%%%%%CORRIGE  MATHS BANQUE PT 2004 I-B m04dt3c

%%%%%r\'edig\'e par Lucien Sportisse, professeur en PT au Lyc\'ee Etienne Mimard \`a St-Etienne
%%%%%%lucien.sportisse@prepas.org

%%%%%% un dessin \`a la partie B utilise latexcad

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\everymath{\displaystyle}

\newcommand{\Ref}[1]{\ref{#1}, page \pageref{#1}}
\newcommand{\Refp}[1]{(\ref{#1}), page \pageref{#1}}


\newcommand{\be}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\ee}{\end{enumerate}}
\newcommand{\bi}{\begin{itemize}}
\newcommand{\ei}{\end{itemize}}


\renewcommand{\theenumi}{(\alph{enumi})}







\newcommand{\ie}{\dps{\leqslant}}
\newcommand{\se}{\dps{\geqslant}}
















\newcommand{\dps}{\displaystyle}







\newcommand{\somser}[3]{\dps{\sum\limits_{#1}^{#2} #3}}



\newcommand{\tend}[2]{\dps{\underset{#1\rightarrow #2}{\longrightarrow}}}
\newcommand{\Frac}[2]{\dps{\frac{#1}{#2}}}

\newcommand{\deffonc}[5]{\dps{#1 : \debac  #2\longrightarrow #3 \\ #4\longmapsto #5 \finac}}%%%%%%%%%D\'efinition d'une fonction%%%%%%%%%
\newcommand{\Lim}[2]{\underset{#1 \rightarrow #2}{\lim}}


\newcommand{\ov}[1]{\overrightarrow{#1}}%%%FLECHE VECTEUR

\newcommand{\e}{\operatorname{e}}
\newcommand{\NN}{{\displaystyle{\mathbb{N}}}}
\newcommand{\ZZ}{{\displaystyle{\mathbb{Z}}}}

\newcommand{\RR}{{\displaystyle{\mathbb{R}}}}
\newcommand{\DD}{{\displaystyle{\mathbb{D}}}}
\newcommand{\QQ}{{\displaystyle{\mathbb{Q}}}}

\newcommand{\CC}{{\displaystyle{\mathbb{C}}}}
\newcommand{\KK}{{\displaystyle{\mathbb{K}}}}
\newcommand{\RRb}{{\displaystyle{\overline{\mathbb{R}}}}}

%%%%%%%%%%%%MATRICES

\newcommand{\transposee}[1]{\,{\vphantom{#1}}^{\mathit t}{#1}}
\newcommand{\transp}{ A^{\rm T} }

\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\Vect}{\operatorname{Vect}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}










\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}



\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}



\def \impli{\Rightarrow}
\def \Impli {\Longrightarrow}

\def \equivo {\quad\Leftrightarrow\quad}
\def \Equivo {\quad\Longleftrightarrow\quad}




\newcommand{\ba}{\begin{array}{l c r }}
\newcommand{\ea}{\end{array}}

\newcommand{\debac}{\left \{ \ba}
\newcommand{\finac}{\ea \right.}




\newcommand{\creerlentete}[5]{%
#1\hfill #2\\ 
#3\\ [0.5cm]
\centerline{\bfseries #4}\\[0.4cm]
\\
\hrule

\ifthenelse {\not\equal{#5}{}}%
{\emph{#5} \vspace{0.2cm} \hrule }{}
\vspace{0.2cm}
}

\newcounter{NumeroProbleme}
\newcommand{\pb}{\begin{flushleft} \bfseries PROBLEME
\stepcounter{NumeroProbleme}
\Roman{NumeroProbleme}\\
\end{flushleft}
}

\newcounter{NumeroPartie}[NumeroProbleme]
\newcommand{\partie}{\begin{center}\bfseries  Partie
\stepcounter{NumeroPartie}
\Alph{NumeroPartie}\\
\end{center}
}

\newcounter{NumeroExo}[NumeroProbleme]

\newcommand{\exo}{
\stepcounter{NumeroExo}
\fbox{\arabic{NumeroExo} ) }
}

\setlength\parindent{0pt}


\begin{document}


\creerlentete{Concours PT}{2004}
{Maths}{PT I-B  }
{L'usage des calculatrices est interdit.}



\partie

\exo %%%q1

Soit $A=\bpm a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \epm$ et $B =\bpm b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \epm$ deux \'el\'ements de $S_2$.\\
$C=AB=\bpm c_{11} & c_{12} \\ c_{21}& c_{22} \epm$.  avec $c_{ij}= \somser{k=1}{2}{a_{ik}b_{kj}} \se 0$, \'evidemment.

\[\forall i=1,2,\, \somser{j=1}{2}{c_{ij}} =  \somser{j=1}{2}{           \somser{k=1}{2}{a_{ik}b_{kj}}  }=  \somser{k=1}{2}{\somser{j=1}{2}{  a_{ik}b_{kj}} 
}=\somser{k=1}{2}{ a_{ik} \left(   \underset{=1}{  \underbrace{  \somser{j=1}{2}{  b_{kj}} }}
     \right)} =\somser{k=1}{2}{ a_{ik}}=1
\]
Donc, $S_2$ est stable par le produit matriciel.

