\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsfonts}

% pour les ?
%\usepackage[applemac]{inputenc} %pour les mac

%on d\'efinit les polices pour les ensembles usuels
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\I}{\mathbb{I}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}% d droit
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
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%mise en page
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%
%macros perso
%
%
\def \dr {{\mathbb R}}
\def \drp {{\dr ^+}}
\def \drep {{\dr}_{\ast}^+}
\def \dn {{\mathbb N} }
\def\cl#1{{\cal C}^{#1}}
\def \lam{\lambda}\def \lam{\lambda}
\def \al{\alpha}
\def\e{{\rm e}}
\def\ph{\varphi}
\def \E{{\cal{ E}}}
\let\ssi=\Longleftrightarrow
% Op\'erateur Vect (sev engendr\'e)
\def \Vect{\mathop{\rm Vect}\nolimits}
%% Plus et moins l'infini
%
\def \pf{{+\infty}}
\def \mf{{-\infty}}
%
%%%----LIMITES------
%%%%%Limites
\let\ten=\rightarrow
\def \limF#1#2{{\displaystyle \lim_{#1 \ten #2}}\,}
\def \vers#1{\build{\longrightarrow}_{#1}^{}}

%
\def\quot#1#2{\mathchoice
{\vbox{\hbox{$\displaystyle #1$}\kern -.5ex}%
\over
\vbox{\kern 0pt\hbox{$\displaystyle #2$}}%
}%
{\vbox{\hbox{$\displaystyle #1$}\kern .25ex}%
\over
\vbox{\kern .5ex\hbox{$\displaystyle #2$}}%
}%
{#1/#2}%
{#1/#2}%
}
%
%%%% VALEUR ABSOLUE
\def\abs#1{\left\vert\, #1\,\right\vert}
%%-------INTERVALLES------
% Les intervalles
%
\newcommand{ \seg}[2]{[ #1,#2 ]}         % segment [#1,#2]
\newcommand{ \ouv}[2]{]\, #1,#2 \,[}         % intervalle ]#1,#2[
\newcommand{\intof}[2]{]\, #1,#2 \,]}       % intervalle ]#1,#2]
\newcommand{ \intfo}[2]{[\, #1,#2 \,[}       % intervalle [#1,#2[
\newcommand{\segN}[2]{{[\![#1,#2]\!]}}    % segment [#1,#2] dans \dn
%
%
%%%%%-------INTEGRALES---------
\def \Integ#1#2#3#4{{\displaystyle\int_{#1}^{#2}} #4\,{\rm d}{#3}}
%   la m\^eme, avec un petie signe me en textstyle, un grand signe
%   en displaystyle
\def \integ#1#2#3#4{\int_{#1}^{#2} #4\,{\rm d}{#3}}
% - int\'egrale (sur #1) #3 d#2
%   avec un grand signe me m\^eme en textstyle
\def \INTEG#1#2#3{{\displaystyle\int_{#1}} #3\,{\rm d}{#2}}
%   la m\^eme avec petit signe somme en textstyle, grand en displaystyle
\def \InTeg#1#2#3{\int_{#1} #3\,{\rm d}{#2}}
%---int\'egrale sur I de f
\def\intg#1#2{{\displaystyle\int_{#1}}\, #2}
\def\intG#1#2#3{{\displaystyle\int_{#1}^{#2}}\,#3}
%
% Num\'erotation en gras type RMS
\def \noa#1{{\bf #1.}}
\def \nob#1#2{{\bf {#1}.{#2}.}}
\def \noc#1#2#3{{\bf #1.#2.#3.}}
%
%encadrer
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{cadre}[2][14cm]
{\begin{lrbox}{\maboite}\begin{minipage}{#1}{#2}}
{\end{minipage}\end{lrbox}\setlength{\fboxsep}{3mm}\fbox{\usebox{\maboite}}}
%
%fin des macros perso
%
\begin{document}
\begin{center}
\fbox{Corrig\'e AIR PC PSI 2004}%\hfill{remi.coutens@prepas.org}
\end{center}
%\section{Partie  A}
\textbf{Partie A}

\textbf{A 1)} De 
$A=\begin{pmatrix}8&-1&-5\\
-2&3&1\\
4&-1&-1\end{pmatrix}$ on obtient $A-2I=\begin{pmatrix}6&-1&-5\\
-2&1&1\\
4&-1&-3\end{pmatrix}$
.\par
Par exemple avec $L_{1}\leftrightarrow L_{2}$ puis $L_{2}\leftarrow L_{2}+3L_{1}$ et $L_{3}\leftarrow L_{3}+2L_{1}$, on obtient 
$\begin{pmatrix}-2&1&1\\
0&2&-2\\
0&1&-1\end{pmatrix}$.\par
Donc avec $X=\begin{pmatrix}x\\
y\\
z\end{pmatrix}$ : $AX=2X\iff y=z \text{ et }x=z$ :\par
$2$ est valeur propre de $A$ et l'espace propre associ\'e est la droite engendr\'ee par 
$\begin{pmatrix}1\\
 1\\
 1\end{pmatrix}$\par
 
