% Corrig\'e de l'\'epreuve de Math\'ematiques Ulm-Lyon MP, 2004
% M. Quercia (michel.quercia@prepas.org) avec remarques de Romain Krust

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\def\q#1{\sv\leftskip=\qqmarge\marge{\hbox to\numindent{\hss\bf#1) }}\ignorespaces}

\line{Ulm-Lyon MP 2004\hfil Corrig\'e de M. Quercia ({\tt michel.quercia\char64prepas.org}) relu et amendé par Romain Krust}

\partie{I}{Partie I : actions de groupes}

\q{1} Imm\'ediat.

\q{2} ${}^\gamma(g_1g_2) = {}^\gamma g_1.{}^\gamma g_2$ car $\Phi(\gamma)$ est
      un automorphisme de $G$. Pour la m\^eme raison, ${}^\gamma e_G = e_G$
      et ${}^\gamma(g^{-1}) = ({}^\gamma g)^{-1}$.

      ${}^{(\gamma_1\gamma_2)}g = {}^{\gamma_1}({}^{\gamma_2}g)$
      car $\Phi(\gamma_1\gamma_2) = \Phi(\gamma_1)\circ\Phi(\gamma_2)$.
      ${}^{e_\Gamma}g = g$ car $\Phi(e_\Gamma) = \id_G$.

\q{3} V\'erification imm\'ediate. $GL_n(\C)^{\Gamma_2} = GL_n(\R)$. 

\q{4a}Si $g\in G^\Gamma$ alors pour tout $\gamma\in\Gamma$ on
      a $u(g) = u({}^\gamma g) = {}^\gamma(u(g))$ donc $u(g)\in H^\Gamma$.
\q{4b}Non~: soient $G=H=\C^*$, $\Gamma=\{-1,1\}$ que l'on fait agir
      sur~$G$ et $H$ par conjugaison complexe et $u$ : $z\I->z^2$.

      $u$ est clairement un $\Gamma$-morphisme surjectif, et on a
      $u(G^\Gamma) = u(\R^*) = \R^{+*}\ne H^\Gamma$.

\partie{II}{Partie II : sous-groupes matriciels}

\q{1} Les \'el\'ements de~$G$ sont simultan\'ement diagonalisables~; soit
      $P\in GL_n(\C)$ telle que pour tout~$M\in G$ la matrice
      $M'=P^{-1}MP$ est diagonale. Comme $M'^2 = I_n$, les coefficients
      diagonaux de~$M'$ valent $\pm1$ donc il y a au maximum $2^n$
      matrices $M'$ distinctes et l'application $M\I->M'$ est bijective,
      d'o\`u $\card(G)\le 2^n$.      

\q{2} $V_1 = (\varphi^{-1})^{-1}(U)$ est un ouvert relatif de~$V$, donc
      un ouvert de~$\R^p$. La phrase "f est de classe~$\c^1$" a donc un sens.
      On note~$i=\varphi(I_n)$ et on consid\`ere le d\'eveloppement limit\'e
      de~$f$ au voisinage de~$(i,i)$ \`a l'ordre~1~:
      $$f(i+h,i+k) = f(i,i) + \d f_{(i,i)}(h,k) + \o(\|h\|+\|k\|) = i + \d f_{(i,i)}(h,k) + \o(\|h\|+\|k\|).$$
      En prenant $k=0$ on a $f(i+h,i) = i+h$ pour tout~$h$ proche de~$0_{\R^p}$, d'o\`u $\d f_{(i,i)}(h,0) = h$
      pour tout~$h\in\R^p$.
      De m\^eme $\d f_{(i,i)}(0,k) = k$ pour tout~$k\in\R^p$ puis par lin\'earit\'e,
      $\d f_{(i,i)}(h,k) = h+k$ pour tous $h,k\in\R^p$.
      Soit alors $g$ l'application qui \`a~$x\in V_1$ associe~$f(x,x)\in V$.
      $g$ est de classe~$\c^1$ comme~$f$ et on a le d\'eveloppement
      limit\'e~: $g(i+h) = i + 2h + \o(\|h\|)$ donc $\d g_i = 2\id_{\R^p}$.
      D'apr\`es le th\'eor\`eme d'inversion locale, $g$ induit un $\c^1$-diff\'eomorphisme
      entre deux voisinages de~$i$ et par cons\'equent $g(V_1)$ est un
      voisinage de~$i$. Alors $\varphi^{-1}(g(V_1)) = \{M^2\text{ tq }M\in U\}$
      est un voisinage relatif de~$I_n$ dans~$A$.