\exo%%%%q2

\be
\item
\[A^2=\bpm \Frac{4}{9} & \Frac{5}{9} \\ \Frac{5}{12} & \Frac{7}{12} \epm =aA+bI_2 \Impli  \debac \Frac{1}{3}a +b&=& \Frac{4}{9} \\
\Frac{2}{3} a &=& \Frac{5}{9} \finac \Equivo 
\debac a&=&\Frac{5}{6} \\ b&=& \Frac{1}{6} \finac\]
R\'ecoproquement, il est clair que $\boxed{ \Frac{5}{6} A+ \Frac{1}{6} I_2=A^2}$.

\item
En posant $a_1=1, b_1=0$, on a $A=a_1A+b_1I_2$. On a vu qu'en posant $a_2= \Frac{5}{6}, b_2=\Frac{1}{6}$ ,  $A^2=a_2A+b_2I_2$.\\
Faisons l'hypoth\`ese de r\'ecurrence, que pour $n\se 1$, $A^n=a_n A+b_nI_2$, alors :
\[A^{n+1}=A.A^n=a_n A^2+b_n A =a_n \left(\Frac{5}{6} A+ \Frac{1}{6} I_2 \right)+b_n A=\left(  \Frac{5}{6} a_n +b_n \right) A+\Frac{1}{6} a_n I_2\]
On vient de montrer la propri\'et\'e par r\'ecurrence.\\
\[\boxed{\forall n\se 1,\, A^n=a_n A+b_nI_2,\,\, \debac a_1&=& 1\\b_1&=& 0 \finac,\,  \debac a_{n+1}&=&  \Frac{5}{6} a_n +b_n  \\ b_{n+1}&=& \Frac{1}{6} a_n
\finac}\]
On constate :
\[\boxed{\forall n \se 1,\, a_{n+1}+b_{n+1}=a_n+b_n}\]
Donc \begin{math}  \boxed{(1)\,\,  \forall n \se 1,\, a_n+b_n=a_1+b_1=1} \end{math}.\\

\[
 \debac a_{n+1}&=&  \Frac{5}{6} a_n +b_n =  \Frac{5}{6} a_n +(1-a_n)= - \Frac{1}{6} a_n +1\\ b_{n+1}&=& \Frac{1}{6} a_n= \Frac{1}{6} (1-b_n)= -\Frac{1}{6} b_n +\Frac{1}{6}
\finac\]

\[\boxed{ \forall n \se 1,\, \debac a_{n+1}&=& -\Frac{1}{6} a_n +1\\ b_{n+1}&=& -\Frac{1}{6} b_n+\Frac{1}{6} \finac}\]
\item
\[\forall n \se 1,\,  a_{n+1}= -\Frac{1}{6} a_n +1 \Equivo a_{n+1}-l =-\Frac{1}{6} \left(a_n -l \right) \, \text{si}\, \boxed{l=\Frac{6}{7}}\]
La suite $(u_n=a_n -l)$ est g\'eom\'etrique de raison $q=-\Frac{1}{6}$. Donc :
\[\forall n\se 1,\, u_n=q^{n-1} u_1 \Impli \boxed{ \forall n \se 1,\, a_n=\Frac{6}{7}+\Frac{1}{7}\left(-\Frac{1}{6}\right)^{n-1} }\]
Comme $\forall n\se 1,\, b_n=1-a_n$, $\boxed{\forall n\se 1,\, b_n=\Frac{1}{7}+\Frac{1}{7}\left(-\Frac{1}{6}\right)^{n} }$.
\item

Clairement,  $\boxed{a_n\underset{n \to +\infty}{\rightarrow} \Frac{6}{7},\, b_n\underset{n \to +\infty}{\rightarrow} \Frac{1}{7 }}$.

Donc :
\[  A^n=a_n A+b_nI_2=\underset{n \to +\infty}{\rightarrow} \boxed{A^\infty=  \Frac{6}{7}A+ \Frac{1}{7} I_2=\bpm  \Frac{3}{7}& \Frac{4}{7}\\  \Frac{3}{7}& \Frac{4}{7}\\ 
 \epm \in S_2}\]
\ee


\exo%%%q 3

On pose $B=\bpm \Frac{2}{3} & \Frac{1}{3} & 0 \\ \Frac{3}{7} & \Frac{4}{7} & 0 \\ \Frac{2}{9} & \Frac{3}{9} & \Frac{4}{9} \epm$. 

\be

\item


Calculons le polyn\^ome caract\'eristique $\chi_b (\lambda))= \det(A-\lambda I_3 =\bvm  \Frac{2}{3} -\lambda & \Frac{1}{3} & 0 \\ \Frac{3}{7} & \Frac{4}{7}-\lambda & 0 \\ \Frac{2}{9} & \Frac{3}{9} & \Frac{4}{9}-\lambda \evm$. \\
On d\'eveloppe bien sur par rapport \`a la derni\`ere colonne :
\[\chi_B(\lambda)= \left(\Frac{4}{9} -\lambda \right) \left( \lambda^2-\Frac{26}{21} \lambda +\Frac{5}{21} \right)\]

Une racine \'evidente de $\lambda^2-\Frac{26}{21} \lambda +\Frac{5}{21}$ est bien s\^ur 1, l'autre vaut le produit des racines, i.e $\Frac{5}{21}$.
\[\boxed{\text{Les trois valeurs propres de }\, B\, \text{sont}\, \lambda_1=\frac{5}{21}<\lambda_2=\Frac{4}{9} < \lambda_3=1}\]



\item

La matrice $B$ a son polyn\^ome caract\'eristique scind\'e simple sur $\RR$. C'est une condition \textbf{suffisante} de diagonalisation de $B$. Les sous-espaces propres associ\'es sont des droites.\\
$B$ est donc semblable \`a la matrice diagonale $D=\bpm \Frac{5}{21} &0&0 \\0& \Frac{4}{9} & 0 \\ 0& 0 & 1 \epm$ de ses valeurs propres.


