\
$\bullet$ $R_{a}<1 \Rightarrow \sum a_{n}z^{n}$ diverge
grossi\`{e}rement pour $|z|>R_{a}$ , donc en particulier pour
$z_{0}$ , ce qui est faux : $R_{a}\geq 1$ . \\
On conclut $\qquad R_{a}=1$ . \\
2) $\bullet$ Si $z=\xi $, alors $\sum a_{n}z^{n}=\sum 1/n$ est
divergente. \\
$\bullet$ Si $|z|=1$ et $z\neq \xi$ alors $\bonfrac{z}{\xi}
=e^{ix}$ avec $x \notin 2k\pi\Z $ et $\sum
a_{n}(\bonfrac{z}{\xi})^{n}$  converge par application de  I-C-3)
et I-B). \\
On conclut : $\qquad C_{a}$ est le cercle unit\'{e} priv\'{e} de
$\xi$ . \\
3) $a_{n}=\bonfrac{1}{n}.\sum_{k=1}^{p} \bonfrac{1}{\xi_{k}^{n}}$
convient \'{e}videmment. \\
4) Prenant $\xi=e^{-i}$  dans  II-D-2)  on trouve
$\bonfrac{cos(n)}{n}$  comme partie r\'{e}elle du facteur
$\bonfrac{1}{n.\xi^{n}}$  consid\'{e}r\'{e} , donc, dans  II-D-4)
, $R_{a}=1$ , $C_{a}$  est le cercle unit\'{e} priv\'{e} de
$e^{i}$ (invariance par conjugaison par parit\'{e} de cos ), et
$\sum |a_{n}|$  diverge car dans le cas contraire  $C_{a}$ serait
le cercle unit\'{e} complet. \\[3mm]



\centerline{\underline{\large Partie III  : $C_{a}$ est le cercle
unit\'{e} et $\sum |a_{n}|$ diverge \normalsize } }
\bigskip
\emph{Les questions III-A) et III-B) sont des variations sur le
crit\`{e}re sp\'{e}cial de s\'{e}ries altern\'{e}es et la
sommation par paquets}. \\
\indent III-A) Il est clair que $|a_{n}|\sim 1/n$ donc  $\sum|a_{n}|$  diverge.\\

III-B)1) $|R_{N}|\leq \sum
_{k=p^{2}}^{N}\bonfrac{1}{p^{2}}\leq\sum
_{k=p^{2}}^{(p+1)^{2}-1}\bonfrac{1}{p^{2}}=\bonfrac{2.p+1}{p^{2}}$\\
2) On pose  $b_{p}=\sum _{p^{2}\leq n\leq (p+1)^{2}-1}a_{n}$ ;
alors  $b_{p}=\sum (-1)^{p}.K_{p}$  avec  $K_{p}>0$ et $K_{p}\leq
\bonfrac{2p+1}{p^{2}}$ vu la question pr\'{e}c\'{e}dente. \\
La s\'{e}rie $\sum b_{p}$ est convergente d'apr\`{e}s le
crit\`{e}re sp\'{e}cial des s\'{e}ries altern\'{e}es. Les sommes
partielles de cette s\'{e}rie forment une suite convergente et la
diff\'{e}rence entre une somme partielle de la s\'{e}rie $\sum
a_{n}$ et la somme partielle correspondante suivant l'encadrement
de l'\'{e}nonc\'{e} de la s\'{e}rie $\sum b_{p}$ est (III-B1))
inf\'{e}rieure \`a $\bonfrac{2p+1}{p^{2}}$ , qui tend vers
z\'{e}ro . On conclut que la suite des sommes partielles de $\sum
a_{n}$
converge, i.e. que la s\'{e}rie $\sum a_{n}$ converge. \\