 De m\^eme
$A-4I=\begin{pmatrix}4&-1&-5\\
-2&-1&1\\
4&-1&-5\end{pmatrix}$
.\par
Par exemple avec $L_{2}\leftarrow 2L_{2}+L_{1}$ et $L_{3}\leftarrow L_{3}-L_{1}$, on obtient 
$\begin{pmatrix}4&-1&-5\\
0&-3&-3\\
0&0&0\end{pmatrix}$.\par
Donc avec $X=\begin{pmatrix}x\\
y\\
z\end{pmatrix}$ : $AX=4X\iff y=-z \text{ et }x=z$ :\par
$4$ est valeur propre de $A$ et l'espace propre associ\'e est la droite engendr\'ee par 
$\begin{pmatrix}1\\
 -1\\
 1\end{pmatrix}$
 
 \textbf{A 2)} \emph{Analyse} On cherche une base 
 $\mathcal{B}'=(e'_{1},e'_{2},e'_{3})$ de $\R^3$ telle que 
 $\mathrm{mat}_{\mathcal{B}'}u=A'=\begin{pmatrix}4&3&0\\
 0&4&0\\
 0&0&2\end{pmatrix}$ c'est-\`a-dire 
 $u(e'_{1})=4e'_{1}, u(e'_{2})=3e'_{1}+4e'_{2}, u(e'_{3})=2e'_{3}$. 
 Les coordonn\'ees devant \^etre $\pm 1$ ou $0$, il n'y a d'apr\`es 1) que deux choix possibles pour 
 $e'_{1}=\pm \begin{pmatrix}1\\
 -1\\
 1\end{pmatrix}$ et pour $e'_{3}=\pm \begin{pmatrix}1\\
 1\\
 1\end{pmatrix}$
 
 \emph{synth\`ese} On pose  \fbox{$e'_{1}=\begin{pmatrix}1\\
 -1\\
 1\end{pmatrix}$ et  $e'_{3}= \begin{pmatrix}1\\
 1\\
 1\end{pmatrix}$}.\par
 Pour choisir $e'_{2}$, on r\'esout $AX=4X+3\begin{pmatrix}1\\
 -1\\
 1\end{pmatrix}$, on trouve $\begin{cases}4x-1y-5z=3\\
 -3y-3z =-3\end{cases}$\par
 par exemple avec $z=0$ : $y=1$ puis $x=1$. 
 On pose \fbox{$e'_{2}=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$.}\par
 Soit $P=\mathrm{mat}_{\mathcal{B}}(e'_{1},e'_{2},e'_{3})=\begin{pmatrix}1&1&1\\
 -1&1&1\\
 1&0&1\end{pmatrix}$. \par 
 En d\'eveloppant selon la troisi\`eme ligne, on a $\det(P)=1\times 0+0+1\times (1+1)=2\not =0$.

Donc \fbox{$\mathcal{B}'=(e'_{1},e'_{2},e'_{3})$ est une base de $\R^3$} de plus
 $u(e'_{1})=4e'_{1}, u(e'_{2})=3e'_{1}+4e'_{2}, u(e'_{3})=2e'_{3}$ donc 
 $\mathrm{mat}_{\mathcal{B}'}u=A'$ et \fbox{$A$ est semblable \`a $A'$.}
 
 \textbf{A 3)} Avec les notations pr\'ec\'edentes le cours donne $A'=P^{-1}AP$, $A=PA'P^{-1}$ et 
 
\fbox{pour $n\in\N, A^n=P{A'}^nP^{-1}$.}\par
 Calcul de ${A'}^n$ : Par exemple par r\'ecurrence\footnote{On peut aussi le faire par la formule de Newton avec $A'=D+N$ o\`u 
 $D=diag(4,4,2), N=\begin{pmatrix}0&3&0\\
 0&0&0\\
 0&0&0\end{pmatrix}$ avec $DN=ND$ et $N^2=0$ :
 ${A'}^n=D^n+nD^{n-1}N+0$} on montre que pour tout $n\in\N$ il existe un nombre $a_{n}$ tel que 
 ${A'}^n=\begin{pmatrix}4^n&a_{n}&0\\
 0&4^n&0\\
 0&0&2^n\end{pmatrix}$.\par
 Au rang $0$ : ${A'}^0=I_{3}$, en posant \fbox{$a_{0}=0$}, on a la propri\'et\'e au rang $0$.\par
 Soit $n\in\N$. On suppose la propri\'et\'e au rang $n$.\par
 Alors ${A'}^{n+1}=A'\times {A'}^n=\begin{pmatrix}4^{n+1}&4a_{n}+3\cdot 4^n &0\\
 0&4^{n+1}&0\\
 0&0&2^{n+1}\end{pmatrix}$ .\par
  en posant \fbox{$a_{n+1}=4a_{n}+3\cdot 4^n $}, on a la propri\'et\'e au rang $n+1$.\par
  On a d\'emontr\'e par r\'ecurrence la propri\'et\'e pour tout entier naturel.\par
  \emph{D\'etermination de la suite $(a_{n})$} : Les premiers termes sont $0, 3, 12=3\cdot 4, 6\cdot 4^2...$\par
  On montre par r\'ecurrence $a_{n}=3n\cdot 4^{n-1}$ (vraie au rang 0 et si vraie au rang $n$ alors $a_{n+1}=4a_{n}+3\cdot 4^n=3\cdot 4^n(n+1)$) 