\item

Si on consid\`ere $E=\RR^3$, muni de sa base canonique $\mathcal{B}_c=(e_1,e_2,e_3)$, $B$ est dans cette base la matrice d'un endomorphisme $f$, diagonalisable d'apr\`es ce qui vient d'\^etre dit.\\
Les sous-espaces propres de $f$i sont les droites :\\
\fbox{\vbox{\begin{center}
$\operatorname{SEP}(\lambda_1)=\ker(f-\lambda_1 I_3)=\operatorname{Vect} \left(e'_1=\bpm 7\\-9\\7 \epm_{\mathcal{B}_c} \right)$\\
$\operatorname{SEP}(\lambda_1)=\ker(f-\lambda_2 I_3)=\operatorname{Vect} \left(e'_2=\bpm 0\\0\\1 \epm_{\mathcal{B}_c} \right)$\\
$\operatorname{SEP}(\lambda_1)=\ker(f-\lambda_3 I_3) =\operatorname{Vect} \left(e'_3=\bpm 1\\1\\1
 \epm_{\mathcal{B}_c} \right)$
\end{center}
}}
$\mathcal{B}'=(e'_1,e'_2,e'_3)$ est une base de vecteurs propres de $f$. $D=\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$.\\
Si on consid\`ere la matrice de passage de la base $\mathcal{B}_c$ \`a la base $\mathcal{B}'$ :
\[\boxed{P=\bordermatrix{&e'_1 &e'_2 &e'_3 \cr e_1& 7&0&1 \cr
e_2&-9&0&1 \cr
e_3&1&1&1},\,\, P^{-1}= \Frac{1}{16}\bpm 1&-1&0 \\10&-6&16 \\ 9&7&0\epm
}
\]
\[\boxed{B=\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}_c}(f)= PDP^{-1}\Impli \, (2)\, B^n=P D^n P^{-1} =P \bpm\left( \Frac{5}{21}\right)^n &0&0 \\0& \left(\Frac{4}{9}\right)^n & 0 \\ 0& 0 & 1 \epm P^{-1} }\]
\[\boxed{(3)\,\, B^n=
\bpm \Frac{5}{16}\left(\Frac{5}{21}\right)^n +\Frac{9}{16} &-\Frac{7}{16}\left(\Frac{5}{21}\right)^n +\Frac{7}{16}& 0 \\
-\Frac{9}{16}\left(\Frac{5}{21}\right)^n +\Frac{9}{16}&\Frac{9}{16}\left(\Frac{5}{21}\right)^n +\Frac{7}{16}&0\\
\Frac{1}{16}\left(\Frac{5}{21}\right)^n-\Frac{5}{8}\left(\Frac{4}{9}\right)^n  +\Frac{9}{16}&
-\Frac{1}{16}\left(\Frac{5}{21}\right)^n-\Frac{3}{8}\left(\Frac{4}{9}\right)^n  +\Frac{7}{16}&\left(\Frac{4}{9}\right)^n 
\epm
}\]


\item

La formule (2)  montre que $(B^n)$ a une limite $B^\infty$ :
\[\boxed{B^\infty =P D^\infty P^{-1},\, D^\infty =\bpm 0&0&0 \\0&0&0 \\0&0&1 \epm}\]
$B^\infty$ est donn\'ee par la formule (3) :
\[\boxed{B^\infty =\Frac{1}{16} \bpm 9&7&0\\9&7&0 \\9&7&0\epm \in S_3,\, \text{clairement}}\]
\ee


\exo %%% q4


On pose $C=\bpm \Frac{1}{2}&\Frac{1}{2} &0 \\0&\Frac{1}{2}&\Frac{1}{2} \\0&0&1 \epm,\, J=\bpm 0&1&0\\0&0&1\\0&0&1\epm$.


\be

\item


Les valeurs propres de la matrice triangulaire $C$ sont ses \'el\'ements diagonaux : $\Frac{1}{2}$, d'ordre de multiplicit\'e 2, et 1 valeur propre simple.

\item

\[\boxed{\forall n\se 2,\, J^n=K=\bpm 0&0&1\\ 0&0&1\\0&0&1 \epm}\]

\item

\[\boxed{C=\Frac{1}{2} (I_3+J)}\]
Comme la matrice identit\'e $I_3$ commute avec toute matrice, donc avec $J$, on peut appliquer la formule du bin\^ome de Newton :
\[\forall n\se 2,\, C^n=\left(\Frac{1}{2} \right)^n \somser{k=0}{n}{\operatorname{C}_n^k J^k I_3^{n-k}}=
\left(\Frac{1}{2} \right)^n \somser{k=0}{n}{\operatorname{C}_n^k J^k }=\left(\Frac{1}{2} \right)^n \left(
I_3+nJ +\somser{k=2}{n}{\operatorname{C}_n^k} K
\right)
\]
Comme $ \somser{k=0}{n}{\operatorname{C}_n^k }=2^n$, on a  :
\[\boxed{(4)\,\,C^n=\left(\Frac{1}{2} \right)^n  \left(I_3+nJ+(2^n-n-1) K
\right)=
\left(\Frac{1}{2} \right)^n
\bpm
1&n&2^n-n-1 \\
0&1&2^n-1 \\
0&0&2^n
\epm
}\]