\q{3a}Pour $M$ matrice carr\'ee on note $m_{ij}$ le coefficient g\'en\'eral de~$M$
      et $M_{ij}$ le cofacteur de~$m_{ij}$ dans~$\det(M)$.
      \sv
      {\bf Choix de~$A,\varphi,V$.}
      Prenons $A=\{M\in SL_n(\R)\text{ tq }M_{11}\ne 0\}$,
      $\varphi$ l'application de~$A$ dans~$\R^{n^2-1}$ qui \`a $M\in A$
      associe la liste des coefficients de~$M$ autres que $m_{11}$
      (ordonn\'ee d'une mani\`ere quelconque) et~$V=\varphi(A)$.
      \sv
      -- $A$ est ouvert relatif de~$SL_n(\R)$~: car l'application $M\I->M_{11}$
         est continue.

      -- $V$ est ouvert dans~$\R^p$~: car $V$ est l'ensemble des $(n^2-1)$-uplets $(m_{ij})_{(i,j)\ne(1,1)}$
      tels que $\det((m_{ij})_{i\ge 2,\ j\ge 2}) \ne 0$.

      -- $\varphi$ est continue~: clair.

      -- $\varphi$ est bijective~: surjective par choix de~$V$ et
      injective car la connaissance des $m_{ij}$ pour $(i,j)\ne(1,1)$
      et le fait que~$M_{11}\ne 0$
      permettent de calculer $m_{11}$ \`a partir de la relation $\det(M)=1$.

      -- $\varphi^{-1}$ est continue~: car $m_{11}$, calcul\'e \`a partir
      de la relation $\det(M)=1$, est une fonction rationnelle de
      $(m_{ij})_{(i,j)\ne(1,1)}$ dont le d\'enominateur ne s'annule pas sur~$V$.
      \sv
      {\bf Choix de $U$.} L'application $(M,N)\I->(MN)_{11}$ de~$\M n\R\times \M n\R$
      dans~$\R$ est continue et vaut~$1$ en~$(I_n,I_n)$.
      Par continuit\'e il existe un voisinage $W$ de~$(I_n,I_n)$
      dans~${\M n\R}^2$ tel que pour toutes matrices $M,N\in W$
      on a $(MN)_{11}\ne 0$. Quitte \`a le r\'etr\'ecir, on peut supposer que
      $W$ est de la forme $W=X\times X$ o\`u $X$ est un voisinage ouvert de~$I_n$
      dans~$\M n\R$. On prend alors $U=X\cap A$.
      \sv
      -- $U$ est un ouvert relatif de~$A$ contenant~$I_n$~: par construction.

      -- Le produit de deux matrices de~$U$ appartient \`a~$A$~: par construction.

      -- $f$ : $(x,y)\I->\varphi(\varphi^{-1}(x).\varphi^{-1}(y))$ est
      de classe~$\c^1$ sur~$V_1=\varphi(U)$~: car $f$ est une fonction
      rationnelle dont le d\'enominateur ne s'annule pas sur~$V_1\times V_1\subset V\times V$.
      \sv
      Toutes les propri\'et\'es requises \'etant satisfaites, $SL_n(\R)$
      v\'erifie la condition~$(L)$.