Remarque : Bien s\^{u}r, on peut ne faire qu'une r\'ecurrence avec le r\'esultat complet...

Bref, \fbox{Pour tout $n\in\N$,  ${A'}^n=\begin{pmatrix}4^n&3n\cdot 4^{n-1}&0\\
 0&4^n&0\\
 0&0&2^n\end{pmatrix}$}

\emph{Calcul de $P^{-1}$} Par la m\'ethode de Gauss (ou par la comatrice, ou par la calculette (!)), on trouve 
$P^{-1}=\begin{pmatrix}1/2&-1/2&0\\
1&0&-1\\
-1/2&1/2&1\end{pmatrix}$

\emph{Expression finale} En reportant les calculs pr\'ec\'edents :

$A^n=P{A'}^nP^{-1}=\begin{pmatrix}3/2*4^n+3n4^{n-1}-1/2*2^n
& -1/2*4^n+1/2*2^n& -3n4^{n-1}-4^n+2^n\\
1/2*4^n-3n4^{n-1}-1/2*2^n& 1/2*4^n+1/2*2^n& 3n4^{n-1}-4^n+2^n\\
1/2*4^n+3n4^{n-1}-1/2*2^n& -1/2*4^n+1/2*2^n& -3n4^{n-1}+2^n
\end{pmatrix}$

\textbf{A 4)} La notation $A'$ est malheureuse...\par
Notons classiquement $X:t\mapsto X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\
y(t)\\
z(t)\end{pmatrix}$ et $Y:t\mapsto Y(t)=P^{-1}X(t)=\begin{pmatrix}y_{1}(t)\\
y_{2}(t)\\
y_{3}(t)\end{pmatrix}$, on sait que $X$ est solution de $\dfrac{\dd X}{\dd t}=AX$ si, et seulement si, 
$Y$ est solution de $\dfrac{\dd Y}{\dd t}=A'Y$.\par
\emph{R\'esolution du syst\`eme triangulaire} $\begin{cases}y'_{1}(t)=4y_{1}(t)+3y_{2}(t)\\
y'_{2}(t)=4y_{2}(t)\\
y'_{3}(t)=
2y_{3}(t)\end{cases}
$\par
On trouve \fbox{$y_{3}(t)=\lambda_{3}\e^{2t}$ et $y_{2}(t)=\lambda_{2}\e^{4t}$} puis on r\'esout 
$y'_{1}(t)=4y_{1}(t)+3\lambda_{2}\e^{4t}$ (*).\par
On cherche UNE solution particuli\`ere de (*) de la forme $f(t)=\alpha t\e^{4t}$ :\par
$f'(t)-4f(t)=\alpha t\e^{4t}$ donc $f$ convient si $\alpha=3\lambda_{2}$.\par
D'o\`u \fbox{$y_{1}(t)=\lambda_{1}\e^{4t}+3\lambda_{2}t\e^{4t}$}\par
Puis en utilisant $X=PY$, on trouve 
$\left\{\begin{array}{lcrcrcr}x(t)&=&(\lambda_{1}+\lambda_{2})\e^{4t}&+&3\lambda_{2}t\e^{4t}&+&\lambda_{3}\e^{2t}\\
y(t)&=&(-\lambda_{1}+\lambda_{2})\e^{4t}&-&3\lambda_{2}t\e^{4t}&+&\lambda_{3}\e^{2t}\\
z(t)&=&\lambda_{1}\e^{4t}&+&3\lambda_{2}t\e^{4t}&+&\lambda_{3}\e^{2t}
\end{array}\right .$

\newpage
%\section{Partie B}
\textbf{Partie B}

\textbf{B 1} L'\'equation caract\'eristique associ\'ee \`a $f''+f'+f=0$ (1) est $q^2+q+1=0$ dont les
solutions sont $j$ et $j^2$ puisque l'on veut des expressions r\'eelles on utilise 
$j=-\dfrac 12+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\par
Les $f$ solutions de (1) sont les fonctions de la forme $t\mapsto \alpha \cos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)\e^{-t/2}
+\beta \sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)\e^{-t/2}$ o\`u $\alpha,\beta$ sont des constantes R\'EELLES.