\item

La formule (3) montre que :
\[\boxed{C^n \underset{n\to +\infty}{\rightarrow} K=\bpm 0&0&1\\ 0&0&1\\0&0&1 \epm \in S_3}\]

\ee


\vskip 5mm
\hrule
\vskip 5mm

\partie

\setcounter{NumeroExo}{0}

\exo %%%q1

Soit $A =[a_{ij}] \in \mathcal{M}_r(\RR)$, $B=[b_{ij}] \in \mathcal{M}_r(\RR)$. Posons $C=AB=[c_{ij}]$.
\[\forall (i,j)\in \{1,\ldots,r\}^2,\, c_{ij}=\somser{k=1}{r}{a_{ik}b_{kj}}\]
Donc, si $A\in S_r$ et $B\in S_r$, il est clair que $C$ est \`a \'el\'ements positifs ou nuls.
\\
Si $A\in S_r^*$ et $B\in S_r^*$, il est clair que $C$ est \`a \'el\'ements strictement positifs. De plus :
\[\forall i\in \{1,\ldots,r\},\, \somser{j=1}{r}{c_{ij}}= \somser{j=1}{r}{\left(\somser{k=1}{r}{a_{ik}b_{kj}}
\right)}=\somser{k=1}{r}{\left( a_{ik} \underset{=1}{\underbrace{\somser{j=1}{r}{b_{kj}}}
}
\right)}=\somser{k=1}{r}{a_{ik}}=1
 \]
On a permut\'e l'ordre des sommations finies, ce qui traduit la distributivit\'e de la multiplication par rapport \`a l'addition.\\
Ceci  prouve la stabilit\'e de $S_r$ et de $S_r^*$ par le produit matriciel.

\exo%%%q2


\be

\item


Une r\'ecurrence simple, utilisant la stabilit\'e par multiplication de $S_r$, \'etablirait que si $A$ est une matrice stochastique,  alors, quel que soit $n$ entier naturel non nul,  $A^n$ est  aussi une matrice stochastique.

\item

Si $A$ est une matrice stochastique :
\[A \bpm 1\\ \vdots \\ 1 \epm = \bpm \somser{j=1}{r}{a_{1j}} \\ \vdots \\ \somser{j=1}{r}{a_{rj}} \epm =\bpm 1\\ \vdots \\ 1 \epm=1 \times \bpm 1\\ \vdots \\ 1 \epm\]
On a montr\'e que  1 est valeur propre de $A$, un vecteur propre associ\'e \'etant $\bpm 1\\ \vdots \\ 1 \epm$.

\item

On suppose que $A^\infty$ existe, comme limite donc de la suite de matrices $(A^n)$. On a :
\[\forall (i,j)\in \{1,\ldots,r\}^2,\, a_{ij}^\infty=\underset{n\to +\infty}{\operatorname{lim}} \underset{\se 0}{\underbrace{{a_{ij}^{(n)}}} } \se 0\]

De plus :
\[\forall i\in \{1,\ldots,r\},\, \somser{j=1}{r}{a_{ij}^\infty}=\somser{j=1}{r}{ \underset{n\to +\infty}{\operatorname{lim}} a_{ij}^{(n)}}=\underset{n\to +\infty}{\operatorname{lim}} \underset{=1}{\underbrace{\somser{j=1}{r}{a_{ij}^{(n)}}}}=1\]
On a utilis\'e la question B-2-(a) et montr\'e ainsi que la limite \'eventuelle $A^\infty$ de la suite des puissances d'une matrice stochastique est aussi stochastique.

On a bien s\^ur :
\[A^{n+1}=A A^n =A^nA\]
Traduisons la premi\`ere \'egalit\'e sur le terme g\'en\'eral :
\[\forall (i,j)\in \{1,\ldots,r\}^2,\, a_{ij}^{(n+1)} =\somser{k=1}{r}{ a_{ik} a_{kj}^{(n)} }\]
Si on passe \`a la limite pour $n \to +\infty$ dans cette \'egalit\'e, on obtient :
\[\forall (i,j)\in \{1,\ldots,r\}^2,\,  a_{ij}^{\infty} =\somser{k=1}{r}{ a_{ik} a_{kj}^{\infty} }\]
Ce qui traduit $A^\infty =A A^\infty$.  En utilisant $A^{n+1}= A^n A$, on obtiendrait de m\^eme $A^\infty =A^\infty A$.

