\documentclass{article}
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%   REDEFINITIONS :
%
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\def\qqs{\forall\,}\def\existe{\exists\,}
\def\cis{comme il suit}
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\newcommand{\pare}[1]{\left(#1\right)}
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\def\jfrac#1#2{\raisebox{2pt}{$#1$}/\raisebox{-2pt}{$#2$}}
\def\dbind#1{_{_#1}}  %Passage direct en indice d'indice
\def\existe{\exists\,}
\def\qqsoit{\forall\,}
\def\dsq{de sorte que}
\newcommand{\CNS}{con\-di\-tion n\'e\-ces\-saire et suf\-fi\-sante}
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\def\rd#1{\uppercase{\text{\cmmd #1}}}
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\newcommand{\accold}[2]{\left.\begin{array}{#1}#2\end{array}\right\}}
\def\citation#1{\nobreak\bigbreak  {\hbox to \hsize{\hfill\let\\=\cr\null%
 \hfill\vbox{\halign{\it##\hfill\cr#1\hfill\crcr}}}}}
%Mode math : Mettre dans #1 les indications de centrage l/c/r et dans #2 le contenu de
%l'accolade. La syntaxe est par exemple $\accol{ccr}{a&b&c\\d&e&f}$.
\newcommand{\ssi}{si, et seulement si,}
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%\newcommand{\surarc}[1]{\mathop{\vbox{\ialign{##\crcr\noalign{kern3\p@}\oaf\crcr
%\noalign{\kern3\p@\nointerlineskip}$\hfill\displaystyle{#1}\hfill$\crcr}\limits}}}
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\def\etplus{\raisebox{-3pt}{\text{\small*}}\raisebox{0.5pt}{\text{\tiny+}}}   %Pour R^{+*}
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\def\cadre#1{\vbox{\hrule\hbox{\vrule\vbox spread 2pt{\vfil\hbox spread 2pt{\hfil#1\hfil}\vfil}\vrule}\hrule}}
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\newcommand{\scal}[2]{\left(#1\left\lvert\right.\,#2\right)}
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\newenvironment{marges}[2]{\begin{list}{}{%
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}\item }{\end{list}}
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%Trois points SW-NE
\def\adots{\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}
\mkern3mu\raise4pt\hbox{.}\mkern1mu\raise7pt\hbox{.}}}
\newcommand{\bloc}[4]{\begin{pmatrix}#1&#2\\#3&#4\end{pmatrix}}
\pagestyle{empty}
%   TEXTE :
\begin{document}\language=1\NI
\begin{center}
{\bf\Large Partie I}
\end{center} 
{\bf I.1} V\'erification simple et classique. D'ailleurs, si on d\'esigne par $\gamma_k$ 
l'application $\vartheta\longmapsto\cos k\vartheta$ et par~$\sigma_k$ l'application 
$\vartheta\longmapsto\sin k\vartheta$, alors les \ssev\ Vect$(\gamma_0)$, 
Vect$(\gamma_1,\,\sigma_1)$ et Vect$(\gamma_2,\,\sigma_2)$ sont en somme directe dans 
C$^\infty(\CR)$ (penser \`a l'endomorphisme de d\'erivation seconde), ensuite de quoi on prouve 
facilement que les familles $(\gamma_1,\,\sigma_1)$ et $(\gamma_2,\,\sigma_2)$  sont en outre 
libres. Cela ach\`eve la d\'emonstration.\\\\
{\bf I.2} Si le cercle $\Gamma$ param\'etr\'e par 
$\vartheta\longmapsto(x_0+\rho\cos\vartheta,\,y_0+\rho\sin\vartheta)$ est inclus dans $\rd 
c_{A,B,C,D,E,F}$, on a, pour tout $\vartheta\in\CR$, 
$$A(x_0+\rho\cos\vartheta)^2+B(x_0+\rho\cos\vartheta)(y_0+\rho\sin\vartheta)+C(y_0+\rho\sin\vartheta)^2+D(x_0+\rho\cos\vartheta)+E(y_0+\rho\sin\vartheta)+F=0$$
Il suffit alors de d\'evelopper puis lin\'eariser cette expression pour obtenir, pour 
$\vartheta\in\CR$, $$\dfrac{\rho^2}{2}\Bigl((A-C)\cos2\vartheta+B\sin2\vartheta\Bigr)+\dots=0$$ 
relation lin\'eaire entre les fonctions $\gamma_0,\,\gamma_1,\,\sigma_1,\,\gamma_2,\,\sigma_2$. De 
{\bf I.1} suit que $A=C$ et $B=0$.\\\\ Inversement, une conique d'\'equation 
$A(x^2+y^2)+Dx+Ey+F=0$, donc avec $A\neq0$, repr\'esente un cercle de rayon $\ge0$ \ssi\ 
$D^2+E^2\ge4AF$ (mettre l'expression sous forme canonique).