\textbf{B 2} Question de cours (?)...\par
On peut proposer \fbox{ $\varphi_{1} :t\mapsto \cos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)\e^{-t/2}$ et 
$\varphi_{2} :t\mapsto \sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)\e^{-t/2}$.}\par
Je suppose qu'il s'agit de dessiner une``sinusoïde amortie" ...

\textbf{B 3} $D$ est lin\'eaire par restriction et si $f\in F$ alors en d\'erivant (1) on constate que $f'=D(f)$ est solution de (1) donc $D(f)\in
F$ : 
 \fbox{$D$ est un endomorphisme de $F$.}\par
 \fbox{$D$ n'est pas diagonalisable} car :\par
\emph{Argument 1 :} Si $f\in F$ \'etait vecteur propre associ\'e \`a $\lambda$
R\'EELLE on aurait $\lambda$ solution de l'\'equation caract\'eristique 
(cf $f'=\lambda f,
f''+f'+f=(\lambda^2+\lambda+1)f$ ) : impossible.\par
Le spectre de $D$ est vide et $D$ n'est pas diagonalisable.\par
\emph{Argument 2} On \'ecrit la matrice de $D$ dans la base $\mathcal{B}=(\varphi_{1},\varphi_{2})$ :\par
$D(\varphi_{1})=-\dfrac 12\varphi_{1}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\varphi_{2}$ et 
$D(\varphi_{2})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\varphi_{1}-\dfrac{1}{2}\varphi_{2}$ donc 
$\mathrm{mat}_{\mathcal{B}}(D)=\begin{pmatrix}-1/2&\sqrt{3}/2\\
-\sqrt{3}/2&-1/2\end{pmatrix}$.\par
On reconna\^{i}t la matrice de la rotation plane d'angle $-2\pi/3$ et donc $D$
n'est pas diagonalisable.
\par
Puis \fbox{$D^3=\mathrm{Id}_{F}$} :
\par
D\'emonstration 1 : Si on a obtenu la matrice c'est clair : $D^3$ est une rotation d'angle $3\times 2\pi/3$.\par

D\'emonstration 2 : De $f''+f'+f=0$, on a vu $f^{(3)}+f''+f'=0$ 
d'o\`u
$f^{(3)}=f$ ceci pour tout $f\in F$.

D\'emonstration 3 : Pour tout $f\in F, f''+f'+f=0$ (fonction nulle de $\R$
dans $\R$)
donc $D^2+D+\mathrm{Id}_{F}=0$ (endomorphisme nul) d'o\`u
(culturellement) : $\mathrm{Id}-D^3=(\mathrm{Id}-D)\circ (D^2+D+\mathrm{Id}_{F})=(\mathrm{Id}-D)\circ 0_{F}=0$

\textbf{B 4)} $T_{a}$ est lin\'eaire...\par
Si $f\in F$ alors pour tout $x\in\R$
$T_{a}(f)'(x)=f'(x+a)\times 1=f'(x+a), T_{a}(f)''(x)=f''(x+a)$ donc
 $T_{a}(f)''(x)+T_{a}(f)'(x)+T_{a}(f)(x)=f''(x+a)+f'(x+a)+f(x+a)=0$ car $f$ est solution de
(1).\par
Donc $T_{a}(f)$ est aussi solution de (1) donc $T_{a}(f)\in F$.
 
 $T_{a}$ est un endomorphisme de $F$.\par
 On a avec les formules d'additions  $T_{a}(\varphi_{1})(t)=
\varphi_{1}(t+a)=\cos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t
+\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)\e^{-t/2}\e^{-a/2}$\par 
$=
\left[
\cos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)\cos
\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)-\sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t
\right)\sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)\right]\e^{-t/2}\e^{-a/2}$

Donc $T_{a}(\varphi_{1})=\e^{-t/2}\left(\cos
\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)\varphi_{1}
-\sin
\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)\varphi_{2}\right)$

De m\^{e}me  $T_{a}(\varphi_{1})=\e^{-a/2}\left(\sin
\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)\varphi_{1}
+\cos
\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)\varphi_{2}\right)$

Donc la matrice de $T_{a}$ dans la base $(\varphi_{1},\varphi_{2})$ est 
$M_{a}=\e^{-a/2}\begin{pmatrix}\cos
\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)&\sin
\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)\\
-\sin
\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)&\cos
\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)\end{pmatrix}=\e^{-a/2}R_{-\frac{\sqrt{3}}{2}a}$ ($T_{a}$ est 
a similitude directe de rapport $\e^{-a/2}$ et d'angle de mesure $-\frac{\sqrt{3}}{2}a$).
\par
$T_{a}$ est diagonalisable $\iff M_{a}$ l'est $\iff $ la rotation plane d'angle
${-\dfrac{\sqrt{3}}{2}a}$ l'est $\iff$ ${-\dfrac{\sqrt{3}}{2}a}\in \pi\Z$.\par
\fbox{$T_{a}$ est diagonalisable si, et seulement si, il existe $k\in \Z$ tel que
$a=k\dfrac{2}{\sqrt{3}}\pi$}