\goodbreak

\q{3b}Soient $A,U$ associ\'es \`a la condition~$(L)$ pour~$G$.
      l'ensemble $\{M^2\text{ tq }M\in U\}$ est un voisinage de~$I_n$ dans~$A$
      et $A$ est ouvert dans~$G$ donc c'est un voisinage de~$I_n$ dans~$G$.
      $J$ contient cet ensemble, donc $J$ est aussi un voisinage relatif de~$I_n$ dans~$G$.
      De plus $J$ est un sous-groupe de~$G$ car $G$ est commutatif
      donc pour tout~$M\in J$, $J=\{MX\text{ tq }X\in J\} = f^{-1}(J)$
      o\`u $f$ est l'application $X\I->M^{-1}X$ de~$G$ dans~$G$. $f$ est continue et $J$ est un voisinage
      de~$I_n=f(M)$ donc $f^{-1}(J) = J$ est un voisinage de~$M$ dans~$G$.
      Ainsi $J$ est un voisinage relatif de chacun de ses \'el\'ements~;
      c'est un ouvert relatif de~$G$.
      \sv
      Par ailleurs si $M\in G\setminus J$, l'ensemble $\{MX\text{ tq }X\in J\}$
      est un voisinage de~$M$, disjoint de~$J$ car $J$ est un sous-groupe de~$G$.
      Donc $G\setminus J$ est
      aussi voisinage relatif de chacun de ses \'el\'ements, c'est un ouvert relatif
      dans~$G$ et $J$ est ferm\'e relatif dans~$G$.
      

\partie{III}{Partie III : construction de matrices inversibles}

\q{1a}Prendre $\lambda=e^{i\theta}$ avec $\theta\in\R$ tel que $-e^{2i\theta}$
      ne soit pas valeur propre de~$A$.

\q{1b}Prendre $B$ inversible de la forme $B=\lambda I_n + \overline\lambda M$.
      On obtient $M\overline B = B$, soit $M=B\overline B{}^{-1}$.

\q{2a}Si $\gamma\in\Gamma$ alors on a $\gamma(i)^2=\gamma(i^2)=\gamma(-1)=-1$
      donc $\gamma=\varepsilon i$ avec $\varepsilon\in\{-1,1\}$.
      Il en r\'esulte que l'on a $\gamma(a+ib)=\gamma(a)+\gamma(i)\gamma(b)
      = a+\varepsilon ib$ pour tous~$a,b\in\R$, ce qui prouve que~$\gamma$ est l'identit\'e de~$\C$
      ou la conjugaison. R\'eciproquement ces deux applications
      sont bien des isomorphismes du corps~$\C$ laissant invariants les r\'eels.

\q{2b}$L$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie contenant la suite
      ($x^n)_{n\in\N}$, donc celle-ci est li\'ee. Ceci prouve l'existence d'un polyn\^ome
      $P\in K[X]$ non nul tel que $P(x)=0$.
      Si $\gamma\in \Gamma$ alors $0 = \gamma(P(x)) = P(\gamma(x))$ car $\gamma$
      est un morphisme de corps et les coefficients de~$P$ sont
      invariants par~$\gamma$.

\q{2c}Soit $(x_1,\dots,x_n)$ une $K$-base de~$L$. On choisit pour
      chaque~$i$ un polyn\^ome non nul $P_i\in K[X]$ tel que $P_i(x_i)=0$
      et on note $Z_i$ l'ensemble fini des racines de~$P_i$ dans~$L$.
      L'application $\gamma\I->(\gamma(x_1),\dots,\gamma(x_n))$ de~$\Gamma$
      dans~$Z_1\times\dots\times Z_n$ est injective car $(x_1,\dots,x_n)$
      est une $K$-base de~$L$ et $\gamma$ est $K$-lin\'eaire.
      Donc $\Gamma$ est fini de cardinal inf\'erieur ou \'egal \`a
      $\card(Z_1)\dots\card(Z_n)$.