%
\\\\\begin{center}
{\bf\Large Partie II}
\end{center} 
{\bf II.A.1} $M_0\in\rd c\iff A(x_0^2+y_0^2)+Bx_0y_0+Dx_0=0$. Au vu de {\bf I.2}, une conique est 
dans \rd e$_1$ {\bf et} est un cercle \ssi\ $B=0$ et $D=-\dfrac{A(x_0^2+y_0^2)}{x_0}$. Le 
r\'esultat en d\'ecoule alors, en particulier l'{\em unicit\'e} de \rd c$_1$ puisque les 
\'equations obtenues sont deux \`a deux proportionnelles.\\\\
$\rd c_1$ est un {\em vrai} cercle tangent (en $O$) \`a $Oy$, par exemple parce que son centre 
$\Omega$ a pour coordonn\'ees $\pare{\dfrac{x_0^2+y_0^2}{2x_0},\,0}$ et que son rayon 
$R=\left\lvert\dfrac{x_0^2+y_0^2}{2x_0}\right\rvert=\norme{\overrightarrow{\vrule height3mm width 
0mm depth0mm O\Omega}}$. On en conclut de $\Omega$ est le point d'intersection de $Oy$ avec la 
m\'ediatrice de $[OM_0]$ qui lui est s\'ecante.\\\\
{\bf II.A.2} On v\'erifie facilement que $\rd c_2$ est de la forme souhait\'ee \ssi\ $A=C=0$ et 
$C=-By_0$. L\`a encore, le r\'esultat en d\'ecoule, en particulier l'{\em unicit\'e} de \rd c$_2$ 
puisque les \'equations obtenues sont proportionnelles \`a $X(Y-y_0)=0$. $\rd c_2$ est la 
r\'eunion de $Oy$ avec la parall\`ele \`a $Ox$ passant par $M_0$.\\\\
{\bf II.A.3} $M\in\rd c_1\cap\rd c_2$ \ssi\ ses coordonn\'ees sont $(0,\,0)$, $(x_0,\,y_0)$ ou 
$(y_0^2/x_0,\,y_0)$. Cela fait trois points distincts si $y_0\not\in\acco{0,\,\pm x_0}$, et deux sinon.\\
{\em Inversement}, il est clair que $M$ appartient \`a toutes les coniques de $\rd e_1$ \ssi\ 
$M\in\rd c_1\cap\rd c_2$. Parmi ces points se trouvent toujours $O$ et $M_0$.\\\\
{\bf II.B} \`A noter que, si $(x_0=\rho\cos\vartheta,\,y_0=\rho\sin\vartheta)$, alors 
$$(y_0^2/x_0=\rho\tang\vartheta\cos(\pi/2-\vartheta),\,y_0=\rho\tang\vartheta\sin(\pi/2-\vartheta))$$
Cela fait le lien avec {\bf II.A} et explique le caract\`ere involutif de $\varphi$, vu {\bf 
II.A.3}.\\\\
{\bf II.B.1} La coh\'erence est claire ; $\varphi(M_0)$  est sur toutes les coniques de $\rd e_1$ 
vu la remarque {\em supra}. On peut donc construire $\varphi(M_0)$ \cis~: on construit $\Omega$ 
comme en {\bf II.A.1}, puis $\rd c_1$ connaissant son centre et un de ses points ($O$ par exemple) 
et $\varphi(M_0)$ est la seconde intersection, \'eventuellement confondue avec $M_0$, de ce cercle 
avec la parall\`ele \`a $Ox$ men\'ee de $M_0$.\\\\
{\bf II.B.2} Si $M\in P',\,\varphi(M)\in P'\iff y_M\neq0$. Dans ce cas, $\varphi\circ\varphi(M)=M$ 
; en d'autres termes, $\varphi$ est une involution quadratique~: si $M$ a des coordonn\'ees projectives