En particulier pour $a=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\pi$, on a $M_{a}=\e^{-a/2}I_{2}$ donc $T_{a}$ est
l'homoth\'etie de  rapport $\lambda=\e^{-a/2}=\e^{-\pi/\sqrt{3}}$ donc si $f$ est solution de (1) on
a : $T_{a}(f)=\lambda f$ c'est-\`a-dire :\par
pour tout $x\in \R, f(x+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\pi)=\e^{-\pi/\sqrt{3}}f(x)$

On obtient toute la courbe en la dessinant sur $[0, \dfrac{2}{\sqrt{3}}\pi]$ puis 
en utilisant (une infinit\'e de fois) la translation de vecteur $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\pi \vec \imath$
 tout en multipliant par $\e^{-\pi/\sqrt{3}}$.\par
 
 En termes \'el\'egants la courbe est invariante par la compos\'ee de la translation de vecteur
$\dfrac{2}{\sqrt{3}}\pi \vec \imath$
 et de l'affinit\'e orthogonale d'axe $Ox$ et de rapport $\e^{-\pi/\sqrt{3}}$.
 
 \textbf{B 5} En utilisant les matrices : $D=\lambda T_{a}\iff
R_{2\pi/3}=\lambda\e^{-a/2}R_{-\frac{\sqrt{3}}{2}a}$.

En reconnaissant une similitude directe (ou en comparant les normes des colonnes ou encore en
utilisant le d\'eterminant) il est n\'ecessaire que $\lambda\e^{-a/2}=\pm 1$.\par

Premier cas si $\lambda=\e^{a/2}$ : 
$R_{2\pi/3}=R_{-\frac{\sqrt{3}}{2}a}\iff \text{ il existe } k
\in \Z, \frac{\sqrt{3}}{2}a=-2\pi/3 +2k\pi$

Deuxi\`eme cas si $\lambda=-\e^{a/2}$ : 
$R_{2\pi/3}=-R_{-\frac{\sqrt{3}}{2}a}\iff \text{ il existe } k
\in \Z, \frac{\sqrt{3}}{2}a=-2\pi/3 +\pi+2k\pi$

Remarque : une autre d\'emarche consiste \`a utiliser $D^3$ :\par
Si $D=\lambda T_{a}$ alors $\mathrm{Id}=D^3=T_{a}^{3}$ donc
$(\lambda\e^{-a/2})^3R_{-3\frac{\sqrt{3}}{2}a}=I_{2}$. On retrouve les deux cas \`a \'etudier et
certains $a$ possibles mais il faut contr\^oler la r\'eciproque et revenir \`a $D=\pm T_{a}$ pour
trouver les $a$ qui conviennent effectivement : c'est plus long.

\bigskip
%\section{Partie C}
\centerline{\bf Corrig\'e partie C}

\bigskip

\noa 1 La fonction $\abs{fg}$ est continue sur $\drp$ et  $\abs{fg}\le \quot 1 2 f^2+\quot 1 2 g^2$

(car pour tout $t\in\drp$, $(\abs{f(t)}-\abs{g(t)})^2\ge 0$.)

Comme les fonctions $f^2$ et $g^2$ sont int\'egrables sur $\drp$, on
en d\'eduit par comparaison que $\abs{fg}$ est int\'egrable sur $\drp$
et donc que $fg$ est int\'egrable sur $\drp$.

\medskip

\noa 2 Il s'agit d'une question de cours !

Par d\'efinition $F$ est inclus dans l'espace vectoriel $E=\cl
2(\drp,\dr)$. Il contient clairement la fonction nulle.

D'autre part, pour toutes fonctions $f$ et $g$ de $F$ et pour tous r\'eels $\lam$ et $\mu$, $\lam f+\mu g$ est une
fonction de classe $\cl 2$ sur $\drp$ et
$(\lam f+\mu g)^2=\lam^2\,f^2+ \mu^2\,g^2+2\lam \mu\,fg$.

Les fonctions $f^2$ et $g^2$ sont int\'egrables sur $\drp$ par hypoth\`ese.

D'apr\`es 1, la fonction $fg$ est \'egalement int\'egrable sur $\drp$.
Par th\'eor\`emes d'op\'erations sur les fonctions int\'egrables, $(\lam f+\mu g)^2$ est int\'egrable sur $\drp$.
On obtient donc que $ \lam f+\mu g\in F$.

\centerline{ $ F$ est donc un sous espace vectoriel de $E $}

\medskip
\noa 3 Supposons que $l\not=0$.

Quitte \`a consid\'erer la fonction $-u$, on peut supposer $l>0$.