\q{3} Pour $r=1$, $(\rho_1)$ est libre car $\rho_1$ est \`a valeurs dans~$L^*$
      donc $\rho_1\ne 0$.
      \sv
      Supposons la propri\'et\'e "toute famille de $r-1$ morphismes de~$L^*$
      distincts est libre" et consid\'erons une \'eventuelle famille li\'ee
      $(\rho_1,\dots,\rho_r)$ de morphismes de~$L^*$ distincts.
      La sous-famille $(\rho_2,\dots,\rho_r)$ est libre par hypoth\`ese de
      r\'ecurrence donc il existe des scalaires $\alpha_2,\dots,\alpha_r\in L$
      tels que $\rho_1=\alpha_2\rho_2+\dots+\alpha_r\rho_r$.
      Pour $x,y\in L^*$ on a alors~:
      $$\let\quad=\relax\matrix{
      \hfill\rho_1(xy)&{}= \alpha_2\rho_2(xy) + \dots + \alpha_r\rho_r(xy)\hfill
                 &{}= \alpha_2\rho_2(x)\rho_2(y) + \dots + \alpha_r\rho_r(x)\rho_r(y),\cr
      \rho_1(x)\rho_1(y)
                 &{}= (\alpha_2\rho_2(x) + \dots + \alpha_r\rho_r(x))\rho_1(y)
                 &{}= \alpha_2\rho_2(x)\rho_1(y) + \dots + \alpha_r\rho_r(x)\rho_1(y).\cr
      }$$
      Fixons $y\in L^*$ et prenons $x$ variable.
      On obtient $\alpha_2\rho_2(y)\rho_2 + \dots + \alpha_r\rho_r(y)\rho_r
      =\alpha_2\rho_1(y)\rho_2 + \dots + \alpha_r\rho_1(y)\rho_r$ et
      $(\rho_2,\dots,\rho_r)$ est libre d'o\`u $\alpha_i\rho_i(y)=\alpha_i\rho_1(y)$
      pour tout~$i\in{[[2,r]]}$ et tout~$y\in L^*$. Comme $\rho_1\ne\rho_i$,
      il existe~$y_i$ tel que $\rho_1(y_i)\ne\rho_i(y_i)$, d'o\`u $\alpha_i=0$
      et ce pour tout~$i$. Ainsi $\rho_1=0$, ce qui est absurde.

\q{4a}Soit~$x\in L^n$ fix\'e~: $\theta(b(hx)) = \sum_{\gamma\in\Gamma}\gamma(h)\theta(f(\gamma)\gamma(x)) = 0$
      pour tout~$h\in L^*$ et la famille $(\gamma)_{\gamma\in\Gamma}$ est
      $L$-libre d'apr\`es la question pr\'ec\'edente, donc $\theta(f(\gamma)\gamma(x)) = 0$
      pour tout $\gamma\in\Gamma$. On prend $\gamma=\id_L$ et on laisse varier~$x$~:
      $\Ker\theta\supset f(\id_L)(L^n) =L^n$, d'o\`u $\theta=0$.

\q{4b}Soit $F$ est le sous-espace vectoriel engendr\'e par les vecteurs $b(x)$
      quand~$x$ d\'ecrit~$L^n$. Si $F\ne L^n$ alors $F$ est inclus dans un
      hyperplan de~$L^n$ et il existe une forme lin\'eaire sur~$L^n$ non identiquement
      nulle, mais nulle sur~$F$ (une \'equation de cet hyperplan), en contradiction
      avec le r\'esultat pr\'ec\'edent.

\q{4c}$B(M)$ est inversible car c'est la matrice de passage de la base canonique de~$L^n$ \`a la
      base $(b(x_1),\dots,b(x_n))$.


\partie{IV}{Partie IV : cocycles}

\q{1} Imm\'ediat.

\q{2} Il faut montrer que tout cocycle est de la forme $\gamma\I->b^{-1}.{}^\gamma b$
      pour un certain~$b\in G$ (la r\'eciproque, non demand\'ee, \'etant d'ailleurs imm\'ediate).
      Soit donc~$f$ : $\Gamma\->G$ un cocycle. On a $f(1)=f(1).{}^1f(1)=f(1)^2$
      d'o\`u $f(1)=e_G = I_n$. Puis $I_n=f(1)=f(-1).{}^{-1}f(-1) = f(-1)\overline{f(-1)}$,
      donc la matrice $M=f(-1)$ v\'erifie la propri\'et\'e~{\bf III-1b)},
      elle est de la forme $M=B\overline{B}{}^{-1}$ avec $B\in GL_n(\C)=G$.
      Alors $b=B^{-1}$ convient.