$(x,\,y,\,t)$, alors $\varphi(M)$ a pour coordonn\'ees projectives $(y^2,\,xy,\,tx)$.\\\\
{\bf II.B.3} $\gamma$ est le cercle centr\'e en $(0,\,a)$ et de rayon $a$. Une \'equation polaire 
de $\gamma'$ est alors $\rho=2a\dfrac{\cos^2\vartheta}{\sin\vartheta}$, \dsq\ $\gamma'$ est une 
cisso\trema{\i}de droite, voir figure.\\\\
{\bf II.C.1a} On a imm\'ediatement 
$\nu=-\dfrac{\lambda(x_0^2+y_0^2)+2\mu x_0y_0}{x_0}$.\\\\
{\bf II.C.1b} Comme $B^2-4AC=4(\mu^2-\lambda^2)\neq0$, la conique a un centre, qui est le point 
critique de $\lambda(x^2+y^2)+2\mu xy+\nu X$, \`a savoir 
$\pare{-\dfrac{\lambda\nu}{2(\lambda^2-\mu^2)},\,\dfrac{\mu\nu}{2(\lambda^2-\mu^2)}}$.\\\\
{\bf II.C.2} L'appartenance \`a $\Gamma$ est imm\'ediate. $\Gamma$ est une hyperbole 
\'equilat\`ere de centre $O'\pare{\dfrac{x_0^2+y_0^2}{4x_0},\,\dfrac{y_0}{2}}$, qui passe par $O$. 
Les axes sont les parall\`eles \`a $Ox$ et $Oy$ men\'ees de $O'$ et les sommets les points 
$M_3(x_0/2,\,y_0/2)$ et $M'_3(y_0^2/2x_0,\,y_0/2)$, milieux respectifs de $[OM_0]$ et de 
$[OM'_0]$. [\,{\em\small Si on plonge le plan de r\'ef\'erence dans un plan projectif complexe et que l'on choisisse
deux points $A$ et $B$ sur la droite de l'infini, le centre de $(\rd{C}_{\lambda,\,\mu})$ est l'intersection
des polaires de $A$ et de $B$, qui d\'ecrivent respectivement deux faisceaux de droites en \'etant li\'ees homographiquement.
Ce centre d\'ecrit donc une conique, ce que confirme le calcul {\em supra}}.\,]\\\\
{\bf II.C.3}\\ $\Gamma\cap Ox=\acco{O,\,M_1}$, o\`u $M_1$ est le centre du cercle $\rd 
c_1$.\\
$\Gamma\cap Oy=\acco{O,\,M_2}$, o\`u $M_2$ est le centre de $\rd c_2$.\\
$\Gamma\cap OM_0=\acco{O,\,M_3}$ ; $\Gamma\cap OM'_0=\acco{O,\,M'_3}$.\\
$\Gamma\cap M_0M'_0=\acco{O'',\,M_2}$, o\`u $O''$ est le milieu de $[M_0M'_0]$.\\\\
La figure form\'ee par ces six points est sym\'etrique par rapport \`a $O'$.\\\\
{\bf II.C.5} $\rd c_{1,\,1}$ et $\rd c_{1,\,-1}$ sont des paraboles d'axes orthogonaux, 
parall\`eles aux bissectrices du rep\`ere. Voir la figure. [\,{\em\small Quand deux paraboles 
d'axes orthogonaux se coupent en quatre points, ces quatre points sont cocycliques ; ici, ils sont 
sur le cercle $\rd c_1 $. Les points \`a l'infini de $(\Gamma)$ compl\'et\'ee projectivement sont 
les centres de ces deux paraboles, et cela explique que $(\Gamma)$ soit une hyperbole 
\'equilat\`ere. Une autre façon de voir cela est de consid\'erer les points cycliques $I$ et $J$ 
qui sont homologues dans l'involution de {\sc D\'esargues} que le faisceau des 