Consid\'erons $m$ tel que  $0<m<l$ si $l$ est r\'eel, et $0<m$ si $l=\pf$.

Comme $\limF x \pf u(x)=l$, il existe $a>0$ tel que pour tout $t\ge a$, on ait $u(t)\ge m$.

Alors, pour tout $x\ge a$, $U(x)-U(a)=\Integ a x t {u(t)}\ge m(x-a)$.

Comme $m>0$, on aurait $\limF x \pf U(x)=\pf$, ce qui est contraire \`a l'hypoth\`ese faite sur $U$ :

On en d\'eduit que  $l=0$.



\medskip
Remarque (autre d\'emonstration \textbf{C 3}) :
 Par l'\'egalit\'e des accroissement finis : pour $x\in \R$, il existe $c_{x}\in ]x,x+1[$
tel que : $\frac{U(x+1)-U(x)}{x+1-x}=U'(c_{x})=u(c_{x})$.\par
Or $x<c_{x}$ donc $c_{x}\to +\infty$ quand $x\to +\infty$ puis par composition de limite $u(c_{x})\to
\ell$.

Par ailleurs,  $\frac{U(x+1)-U(x)}{x+1-x}=U(x+1)-U(x)\to L-L=0$.

Par unicit\'e de la limite : \fbox{$\ell= 0$}.


\noa 4

Si $f\in E$, $f$ et $f'$ sont de classe $\cl 1$ sur $\drp$. On en d\'eduit $(2)$ en int\'egrant par parties, $\Integ 0 x t {[f'(t)]^2}$.

On obtient $(3)$ en remarquant que la fonction de classe $\cl 1$ , $\quot 1 2 f^2$ a pour d\'eriv\'ee $ff'$.

\smallskip

Supposons que $f$ et $f''$ appartiennent \`a $F$ mais que $f'^2$ n'est pas int\'egrable sur $\drp$.

D'apr\`es {\bf C.1}, la fonction $ff''$ est int\'egrable sur $\drp$ et par cons\'equent, $\Integ 0 x t {f(t)f''(t)}$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $\pf$.

Comme la fonction $f'^2$ est positive et non int\'egrable , $\limF x \pf \Integ 0 x t {[f'(t)]^2}=\pf$.

On d\'eduit alors de l'\'egalit\'e $(2)$ que $\limF x \pf f(x)\,f'(x)=\pf$.

Il existe en particulier $a\ge 0$ tel que pour tout $t\ge a$, $f(t)\,f'(t)\ge 1$.

On d\'eduit alors de l'\'egalit\'e (3) que pour tout $b\ge a$, $f^2(b)\ge f^2(a)+2(b-a)$.

On a alors $\limF b \pf f^2(b)=\pf$, ce qui est absurde car la fonction $f^2$ est int\'egrable sur $\drp$.

\smallskip

La fonction $f'$ est donc de carr\'e int\'egrable sur $\drp$. Comme de plus $f''\in F$, $f''$ est de classe $\cl 2$ sur $\drp$
et $f'$ \'egalement.


\smallskip

\centerline{\fbox{$f'\in F$}}

\medskip

\noa 5 Comme $f$, $f'$, $f''$ sont des \'el\'ements de $F$, en utilisant {\bf C.1}, les fonctions $v=ff'$, $w=f'f''$ sont int\'egrables sur $\drp$ et par cons\'equent,
les fonctions

$V\,:\,x\mapsto \Integ 0 x t {f(t)f'(t)}$ et $W\,:\,x\mapsto \Integ 0 x t {f'(t)\,f''(t)}$ admettent une limite finie en $\pf$.

\smallskip

D'autre part, comme la fonction $f'^2$ est int\'egrable sur $\drp$, la fonction $T\,:\,x\mapsto \Integ 0 x t {f'^2(t)}$ admet une limite finie en $\pf$.

D'apr\`es {\bf C.4\ (2)}, pour tout $x\in\drp$, $f(x)\,f'(x)=f(0)\,f'(0)+T(x)+W(x)$. On en d\'eduit que $ff'$ admet une limite finie en $\pf$.

la fonction $v=ff'$ v\'erifie alors les hypoth\`eses de {\bf C.3}, et donc \fbox{$\limF x \pf f(x)\,f'(x)=0$.}

\smallskip

On d\'eduit de {\bf C.4\ (2)} par exemple que pour tout $x\in\drp$,

 $f^2(x)=f^2(0)+2\,\Integ 0 x t {f(t)f'(t)}=f^2(0)+2\,V(x)$. Par cons\'equent $f^2(x)$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $\pf$.

 De plus, comme $f^2$ est int\'egrable sur $\drp$, $x\mapsto \Integ 0 x t {f^2(t)}$ admet une limite finie en $\pf$.