\ee



\exo%%%q3


Soit $M =[m_{ij}]$, une matrice \`a diagonale strictement dominante. \\
Supposons qu'il existe $X=\bpm x_1\\ \vdots \\ x_r  \epm \in \mathcal{M}_{r,1}(\RR),\, X\not=0$, tel que $MX=0$.\\
Il existe donc $i_0\in \{1,\ldots,r\}$, tel que $|x_{i_0}|=\underset{1\ie j\ie r}{\max} |x_j|$. Comme $X\not=0$, n\'ecessairement $|x_{i_0}|>0$.
\\
Prenons la $i_0-$i\`eme composante de l'\'egalit\'e $MX=0$ :
\[\somser{j=1}{r}{m_{i_0 j} x_j}=0\Equivo m_{i_0 j} x_{i_0} = - \somser{j\not=i_0}{}{m_{i_0 j} x_j} \]
Si on utilise la valeur absolue :
\[|m_{i_0 j} x_{i_0} | \ie  \somser{j\not=i_0}{}{| m_{i_0 j} x_j  |} \Equivo 
|m_{i_0 j}|\, | x_{i_0} | \ie  \somser{j\not=i_0}{}{| m_{i_0 j}|\, | x_j  |}
\]
En divisant par $|x_{i_0}|>0$, on obtient :
\[|a_{i_0i_0}|\ie \somser{j\not=i_0}{}{|a_{i_0j}| \, \overset{\ie 1}{\overbrace{\Frac{|x_j|}{|x_{i_0} |}}
}}
\ie \somser{j\not=i_0}{}{|a_{i_0j}| }
\]

Or $|a_{i_0i_0}|\ie  \somser{j\not=i_0}{}{|a_{i_0j}| }$ contredit l'hypoth\`ese que $M$ est une matrice \`a diagonale strictement dominante. \\
Donc, si $M$ est une matrice \`a diagonale strictement dominante :
\[MX=0\Impli X=0\]
Ainsi $\ker M=\{0\}$.\\
Ce qui \'equivaut \`a dire que \fbox{toute matrice \`a diagonale strictement dominante est inversible.}\\
La contrapos\'ee sera utilis\'ee :\\
 \fbox{Si une matrice carr\'ee n'est pas inversible, elle n'est pas \`a diagonale strictement dominante.}




\exo%%%q4

On consid\`ere $A=[a_{ij}]\in S_r^*$. On pose $B=A-I_r$.   La matrice carr\'ee $C$ obtenue en supprimant les derni\`ere ligne et colonne de $B$ est d'ordre $(r-1)$.
\be


\item


\[C=\bpm a_{1,1}-1 & \ldots & a_{1,r-1}\\
\vdots & & \vdots \\ a_{r-1,1} & \ldots & a_{r-1,r-1}-1 \epm\]
\[\forall i \in \{1,\ldots,(r-1)\},\, |c_{ii}|=|a_{ii}-1|=1-a_{ii}= \somser{j=1..r,\, j\not=i}{}{a_{ij}} \underset{a_{ir}>0}{>} \somser{{ \tiny \debac j=1..(r-1) \\ j\not=i  \finac }}{}{a_{ij}} =\somser{{ \tiny \debac j=1..(r-1) \\ j\not=i  \finac }}{}{|c_{ij}| }\]
On a montr\'e  que \fbox{$C$ est \`a diagonale strictement dominante.}


\item


Nous avons vu \`a la question B-2-(b) que, si $A \in S_r$, elle admet 1 pour valeur propre et que le vecteur $U=\bpm 1\\ \vdots \\ 1\epm \in \mathcal{M}_{r,1}(\RR)$ est un vecteur propre pour 1.\\
On va montrer, dans le cas o\`u $A\in S_r^*$, le sous-espace propre associ\'e \`a 1 est une droite, dirig\'ee donc par $U$.\\


\textbf{Deux preuves diff\'erentes :}
\\
\textbf{Premi\`ere preuve}\\
Notons $(B_1,\ldots, B_{r-1}, B_r)$ les colonnes de $B=A-I_r$. Notons $(C_1, \ldots,C_{r-1})$ les colonnes de $C$. 
\[B_1 =\bpm C_1 \\ a_{r,1} \epm,\, \ldots, B_{r-1} =\bpm C_{r-1}\\ a_{r,r-1} \epm\]
Comme $C$ est \`a diagonale strictement dominante, elle est inversible, d'apr\`es la question B-3. Son rang est donc $(r-1)$. Ses vecteurs colonnes sont donc libres.\\
Montrons que $(B_1,\ldots, B_{r-1})$ sont libres :
\[\somser{j=1}{r-1}{ \lambda_j B_j}= 0\Impli \somser{j=1}{r-1}{ \lambda_j C_j} =0  
\underset{  \text{les}\, C_j\, \text{sont libres}  }{\Impli}
 \forall j=1..(r-1),\, \lambda_j=0\]
c.q.f.d. \\
Le rang de $B=A-I_r$ est donc sup\'erieur ou \'egal \`a $(r-1)$.
D'apr\`es la formule du rang :
\[r=\rg A +\dim \ker (A-I_r) \Impli \dim (\ker (A-I_r)= \operatorname{SEP}(1)  \ie 1\]
Or $1$ est valeur propre de $A$. Donc $\dim \operatorname{SEP}(1)  \se 1$.
En conclusion :
\[\boxed{\dim \operatorname{SEP}(1)  =1  }\]
$\operatorname{SEP}(1) $ est la droite dirig\'ee par  $U=\bpm 1\\ \vdots \\ 1\epm$.
\\

\textbf{Deuxi\`eme preuve}\\

Soit $X=\bpm x_1\\ \vdots \\x_r \epm \in \mathcal{M}_{r,1}(\RR)$ v\'erifiant :
\[AX= X \Equivo BX=0 \Equivo 
\debac (a_{1,1}-1) x_1 +\ldots+a_{1,r-1} x_{r-1} &=&-a_{1,r} x_r \\
\ldots&\ldots &\ldots \\
a_{r-1,1}x_1+\ldots +(a_{r-1,r-1}-1)x_{r-1}&=&-a_{r-1,r} x_r\\
a_{r,1}x_1+\ldots +a_{r,r-1}x_{r-1}&=&-(a_{r,r}1) x_r
\finac\]