III-C) 1) Dans le cas d'indice n le plus g\'{e}n\'{e}ral,
$a_{n+1}-a_{n}=0$ . Le cas "particulier" se produit lorsque
$n=(p+1)^{2}-1$ et $n+1=(p+1)^{2}$. Dans ce cas :
$|a_{n+1}-a_{n}|=\bonfrac{1}{p^{2}}-\bonfrac{1}{(p+1)^{2}}=\bonfrac{2p+1}{p^{2}.(p+1)^{2}}\leq
\bonfrac{3}{p^{3}}$ , donc \\
$\sum _{n\geq 1}|a_{n+1}-a_{n}|$  converge .\\
2) Si $x\in I\backslash \{0\}=]-\pi,0[\bigcup ]0,\pi[$ , posant
$(u_{n})=(a_{n})$ et $(v_{n})=(e^{inx})=(z^{n})$ , on peut
appliquer  (I-B)) et (I-C-2)), donc $\sum a_{n}z^{n}$  converge.
\\[4mm]

\centerline{\underline{\large Partie IV  : Un dernier exemple
\normalsize } }
\bigskip

\emph{Comme dans la partie III, la s\'{e}rie enti\`{e}re
consid\'{e}r\'{e}e converge sur le cercle unit\'{e} , mais cette
fois $\sum a_{n}$ est grossi\`{e}rement divergente, alors que dans
III elle \'{e}tait semi-convergente.} \\
\indent IV-A) 1) La somme est par d\'{e}finition de $k_{x}$ \`a
termes $\geq 0$ , donc $\sum_{k=1}^{n}\bonfrac{sin(k.x)}{k}\geq
0$ . \\
Par ailleurs  $\bonfrac{sin(k.x)}{k}\leq
x.\bonfrac{sin(k.x)}{k.x}\leq x$ donc $\sum _{k=1}^{n}
\bonfrac{sin(k.x)}{k}\leq n.x\leq k_{x}.x\leq \pi$ .\\
2) On utilise  I-C-1)  avec $u_{k}=\bonfrac{1}{k}$ et
$v_{k}=e^{ikx}$ ; avec  I-B) : $|V_{k}|$ , $|V_{p}|$ et $|V_{q}|$
sont major\'{e}es par  $\bonfrac{1}{sin(x/2)}$ . \\
Or  (cf I-A))  $sin(x/2)\geq
\bonfrac{2}{\pi}.\bonfrac{x}{2}=\bonfrac{x}{\pi}$ d'o\`u
$\bonfrac{1}{sin(x/2)}\leq \bonfrac{\pi}{x}$ .  En utilisant
l'in\'{e}galit\'{e} triangulaire dans I-C-1) on obtient : \\
\indent  $ |\sum_{k=k_{x}+1}^{n} \bonfrac{e^{ikx}}{k}|\leq
\bonfrac{\pi}{x} (\sum_{k=k_{x}+1}^{n-1}
(\bonfrac{1}{k}-\bonfrac{1}{k+1})+\bonfrac{1}{n}+\bonfrac{1}{k_{x}+1})
=\bonfrac{2\pi}{x.(k_{x}+1)}$ \\
Or, par d\'{e}finition de $k_{x}$ : $x.(k_{x}+1)\geq \pi$ d'o\`u :
$|\sum _{k=k_{x}+1}^{n} \bonfrac{e^{ikx}}{k}|<2$ . \\
Il reste \`a prendre la partie imaginaire pour obtenir : $|\sum
_{k=k_{x}+1}^{n} \bonfrac{sin(k.x)}{k}|<2$ . \\