 En appliquant de nouveau le r\'esultat de {\bf C.3} mais cette fois-ci \`a la fonction $f^2$, on obtient que \fbox{$\limF x \pf f^2(x)=0$.}

 \medskip

 De m\^eme, comme $f'f''=\quot 1 2 [(f')^2]'$ est int\'egrable sur $\drp$, $(f')^2$ admet une limite finie en $\pf$.
 De plus $(f')^2$ est int\'egrable sur $\drp$, donc la fonction $x\mapsto \Integ 0 x t {(f'(t))^2}$ admet une limite finie en $\pf$.

 En appliquant toujours le r\'esultat de {\bf C.3} mais cette fois-ci \`a la fonction $(f')^2$,
 on obtient que \fbox{$\limF x \pf \bigl(f'(x)\bigr)^2=0$.}

 \medskip

 \noa 6 Sur $\drp$,

 $[ (f+f')^2]'=[f^2+(f')^2+2ff']'=2ff'+2f'f''+2(f')^2+2ff''=(f+f'+f'')^2-f^2-(f'')^2+(f')^2$.

 \smallskip

 Soit $A>0$, on d\'eduit de la relation pr\'ec\'edente que

 $\integ 0 A t {[f(t)]^2}+\integ 0 A t {[f''(t)]^2}-\integ 0 A t {[f'(t)]^2}=$

 $\integ 0 A t {[f(t)+f'(t)+f''(t)]^2}-
 \bigl[\bigl(f(A)+f'(A)\bigr)^2-\bigl(f(0)+f'(0)\bigr)^2\bigr]$.

 \smallskip


$\bigl(f(A)+f'(A)\bigr)^2=f^2(A)+(f')^2(A)+2f(A)f'(A)$.

D'apr\`es la question pr\'ec\'edente, on a $\limF A \pf \bigl(f(A)+f'(A)\bigr)^2=0$.

Les fonctions $f$, $f'$, $f''$ appartiennent \`a l'espace vectoriel $F$ donc $f+f'+f''\in F$.

Finalement les fonctions $f^2$, $(f')^2$, $(f'')^2$, et $(f+f'+f'')^2$ sont int\'egrables sur $\drp$.

En faisant tendre $A$ vers $\pf$ dans l'\'egalit\'e pr\'ec\'edente on obtient la relation souhait\'ee :

$$\integ 0 {\pf} t {[f(t)]^2}+\integ 0 {\pf} t {[f''(t)]^2}-\integ 0 {\pf} t {[f'(t)]^2}=\integ 0 {\pf} t {[f(t)+f'(t)+f''(t)]^2}+\bigl(f(0)+f'(0)\bigr)^2.\quad (**)$$

Comme $\integ 0 {\pf} t {[f(t)+f'(t)+f''(t)]^2}+\bigl(f(0)+f'(0)\bigr)^2\ge 0$, on obtient

$\integ 0 {\pf} t {[f(t)]^2}+\integ 0 {\pf} t {[f''(t)]^2}-\integ 0 {\pf} t {[f'(t)]^2}\ge 0$, c'est \`a dire

$$ N_2(f')^2\le N_2(f)^2+N_2(f'')^2$$

\noa 7
 Soit $\lam >0$ , $f$ d\'esignant une fonction de $E$ telle que $f$, $f''$ (donc aussi $f'$) appartiennent \`a $F$.

 Montrons que $f_{\lam}$ et $f''_{\lam}$ appartiennent \`a $F$.

 $f$ est de classe $\cl 4$ donc \'egalement $f_{\lam}$.

 De plus pour tout $x\in\drp$,

 $$f_{\lam}'(x)=\lam^{3/2}\,f'(\lam x)\qquad f''_{\lam}(x)=\lam^{5/2}\,f''(\lam x)$$

 Les fonctions $f_{\lam}^2$, et $(f''_{\lam})^2$ \'etant positives (et continues) sur $\drp$, pour montrer leur int\'egrabilit\'e,
 il suffit de montrer l'existence de limites finies quand $X$ tend vers $\pf$ de $\Integ 0 X t {f_{\lam}^2(t)}$ et de
 $\Integ 0 X t {(f''_{\lam}(t))^2}$.

 Soit $X\ge 0$.

$\Integ 0 X t {f_{\lam}^2(t)}=\Integ 0 X t {\lam \,f^2(\lam t)}=\Integ 0 {\lam X} u {f^2(u)}$ en effectuant le changement de variable $u=\lam t$.

Comme $\limF X \pf \Integ 0 {\lam X} u {f^2(u)}=N_2(f)^2\in\dr$, on en d\'eduit que $f_{\lam}^2$ est int\'egrable sur $\drp$ et que

$$N_2(f_{\lam})^2=N_2(f)^2$$

De m\^eme,

$\Integ 0 X t {(f''_{\lam})^2(t)}=\Integ 0 X t {\lam ^5\,(f'')^2(\lam t)}=\lam^4\,\Integ 0 {\lam X} u {f^2(u)}$ en effectuant

le changement de variable $u=\lam t$.