Si on consid\`ere seulement les $(r-1)$ premi\`eres \'equations de ce syst\`eme , $X$ v\'erifie n\'ecessairement :
\[C \bpm x_1 \\ \vdots \\ x_{r-1} \epm =-x_r \bpm a_{1,r} \\ \vdots \\ a_{r-1,r}\epm\]
Or, $C$ est \`a diagonale strictement dominante, donc inversible, d'apr\`es la question B-3. Donc, si $AX=1\times X$, n\'ecessairement :
\[ \bpm x_1 \\ \vdots \\ x_{r-1} \epm =-x_r C^{-1} \bpm a_{1,r} \\ \vdots \\ a_{r-1,r}\epm\]
Posons $ C^{-1} \bpm a_{1,r} \\ \vdots \\ a_{r-1,r}\epm=\bpm b_1 \\ \vdots \\ b_{r-1} \epm$. On vient de montrer que tout vecteur  $X=\bpm x_1\\ \vdots \\x_r \epm \in \mathcal{M}_{n,1}(\RR)$ tel que $AX=1\times X$ v\'erifie n\'ecessairement :
\[X=\bpm x_1\\ \vdots \\x_r \epm  =-x_r \bpm b_1 \\ \vdots \\ b_{r-1} \\-1 \epm\]
Ce qui prouve que :\\
\fbox{\vbox{Le sous-espace propre $\operatorname{SEP}(1)$ d'une matrice $A\in S_r^*$ est de dimension 1 : c'est la droite dirig\'ee par $U=\bpm 1\\ \vdots \\ 1\epm \in \mathcal{M}_{n,1}(\RR)$.}}


\item


\textbf{Nous traitons la premi\`ere partie de cette question dans le cas g\'en\'eral d'une matrice stochastique, pas n\'ecessairement au sens strict}.\\ 
 $\lambda \in \CC$ est  valeur propre de $A\in S_r $ si et seulement si il  existe  $X=\bpm x_1\\ \vdots \\x_r \epm \in \mathcal{M}_{r,1}(\RR),\, \boxed{X\not=0}$ tel que  $ AX=\lambda . X $ . Ce qui \'equivaut \`a \'ecrire qu' il existe $X\not=0$, tel que $(A-\lambda.I_r).X =0$, i.e $(A-\lambda. I_r)$ n'est pas inversible.\\
La contrapos\'ee de la proposition cit\'ee \`a la question B-3 nous apprend donc, que si $\lambda$ est valeur propre de $A $, alors n\'ecessairement, $A-\lambda.I_r$ n'est pas \`a diagonale strictement dominante :
\[\exists i\in \{1,\ldots,r\},\, |a_{ii}-\lambda|\ie \somser{j\not=i}{}{|a_{ij}|} = \somser{j\not=i}{}{a_{ij}}  =1-a_{ii}\]
Ce qui implique $|\lambda|-|a_{ii}| \ie|\lambda -a_{ii}| \ie 1-a_{ii}\Impli \lambda \ie 1$. \\
Donc \fbox{Les valeurs propres de $A\in S_r$ sont de module inf\'erieur ou \'egal \`a 1.}
\\
\textbf{Pla\c{c}ons-nous dans le cas o\`u la matrice est stochastique stricte.}\\

\textbf{Deux preuves diff\'erentes} :

\textbf{Premi\`ere preuve}.\\
L'in\'egalit\'e d\'emontr\'ee nous apprend aussi que l'ensemble $\operatorname{Sp}(A)$ des valeurs propres de $A$ v\'erifie :
\[\operatorname{Sp}(A) \subset \underset{i=1..r}{\cup} B_i(a_{ii},r_i =1-a_{ii}) \]
$B_i(a_{ii},r_i =1-a_{ii}) $ d\'esigne la boule ouverte du plan complexe de centre $a_{ii}\in ]0,1[ $, de rayon \\
$r_i =1-a_{ii} \in ]0,1[$.\\
\fbox{\vbox{Le dessin illustre le fait que le nombre 1 est la seule valeur propre de module \'egal \`a 1 de $A\in S_r^* $. Les autres valeurs propres sont de module strictement inf\'erieur \`a 1.}}

\placedrawing[h]{m04dt3fb.tex}{Valeurs propres de $A\in S_r^*$}{}

\textbf{Deuxi\`eme  preuve}.\\
Si $\lambda$ est de module 1, et diff\'erente de 1 $\lambda=\operatorname{e}^{\operatorname{i} \theta},\, \cos \theta < 1$. \\

\begin{multline*}
|\lambda -a_{ii}|^2=|(\cos \theta-a_{ii})+\operatorname{i} \sin \theta|^2=\\
(\cos \theta-a_{ii})^2+\sin^2\theta=
1+a_{ii}^2-2a_{ii} \cos \theta  \underset{- a_{ii} \cos \theta >-a_{ii}}{>} 1+a_{ii}^2-2a_{ii}=(1-a_{ii})^2
\end{multline*}
Ce qui est contadictoire avec l'in\'egalit\'e :
\[|\lambda -a_{ii}| \ie 1-a_{ii}
\]
Donc :\\
\fbox{\vbox{si $A \in S_r^*$, 1 est la seule valeur propre de module 1, les autres sont de module strictement inf\'erieur \`a 1.}}



\ee



\exo%%q5

On a vu \`a la question B-4-(c) que \fbox{les valeurs propres de $A\in S_r$ sont de module inf\'erieur ou \'egal \`a 1.}\\
Le d\'eterminant est le produit des racines dans $\CC$ du polyn\^ome caract\'eristique de $A$, i.e ici les valeurs propres ; il est donc inf\'erieur ou \'egal \`a1. 