$(\rd{C}_{\lambda,\,\mu})$ induit sur la droite de l'infini.}\,]
%
\begin{center} {\bf\Large Partie III}
\end{center}
{\bf III.A.1} Si $C=a+\text{i}b$, un \'el\'ement \rd c de $\rd e_2$ a une \'equation cart\'esienne 
de la forme $$A(x^2+y^2)+2B(x^2-y^2)+2(ax+by)+D=0$$ Si $A=B=0$, alors $a,\,b$ et $D$ ne sont pas 
tous nuls et \rd c est inclus dans une droite, mais cela contredit l'hypoth\`ese que $M_1,\,M_2$ 
et $M_3$ ne sont pas align\'es. La forme des \'equations \mq{e} les axes de ces coniques sont 
parall\`eles aux axes de coordonn\'ees.\\\\
{\bf III.A.2a} Il est classique que l'inversibilit\'e de $\widetilde{\rd M}$ \'equivaut au 
non-alignement des points $M_1,\,M_2$ et~$M_3$. Cette matrice \'etant extraite de $\rd m$, on en 
conclut que le rang de cette derni\`ere est $\ge3$.\\
{\bf III.A.2b} Comme produit cart\'esien, $E$ est de dimension $5$ ; $S$ en est clairement un 
\sev. En outre, $S$ est l'\ev\ des solutions d'un syst\`eme lin\'eaire de trois \'equations 
ind\'ependantes \`a cinq inconnues, et donc dim\,$S=2$.\\
{\bf III.A.2c} Si rg$\rd m=3$, alors, vu {\bf III.A.2a}, la derni\`ere ligne de $\rd m$ est 
combinaison lin\'eaire des trois autres, et le r\'esultat s'ensuit. Si, inversement, $M_4$ 
appartient \`a toutes les coniques de $\rd e_2$, l'ensemble des $(A,\,B,\,C,\,D)\in S$ v\'erifiant 
de plus $$A\cj{z_4}z_4+B(z_4^2+\cj{z_4}^2)+\cj{C}z_4+C\cj{z_4}+D=0$$ est \'egal \`a $S$ et la 
discussion g\'en\'erale des syst\`emes lin\'eaires \mq{e} le membre de gauche de cette \'equation 
est combinaison lin\'eaire des $A\cj{z_i}z_i+B(z_i^2+\cj{z_i}^2)+\cj{C}z_i+C\cj{z_i}$, pour $1\le 
i\le3$. Donc, rg$\rd m\le3$ et on conclut alors.\enlargethispage{1\baselineskip}\\\\
{\bf III.B.1} Le seul cercle possible est le cercle circonscrit au triangle $M_1M_2M_3$ ; 
inversement, il a bien une \'equation de la forme souhait\'ee. Si $M_4$ est sur ce cercle, $z_4$ 
est de module $a$ et le reste suit.\\\\
{\bf III.B.2} On a tout de suite $\rd d=(z_1z_2z_3z_4-a^4)V(z_1,\,z_2,\,z_3,\,z_4)$.\\\\
{\bf III.B.3} Remarquer que la premi\`ere colonne de $\rd m$ est maintenant 
$^t(a^2,\,a^2,\,a^2,\,a^2)$, que $z_i^2+\cj{z_i}^2=\dfrac{z_i^4+a^4}{z_i^2}$ et que 
$\cj{z_i}=\dfrac{a^2}{z_i}$ pour tout $i$.\\\\
{\bf III.B.4a} Compte tenu du r\'esultat admis {\em supra} et de {\bf III.B.3}, les points 
appartenant \`a toutes les coniques de $\rd e_2$ sont $M_1,\,M_2,\,M_3$ et le point $M_4$ d'affixe 
$\dfrac{a^4}{z_1z_2z_3}$. Cela donne en g\'en\'eral quatre points distincts ; en revanche, on 