\goodbreak
\q{3a}Remarquons que l'action de~$\Gamma$ sur~$GL_n(L)$
      est bien une action au sens de l'\'enonc\'e car~$\gamma$ est un automorphisme
      du corps~$L$.
      Consid\'erons un cocycle $\app f \gamma {GL_n(L)}$ et
      montrons qu'il existe une matrice $b\in GL_n(L)$ telle que $f(\gamma)=b^{-1}.{}^\gamma b$
      pour tout~$\gamma\in\Gamma$. Soit $P=B(M)$ la matrice inversible
      d\'efinie en~{\bf III-4c)} et $\gamma\in\Gamma$~:
      $$P=\sum_{\delta\in\Gamma}f(\delta).{}^\delta M
         =\sum_{\delta\in\Gamma}f(\gamma\delta).({}^{\gamma\delta} M)
         =\sum_{\delta\in\Gamma}f(\gamma).{}^\gamma f(\delta).{}^\gamma({}^\delta M)
         =f(\gamma).{}^\gamma\!\!\Bigl(\sum_{\delta\in\Gamma} f(\delta).{}^\delta M\Bigr)
         =f(\gamma).{}^\gamma P,$$
      d'o\`u $b=P^{-1}$ convient.

\q{3b}On retrouve le r\'esultat~{\bf IV-2)}.

\q{4ab}Imm\'ediat.

\q{5a}Imm\'ediat.

\q{5b}D\'ecryptons l'\'enonc\'e~:

      {\sv\marge{\indent}
      -- un \'el\'ement $[f]$ de~${\cal H}(\Gamma,A)$ est
      l'ensemble des cocycles de~$\Gamma$ dans~$A$ de la forme
      ${\gamma\I-> a^{-1}.f(\gamma).{}^\gamma a}$ o\`u $a$ d\'ecrit~$A$,
      $f$ \'etant un cocycle de~$\Gamma$ dans~$A$ fix\'e.
      \smallskip
      -- $\tilde\imath([f])$ est l'ensemble des cocycles de~$\Gamma$ dans~$B$ de la forme
      ${\gamma\I-> b^{-1}.f(\gamma).{}^\gamma b}$, $b$ d\'ecrivant~$B$.
      \smallskip
      -- $\tilde u(\tilde\imath([f]))$ est l'ensemble des cocycles de~$\Gamma$ dans~$C$
      de la forme $\gamma\I->c^{-1}.u(f(\gamma)).{}^\gamma c$ o\`u $c$ d\'ecrit~$C$.
      \sv}
      Comme $f$ est \`a valeurs dans~$A=\Ker u$ on a $u(f(\gamma))=e_C$
      donc $\tilde u(\tilde\imath([f]))$ est la classe d'\'equivalence du cocycle trivial $\gamma\I->e_c$.
      Ceci prouve que $\Im(\tilde\imath) \subset \Ker(\tilde u)$ et l'inclusion
      r\'eciproque se prouve de m\^eme
      en utilisant le fait que $c^{-1}.u(f(\gamma)).{}^\gamma c = u(b^{-1}.f(\gamma).{}^\gamma b)$
      où $b$ est un ant\'ec\'edant de~$c$ par~$u$.

\q{5c}Il est clair que $\tilde\imath(0)=0$. R\'eciproquement, soit $[f]\in{\cal H}(\Gamma,A)$
      tel que $\tilde\imath([f]) = 0$. Donc $f$ est \`a valeurs dans~$A$ et il existe $b\in B$ tel que
      $f(\gamma) = b^{-1}.{}^\gamma b$ pour tout~$\gamma\in\Gamma$.
      On veut montrer que~$[f] = 0$, c'est-\`a dire qu'il existe $a\in A$
      tel que $f(\gamma) = a^{-1}.{}^\gamma a$ pour tout~$\gamma\in\Gamma$.
      Or, $$(\forall\ \gamma\in\Gamma,\ b^{-1}.{}^\gamma b = a^{-1}.{}^\gamma a)
          \<=> (\forall\ \gamma\in\Gamma,\ ab^{-1} = {}^\gamma(ab^{-1}))
          \<=> (ab^{-1}\in B^\Gamma).$$
      Il suffit donc de prouver qu'il existe $b'\in B^\Gamma$ tel que $b'b\in A=\Ker u$,
      soit tel que $u(b')=u(b^{-1})$. Ceci revient \`a prouver que $u(b^{-1})\in u(B^\Gamma)=C^\Gamma$
      et cette derni\`ere propri\'et\'e r\'esulte du fait que~$f$ est \`a valeurs dans~$A$~:
      $$\forall\ \gamma\in\Gamma,\ (b^{-1}.{}^\gamma b\in A) \=>
       (u(b^{-1}.{}^\gamma b) = e_c)\=>(u(b^{-1}) = {}^\gamma u(b^{-1})).$$