\exo%%%q6

Montrons par r\'ecurrence sur $r$, que, pour toute matrice $M=[m_{ij}] \in \mathcal{M}_r(\RR)$, telle que :
\[ (\mathcal{P})\, \forall (i,j)\in \NN_r^2,\, m_{ij}\in ]0,1[ \, \text{et}\, \forall i\in \NN_r,\, \somser{j=1}{r}{a_{ij} }\ie 1\]
on a $|\det M|<1$.\\
Pour $r=1$, la propri\'et\'e est claire, le d\'eterminant d'une matrice carr\'ee d'ordre 1 \'etant \'egal \`a son unique coefficient.
\\Faisons l'hypoth\`ese de r\'ecurrence : toute matrice d'ordre $r-1$, dont tous les termes sont strictement compris entre 0 et 1 dont la somme des termes de chaque ligne est inf\'erieure ou \'egale \`a 1 a son d\'eterminant en module strictement inf\'erieur \`a 1.
Soit $M=[m_{ij}] \in \mathcal{M}_r(\RR)$ v\'erifiant la propri\'et\'e $(\mathcal{P})$. Il est clair que tous les sous-matrices carr\'ees d'ordre $(r-1)$ v\'erifient aussi $(\mathcal{P})$. d\'eveloppons le d\'eterminant de $M$ par rapport \`a la premi\`ere ligne :
\[\det M=\somser{j=1}{r}{a_{1j} (-1)^{1+j} D_{1j}}\]
Les $D_{1j}$ \'etant des d\'eterminants de sous-matrices carr\'ees d'ordre $(r-1)$  de $A$ v\'erifient, d'apr\`es l'hypoth\`ese de r\'ecurrence :$ \forall j\in \NN_r,\, |D_{1j}|<1$.  Comme les $a_{1j}$ sont strictement positifs :
\[|\det M| \ie \somser{j=1}{r}{a_{1j} |D_{1j}|}< \somser{j=1}{r}{a_{1j} }\ie 1 \Impli |\det M| <1\]
On a montr\'e  par r\'ecurrence sur $r$, que, pour toute matrice $M=[m_{ij}] \in \mathcal{M}_r(\RR)$, telle que :
\[ (\mathcal{P})\, \forall (i,j)\in \NN_r^2,\, m_{ij}\in ]0,1[ \, \text{et}\, \forall i\in \NN_r,\, \somser{j=1}{r}{a_{ij} }\ie 1\]
on a $|\det M|<1$.\\
C'est le cas en pariculier pour une matrice stochastique stricte qui, \'evidemment, v\'erifie la propri\'et\'e $(\mathcal{P})$.\\
\[\boxed{A\in S_r^* \Impli |\det M|<1}\]


\exo%%q7

\be

\item

Soit $A=[a_{ij}] \in S_r^*$. Les coefficients ont un minimum $\alpha >0$. Soit $\varepsilon=\min(\alpha,\Frac{1}{4})$. Evidemment $\varepsilon \in ]0,\Frac{1}{2}[$ et $\forall (i,j)\in \NN_r^2,\, a_{ij} \se \varepsilon$.


\item
Comme $A^{n+1}=A A^n$, alors :
\[\forall (i,j)\in \NN_r^2,\, a_{ij}^{(n+1)}=\somser{k=1}{r}{a_{ik}a_{kj}^{(n)}}\]

\item


On va s'appuyer dans toute cette question sur le fait que, quel que soit $j\in \NN_r$, il existe $i\in \NN_r$ tel que $\alpha_j^{(n)} =a_{ij}^{(n)}$ et $i'\in \NN_r$ tel que $\beta_j^{(n)}=a_{i'j}^{(n)}$ .\\
Comme $\forall i\in \NN_r,\, \somser{k=1}{r}{a_{ik  }}=1$, on peut \'ecrire :

\[a_{ij}^{(n+1)} -\alpha_j^{(n)}=\somser{k=1}{r}{  \underset{\se \varepsilon}{a_{ik}}  \underset{\se 0}{\underbrace{\left(a_{kj}^{(n)}-\alpha_j^{(n)}   \right) }} }\se \varepsilon 
\somser{k=1}{r}{   \underset{\se 0}{\underbrace{\left(a_{kj}^{(n)}-\alpha_j^{(n)}   \right) }} }
\]
Cette somme de termes positifs est sup\'erieure ou \'egale \`a chacun de ses termes. En particulier :
\[a_{ij}^{(n+1)} -\alpha_j^{(n)} \se \varepsilon (\beta_j^{(n)}-\alpha_j^{(n)} )=\varepsilon \gamma_j^{(n)}\]
De m\^eme :
\[\beta_j^{(n)}- a_{ij}^{(n+1)}=\somser{k=1}{r}{\underset{\se 0}{a_{ik}}  \underset{\se 0}{\underbrace{ \left(\beta_j^{(n+1)} -a_{kj}^{(n)}\right) }   }}
\se \varepsilon  \somser{k=1}{r}{  \underset{\se 0}{\underbrace{ \left(\beta_j^{(n+1)} -a_{kj}^{(n)}\right) }}}
 \]
Cette somme de termes positifs est sup\'erieure ou \'egale \`a chacun de ses termes. En particulier :

\[\beta_j^{(n)}- a_{ij}^{(n+1)} \se \varepsilon ( \beta_j^{(n)} -\alpha_j^{(n)} )=\varepsilon \gamma_j^{(n)}\]