n'obtient que trois points si par exemple\vspace{2mm} $\dfrac{a^4}{z_1z_2z_3}=z_1$.\\
{\bf III.B.4b} La r\'eunion des droites $M_1M_2$ et $M_3M_4$ est une conique de $\rd e_2$, donc 
les bissectrices de ce couple sont parall\`eles aux axes. On peut l'\'etablir aussi en traduisant 
par des relations angulaires la formule $z_1z_2z_3z_4=a^4$.\\\\
{\bf III.C.1} On se ram\`ene \`a l'hypoth\`ese {\bf III.B} par translation de rep\`ere, la 
nouvelle origine \'etant le centre du cercle circonscrit au triangle $M_1M_2M_3$.\\\\
{\bf III.C.2} Par choix d'un rep\`ere orthonorm\'e {\em ad hoc}, on se ram\`ene au cas o\`u 
$\Delta=Ox$. Alors, vu notamment {\bf III.B.4b}, les droites consid\'er\'ees concourent en $M_4$ 
si on a pos\'e $(M_1,\,M_2,\,M_3)=(A,\,B,\,C)$.\\\\
%
\begin{center}
{\bf\Large Partie IV}
\end{center}
{\bf IV.A.1}  $\Phi$ est la rotation $R(O,\,\vartheta)$ ; $\Phi(\Gamma)$ a une \'equation de la 
forme $\cj{A}Z^2\text{e}^{-2\text{i}\vartheta}+A\cj{Z}^2\text{e}^{2\text{i}\vartheta}+\dots$ On 
choisit alors $\vartheta$ pour que $\jfrac{\cj{A}}{A}=\text{e}^{4\text{i}\vartheta}$ et on divise 
l'\'equation obtenue par un scalaire idoine.\\\\
{\bf IV.A.2} On reconna\^{\i}t l\`a l'\'equation d'une hyperbole \'equilat\`ere, \'eventuellement 
d\'eg\'en\'er\'ee.\\\\
{\bf IV.B} Comme en {\bf III.A}, on \mq{e} $M_4$ convient \ssi\ le rang de $\rd m\,'$ est \'egal 
\`a~$3$.\\\\
{\bf IV.C.1} Le couple $(u,\,v)=(z_1+z_2+z_3,\,z_2z_3+z_3z_1+z_1z_2)$ convient.\\\\
{\bf IV.C.2} Puisque les $z_i$ sont solutions de l'\'equation $\cj zz=a^2$, on peut prendre 
$\alpha=-u$, $\beta=v$, $\alpha'=-u$, et $\beta'=v/a^2$.\\\\
{\bf IV.C.3} $\rd m\,'$ a m\^eme rang que la matrice dont les lignes\vspace{1mm} sont les 
$(H_1(z_i),\,\cj{z_i}^2,\,H_2(z_i),\,\cj{z_i},\,1)$, avec $1\le i\le4$. Comme $H_j(z_i)=0$ pour 
$1\le i\le3,\,1\le j\le2$ et que det\,$\widetilde{\rd m}\neq0$, $\rd m\,'$ est de rang $3$ \ssi\ 
$H_1(z_4)=H_2(z_4)=0$.\\\\
{\bf IV.C.4a} Par exemple, le polyn\^ome\vspace{2mm} 
$\varpi_1(Z)=Z-u+\dfrac{v}{a^3}(Z^2-uZ+v)-\dfrac1{a^3}(Z^2-uZ+v)^2$ convient. On prendra donc
$\varpi(Z)=-a^3\varpi(Z)=Z^4-2uZ^3+\dots$\\
{\bf IV.C.4b} Les z\'eros sont d\'ej\`a $z_1,\,z_2$ et $z_3$. Le quatri\`eme est donc 
$z_1+z_2+z_3$. Ils sont simples \ssi\ on a $z_1+z_2+z_3\not\in\acco{z_1,\,z_2,\,z_3}$, \cad\ \ssi\ 
le triangle $M_1M_2M_3$ n'est pas rectangle.\\\\
{\bf IV.C.5a} $\scal{\fleche{M_1M_4}}{{\fleche{M_2M_3}}}=\Re\pare{(\cj{z_4-z_1})(z_3-z_2)}=0$, 
car $z_4-z_1=z_3+z_2$ notamment.\\
{\bf IV.C.5b} Cela montre que $M_4$ appartient \`a la hauteur issue de $M_1$ dans le triangle 