3) $|\sum _{k=1}^{n} \bonfrac{sin(k.x)}{k}|\leq |\sum
_{k=1}^{k_{x}} \bonfrac{sin(k.x)}{k}|+|\sum _{k=k_{x}+1}^{n}
\bonfrac{sin(k.x)}{k} |< \pi +2=C_{1} $ (ceci lorsque $n>k_{x}$ ;
cette in\'{e}galit\'{e} est \'{e}videmment vraie si
$n\leq k_{x}$).\\
\emph{Remarque} : on a suppos\'{e} ici $x\in ]0,\pi [$ mais, pour
$x=0$ , tous les termes sont nuls et on peut toujours se ramener
au
cas $x\in [0,\pi [$ par p\'{e}riodicit\'{e} de $|sin(k.x)|$ .
\\[2mm]
\indent IV-B) 1) En mettant $X^{N}$ en facteur et en
rempla\c{c}ant X par $e^{ix}$ on obtient : \\
\indent $Q_{n,N}(e^{ix})=e^{iNx}.(\sum _{k=1}^{n}
\bonfrac{-e^{ikx}+e^{-ikx}}{k}) =-2ie^{iNx}.\sum _{k=1}^{n}
\bonfrac{sin(kx)}{k}$ . \\
2) Trivialement $C_{2}=2.C_{1}=2\pi +4$ convient, vu  IV-A-3).
\\[2mm]
\indent IV-C) Notons que $N_{j}=2.n_{j}$ d'o\`u
$I_{j}=\|2^{j^{3}},3.2^{j{3}}\|$. Il suffit alors de v\'{e}rifier
que $2^{(j+1)^{3}}>3.2^{j^{3}}$ . \\[2mm]
\indent IV-D)D'apr\`{e}s  IV-B-2) , $|P_{j}(e^{i(x+1/j)})|\leq
C_{2}$ . $(B_{n}(x))$ est donc la suite des sommes partielles
d'une s\'{e}rie de fonctions major\'{e}e en module par
$\sum\bonfrac{C_{2}}{j^{2}}$ , par cons\'{e}quent normalement
convergente. Il en r\'{e}sulte que la suite $(B_{n}(x))$ est une
suite de fonctions continues uniform\'{e}ment convergente sur I,
 donc de limite $F(x)$ continue sur I. \\[2mm]
\indent IV-E) Les intervalles $I_{j}$  sont disjoints (cf IV-C))
et le plus "grand" d'entre eux, obtenu pour j=n , a comme entier
maximal $3.2^{n^{3}}$ . On ne r\'{e}cup\`{e}re donc dans
$B_{n}(x)$ des termes en $e^{ikx}$ que pour $k\leq 3.2^{n^{3}}$ .
Si un tel k appartient \`a un intervalle $I_{j}$ donn\'{e} , il
est obtenu dans $P_{j}$ avec le coefficient
$\bonfrac{1}{N_{j}-k}.e^{i.k/j}$ (cf calcul de IV-B-1) et le fait
que la variable dans $P_{j}$ est $e^{i(x+1/j)}$ et non $e^{ix}$
).\\
On obtient donc $e^{ikx}$ avec le coefficient
$a_{k}=\bonfrac{1}{j^{2}}.\bonfrac{1}{N_{j}-k}.e^{i.k/j}$ ,
d'o\`u, globalement,  $B_{n}(x)=A_{3.2^{n^{3}}}(x)$ . \\[2mm]
\indent IV-F) 1) $N_{j}-k$ parcourt les entiers de $(-n_{j})$ \`a
$(-1)$ et de 1 \`a $n_{j}$ , en excluant 0 . \\
On a donc : $\sum _{k=p}^{q-1} |\alpha_{k}-\alpha_{k+1}|\leq
2.(1+\sum_{i=1}^{n_{j}-1} (\bonfrac{1}{i}-\bonfrac{1}{i+1}))<4
\qquad $ (par t\'{e}lescopage). \\
2) A l'aide de  I-C-1) , on proc\`{e}de exactement comme dans
IV-A-2) , avec ici $u_{k}=\alpha_{k}$ et $v_{k}=e^{ikx}$ . \\
On obtient ainsi la majoration : $|\sum _{k=p}^{q}
\alpha_{k}e^{ikx}|\leq
(4+1+1).\bonfrac{\pi}{|x|}=\bonfrac{C_{3}}{|x|} \quad $ avec
$C_{3}=6\pi $ . \\
3) $\bullet $ Si x=0, $j\geq 1$ convient ; si $x=\pm
\bonfrac{1}{n}$ , $j>n$ convient ; sinon on prend $j\geq
E(\bonfrac{1}{|\pi -x|})+1 $ . \\
$\bullet $ Vu  IV-E) , $|A_{n}(x)-B_{j}(x)|=|\sum _{k=p}^{q}