\item


Soit $j\in \NN_r$. 
\[ \forall i \in \NN_r,\,  \debac a_{ij}^{(n+1)} -\alpha_j^{(n)} \\
\beta_j^{(n)}- a_{ij}^{(n+1)}  \finac 
\se \varepsilon \gamma_j^{(n)} \se 0 \underset{\text{en particulier}}{\Impli}  \debac  \alpha_j^{(n+1)} -\alpha_j^{(n)} \\ \beta_j^{(n)}- \beta_j^{(n+1)} 
\finac  \se  \varepsilon \gamma_j^{(n)}
 \se 0 \Impli  \debac \alpha_j^{(n)} \ie \alpha_{j}^{(n+1)} \\
\beta_j^{(n+1)} \ie \beta_j^{(n)} \finac
\]
D'o\`u :
\[\boxed{ \alpha_j^{(n)} \ie \alpha_j^{(n+1)} \ie  \beta_j^{(n+1)} \ie  \beta_j^{(n)}
}\]
Et, par addition :
\[ (  \alpha_j^{(n+1)} -\alpha_j^{(n)} )+(   \beta_j^{(n)}- \beta_j^{(n+1)} 
 ) \se 2 \varepsilon \gamma_j^{(n)} \Impli  -  \gamma_j^{(n+1)} +\gamma_j^{(n)} \se 2 \varepsilon \gamma_j^{(n)} \]
D'o\`u :
\[\boxed{  \varepsilon \gamma_j^{(n+1)} \ie  \varepsilon \gamma_j^{(n)} (1-2\varepsilon )}\]


\item

Posons $q =1-2\varepsilon  \in ]0,1[$. par une r\'ecurrence claire, on trouve :
\[\forall n \se 1,\, 0\ie \beta_j^{(n)}-\alpha_j^{(n)} = \gamma_j^{(n) } \ie q^{(n-1)} \gamma_j^{(1)} \overset{|q|<1}{ \underset{ n \to +\infty }{ \longrightarrow}     }0\]
\[\boxed{ \gamma_j^{(n) } \underset{ n \to +\infty }{ \longrightarrow} 0  }\]
Comme $ \alpha_j^{(n)}= \beta_j^{(n)}-\alpha_j^{(n)}  \underset{ n \to +\infty }{ \longrightarrow}0 $ et que $\alpha_j^{(n)} \ie \alpha_j^{(n+1)} \ie  \beta_j^{(n+1)} \ie  \beta_j^{(n)}$, le th\'eor\`eme des suites adjacentes permet de conclure :\\
\fbox{\vbox{Les suites adjacentes $(\alpha_j^{(n)}) $ et $(\beta_j^{(n)})$ convergent et ont la m\^eme limite. Donc, quel que soit $j\in \NN_r$, toutes les suites $(a_{ij}^{(n)}  ),\, i=1..r$ convergent vers la m\^eme limite $l_j \se 0$. }}
\[ A^n  \underset{ n \to +\infty }{ \longrightarrow} A^\infty =\bpm l_1 & \ldots & l_r \\ \ldots &\ldots& \ldots \\
l_1&\ldots& l_r \epm\]
Notons que \fbox{les lignes de $A^\infty$ sont identiques.}
\\
D'apr\`es la question B-2-(c), la matrice $A^\infty$ est stochastique. Donc $l_1+\ldots +l_r =1$.

\ee

\exo%%%q8

$r=3$.
\[A=\bpm \Frac{1}{5}& \Frac{2}{5}& \Frac{2}{5} \\   \Frac{2}{5}& \Frac{1}{5} &  \Frac{2}{5} \\   \Frac{2}{5}& \Frac{2}{5}& \Frac{1}{5} \epm\]
La matrice est bien \'el\'ement de $S_3^*$. $A\infty $ existe et elle est stochastique. Ses lignes sont \'egales.
\\Ici, $\transposee{A} \in S_3^*$ aussi, donc $(\transposee{A}^\infty$ existe, est stochastique et ses lignes sont identiques.\\
Or, \'evidemment $ (\transposee{A})^\infty= (\transposee{(A^\infty)}$.\\
Donc, les  colonnes de $A^\infty$ sont identiques :
\[A^\infty = \bpm l_1 &l_1 & l_1 \\
l_2&l_2&l_2 \\
l_3&l_3&l_3 \epm\]
Comme elle est stochastique $ 3l_1=3l_2=3l_3=1$. Ainsi :
\[\boxed{A^\infty =\Frac{1}{3} \bpm 1&1&1  \\  1&1&1 \\  1&1&1 \epm  }\]
Par ailleurs, le polyn\^ome caract\'eristique de $A$ est $\chi_A(\lambda)= (1-\lambda)(\lambda +{ 1 \over 5} )^2$.
\\
$A$ admet 1  et $-{ 1\over 5}$, de module strictement inf\'erieur \`a 1,  pour valeurs propres. 



\vskip 10mm
\hrule














\end{document}