$M_1M_2M_3$. En \'ecrivant deux autres produits scalaires, on en d\'eduit que $M_4$ est 
l'orthocentre de ce triangle. [\,{\small\em Propri\'et\'e classique des hyperboles 
\'equilat\`eres.}\,]\\\\%\enlargethispage{3\baselineskip}\\\\
{\bf IV.D} On se ram\`ene \`a l'hypoth\`ese du {\bf IV.C} par une translation du rep\`ere, comme 
en {\bf III.C.1}, suivie d'une rotation d'icelui, aux fins d'obtenir $z_1z_2z_3=a^3$.\\\\ 
%
\begin{small}
Quel principe g\'en\'eral sous-tend ces trois exemples ? Les (\'equations de) coniques d'un plan 
affine forment un espace projectif de dimension $5$ et les ensembles dont traite l'\'enonc\'e en 
sont des droites projectives. Comme une droite est connue par la donn\'ee de deux points, \cad\ de 
deux (\'equations de) coniques $Eq_1$ et $Eq_2$, toutes les (\'equations de) coniques d'un tel 
ensemble sont des combinaisons lin\'eaires non nulles~: $\lambda_1Eq_1+\lambda_2Eq_2$ et ces 
coniques passent par les points du plan v\'erifiant $Eq_1$ {\bf et} $Eq_2$, de sorte qu'il y a au 
maximum quatre points communs \`a toutes les coniques des ensembles envisag\'es. Dans les exemples 
{\em supra}, on avait toujours la pr\'esence de trois points communs, d'o\`u l'existence d'un 
quatri\`eme. \`A noter aussi que les $\rd e_i$ sont des droites car toutes les conditions 
impos\'ees reviennent \`a quatre \'equations lin\'eaires ind\'ependantes ; par exemple, le fait 
pour une conique d'\^etre une hyperbole \'equilat\`ere fournit une condition (qui \'equivaut 
d'ailleurs \`a la conjugaison des points cycliques $I$ et $J$ par rapport \`a cette conique).
\end{small}
\end{document}
\begin{minipage}[h]{\textwidth}
%\begin{figure}[b]
\centering{\scalebox{1}[1]{\includegraphics*[scale=0.7]{ciss.eps}}}\setlength\unitlength{1cm} 
\put(-10,6){$(\gamma')$}\put(-9.2,4.25){$(\gamma)$}\put(-7.5,3.6){$O$}
%\end{figure}
\end{minipage}\vrule height8mm depth0mm width0mm\\\\ 
\begin{minipage}[h]{\textwidth}
%\begin{figure}[b]
\centering{\scalebox{1}[1]{\includegraphics*[scale=0.7]{faisc2.eps}}} 
\setlength\unitlength{1cm}\put(-11.5, 4.5) {$O$} \put(-8.7,9.2) {$M_0$} \put(-1,9.2) {$M'_0$} 
\put(-12.4,10.2) {$(\Gamma)$}\put(-4.7,4.5) {$M_1$}\put(-11.5,8.5) {$M_2$} \put(-9,6.7) 
{$M_3$}\put(-6.2,6.5) {$M'_3$}\put(-4.5,8.5) {$O''$}\put(-5.2,10.5) {$(C_1)$} 
\put(-3,6.6){$(C_{1,\,1})$}\put(-6.4,9.05) {$(C_{1,\,-1})$}\put(-7.6,6.7) {$O'$}\put(-2.6,10.6) 
{$(\Gamma)$}\put(-3,4.5) {\tiny Merci {\sc Cabri G\'eom\`etre}}
%\end{figure}
\end{minipage}