Comme $\limF X \pf \Integ 0 {\lam X} u {(f'')^2(u)}=N_2(f'')^2\in\dr$, on en d\'eduit que $(f''_{\lam})^2$ est int\'egrable sur $\drp$ et que

$$N_2(f''_{\lam})^2=\lam^4\, N_2(f'')^2.$$

Finalement les fonctions $f_{\lam}$ et $f''_{\lam}$ appartiennent \`a $F$. On sait alors d'apr\`es {\bf C.4} que $f'_{\lam}\in F$. Un calcul similaire aux pr\'ec\'edents montre que

$$N_2(f'_{\lam})^2=\lam^2\, N_2(f')^2 .$$

En appliquant les r\'esultat de la question {\bf C.4} aux fonctions $f_{\lam}$  on a

$$\lam^2\, N_2(f')^2 \le N_2(f)^2+\lam^4\, N_2(f'')^2.$$

En divisant par $\lam^2>0$,on obtient que si $f\in F$ et $f''\in F$,

$$\forall \lam>0,\quad N_2(f')^2 \le \quot 1{\lam^2}\, N_2(f)^2+\lam^2\, N_2(f'')^2.$$

\medskip

\noa 8 En donnant \`a $\lam>0$ la valeur pour laquelle $\quot 1{\lam^2}\, N_2(f)^2=\lam^2\, N_2(f'')^2$,
soit $\lam=\sqrt{\quot{N_2(f)}{N_2(f'')}}$ on obtient

$N_2(f')^2\le 2 N_2(f)\,N_2(f'')$, d'o\`u \mbox{$N_2(f')\le \sqrt{2\,N_2(f)\,N_2(f'')}$}

\medskip

{\it Rque : on peut aussi \'etudier sur $\drep$, la fonction $\ph\,:\,u\mapsto \quot 1{u}\, N_2(f)^2+u\, N_2(f'')^2$ et constater
qu'elle admet un minimum $m=2 N_2(f)\,N_2(f'')$ atteint pour $u=\quot{N_2(f)}{N_2(f'')}$.}

\noa 9

Nous appellerons ici $F_B=\Vect(\ph_1,\ph_2)$, l'ensemble des solutions de l'\'equation diiff\'erentielle (1) de la partie B.

Les fonctions $\ph_1$ et $\ph_2$ sont de classe $\cl\infty$ sur $\drp$.

De plus pour tout $i\in\{\,1,2\,\}$,
$\forall t\in\drp\quad 0\le\ph_i^2(t)\le \e^{-t}$.

Comme la fonction $t\mapsto \e^{-t}$ est int\'egrable sur $\drp$, les fonctions $\ph_1^2$ et $\ph_2^2$ le sont aussi par th\'eor\`eme de comparaison.

Les fonctions $\ph_1$ et $\ph_2$ appartiennent donc \`a l'espace vectoriel $F$.

On en d\'eduit que $F_B=\Vect(\ph_1,\ph_2)\subset F$.

D'autre part, il a \'et\'e d\'emontr\'e en {\bf B.3} que l'application $D\,:\,f\mapsto f'$ est un endomorphisme de $F_B$.

On en d\'eduit par r\'ecurrence imm\'ediate que si $f\in F_B$, toutes les d\'eriv\'ees successives de $f$  appartiennent \`a $F_B$ donc \`a $F$.

De plus, d'apr\`es le th\'eor\`eme de Cauchy pour les \'equations diff\'erentielles lin\'eaires, pour $k\in\dr$, il existe une (et une seule) solution de
l'\'equation (1) v\'erifiant $f(0)=k$ et $f'(0)=-k$.

Consid\'erons $f$ une telle solution. On a $f(0)+f'(0)=0$ et ce qui pr\'ec\`ede prouve que pour tout $p\in\dn$, $f^{(p)}\in F_B\subset F$.

\medskip


En appliquant l'\'egalit\'e (**) de la question{\bf C.6} \`a la fonction $f$, on obtient :

$$ N_2(f)^2+N_2(f'')^2-N_2(f')^2=0\quad (\E)$$

\smallskip

De $N_2(f')^2\le 2 N_2(f)\,N_2(f'')$ on d\'eduit alors

$(N_2(f)-N_2(f''))^2=N_2(f)^2+N_2(f'')^2-2N_2(f)\,N_2(f'')\le 0$ d'o\`u $N_2(f)=N_2(f'')$

et (6) est une \'egalit\'e.

On en d\'eduit que l'in\'egalit\'e $(6)$ ne peut pas \^etre am\'elior\'ee, plus pr\'ecisement qu'on ne peut pas trouver de r\'eel $\al$
avec $0\le \al<\sqrt 2$ v\'erifiant,

pour toute fonction $f\in F$ telle que $f''\in F$, $N_2(f')\le \al \sqrt{N_2(f)\,N_2(f'')}$.










 \end{document}