a_{k}e^{ikx}|$ avec $2^{j^{3}}\leq p\leq q=3.2^{j^{3}} $ \\
soit : $|A_{n}(x)-B_{j}(x)|=\bonfrac{1}{j^{2}}.|\sum _{k=p}^{q}
\alpha_{k}e^{i.k/j}.e^{ikx}|=\bonfrac{1}{j^{2}}.|\sum _{k=p}^{q}
\alpha_{k}e^{ik(x+1/j)}|$ . \\
Pour j (donc n) suffisamment grand on a $x+\bonfrac{1}{j} \in
I\backslash \{ 0\}$ et on applique  IV-F-2) :
$|A_{n}(x)-B_{j}(x)|\leq \bonfrac{C_{2}}{j^{2}.|x+1/j|}$ . \\
$\bullet $Si $x=\pi$ alors, $\forall j\geq 1$ ,
$x-\bonfrac{1}{j}\neq 0$ et $x-\bonfrac{1}{j} \in I$ ; on peut
ainsi reprendre le m\^{e}me calcul sous la forme : \\
\indent
$|A_{n}(x)-B_{n}(x)|=|\overline{A_{n}(x)}-\overline{B_{n}(x)}|=\bonfrac{1}{j^{2}}.|\sum
_{k=p}^{q} \alpha_{k}e^{-i.k/j}e^{-ikx}|$ \\
Or $x=\pi$ donc $e^{-ikx}=e^{ikx}$ et on obtient comme au-dessus :
\\
\centerline{
$|A_{n}(x)-B_{n}(x)|=\bonfrac{1}{j^{2}}.|\sum_{k=p}^{q}
\alpha_{k}e^{-ik(x-1/j)}|\leq \bonfrac{C_{3}}{j^{2}.|\pi -1/j|}$ .
}
\\
4) $\forall \varepsilon >0$ , $\forall x\in I$ ,
$|A_{n}(x)-F(x)|\leq |A_{n}(x)-B_{j}(x)|+|B_{j}(x)-F(x)|\leq
\varepsilon $ , ceci pour n assez grand, et donc j assez grand
pour respecter  IV-D) , j \'{e}tant li\'{e} \`a n par les
conventions de  IV-F-3) . \\
\emph{Noter qu'on perd la convergence uniforme sur I mais qu'on
peut la conserver sur les segments inclus dans $]-\pi,0[\bigcup
]0,\pi[$ .} \\[2mm]
\indent IV-G) \emph{On montre effectivement dans cette question
qu'il n'y a pas convergence uniforme au voisinage de 0}. \\
1) La diff\'{e}rence \`a effectuer permet de ne conserver que les
termes de la somme correspondant \`a la "moiti\'{e} gauche" de
l'intervalle $I_{j}$ , soit : \\   \indent 
$A_{N_{j}}(-\bonfrac{1}{j})-A_{N_{j}-n_{j}-1}(-\bonfrac{1}{j})=\sum
_{k=N_{j}-n_{j}}^{N_{j}} a_{k}e^{-i.k/j}=\bonfrac{1}{j^{2}}.\sum
_{k=N_{j}-n_{j}}^{N_{j}}\bonfrac{1}{N_{j}-k}=\bonfrac{1}{j^{2}}.\sum
_{k=1}^{2^{j^{3}}} \bonfrac{1}{k} \quad $ (en changeant d'indice).
\\
2) $\sum _{k=1}^{2^{j^{3}}} \bonfrac{1}{k} \sim
ln(2^{j^{3}})=j^{3}.ln(2)$ donc l'expression pr\'{e}c\'{e}dente
\'{e}quivaut \`a j.ln(2) ; en particulier elle ne tend pas vers 0
lorsque $j\rightarrow +\infty $ , ce qui contredit le crit\`{e}re
de Cauchy uniforme au voisinage de 0 : il n'y a pas convergence
uniforme de $\sum f_{n}$ au voisinage de 0. \\[2mm]
IV-H) Si $k_{a}>1$ , il y a convergence uniforme de $\sum f_{n}$
sur le cercle unit\'{e} , ce qui est faux par IV-G-2) (pas de
convergence uniforme sur le cercle au voisinage de z=1). Donc
$R_{a}\leq 1$ . Or on a vu en IV-F-4)  que $\sum f_{n}$ converge
simplement sur le cercle unit\'{e} , donc $R_{a}\geq 1$ et $C_{a}$
est ext\'{e}rieur -au sens large- au cercle unt\'{e} . \\
\centerline{  Conclusion : $R_{a}=1$ et $C_{a}$ est le cercle
unit\'{e} .  }

\end{document}