\partie{V}{Partie V : exemples d'ensemles ${\cal H}(\Gamma,G)$}

\q{1a}$G$ est connexe par arcs et $J$ est une partie de~$G$ non vide, \`a la fois
      relativement ouverte et relativement ferm\'ee, donc $J=G$.

\q{1b}Tout cocycle $f$ de~$\Gamma_2$ dans~$G$ est la corestriction \`a~$G$
      d'un cocycle de~$\Gamma_2$ dans~$GL_n(\C)$ donc de la forme
      $1\I->I_n$, $-1\I->B\overline B{}^{-1}$ avec~$B\in GL_n(\C)$
      (question~{\bf IV-2)} et l'on a $B\overline B{}^{-1}=g\in G$
      puisque~$f$ est \`a valeurs dans~$G$. Alors $u\circ f(1) = I_n^2 = g.g^{-1}$
      et $u\circ f(-1) = g^2 = g.\overline g{}^{-1}$ donc le cocycle ${}^u f$
      est \'equivalent au cocycle trivial. Ceci prouve que $\tilde u([f])=0$
      pour tout~$[f]\in{\cal H}(\Gamma_2,G)$.

\q{1c}D'apr\`es~{\bf IV-5a)}, ${\cal H}(\Gamma_2,G) = \Ker\tilde u = \Im\tilde\imath$
      o\`u $i$ est l'injection canonique de~$\Ker u=\{M\in G\text{ tq }M^2=I_n\}$
      dans~$G$. $\Ker u$ est fini (question~{\bf II-1}) donc ${\cal H}(\Gamma_2,\Ker u)$
      est fini, et par suite $\Im\tilde\imath$ est fini.
      
\q{2a}Soit $M=\pmatrix{a&c\cr b&d}\in\M2\C$. Si $M\in SO_2(\C)$ alors
      si $a^2+b^2=c^2+d^2=ad-bc=1$ et $ac+bd=0$.
      La derni\`ere relation, jointe au fait que~$(a,b)\ne (0,0)$, donne $c=-kb$, $d=ka$ pour un certain $k\in\C$,
      d'o\`u en reportant~: $k=1$. Ainsi, toute matrice de~$SO_2(\C)$ est de la
      forme $M=\pmatrix{a&\llap{$-$}b\cr b&a\cr}$ avec $a,b\in\C$ et $a^2+b^2=1$.
      R\'eciproquement, toute matrice de la forme pr\'ec\'edente v\'erifie bien ${}^tMM=I_2$ et $\det(M)=1$.
      On en d\'eduit par calcul imm\'ediat que~$SO_2(\C)$ est commutatif et est stable
      par conjugaison complexe.
      \sv
      On montre que~$SO_2(\C)$ v\'erifie la condition~$(L)$ par adaptation
      de la d\'emonstration donn\'ee en~{\bf 3a)}. On prend (avec des conventions d'\'ecriture \'evidentes)~:
      $$A = \{M\in SO_2(\C)\text{ tq }\Re(a)> 0\},\qquad
       V = \{b\in\C\text{ tq }1-b^2\notin \R^-\},\qquad
       \varphi = M\I->b.$$
      Il est clair que $A$ est un ouvert relatif de~$SO_2(\C)$ et $V$ un
      ouvert de~$\C$ (identifi\'e \`a~$\R^2$ pour respecter la d\'efinition
      de la condition~$(L)$) et que~$\varphi$ est continue de~$A$ dans~$V$.
      $\varphi$ est bijective car la donn\'ee de $b\in V$ permet de calculer~$a$
      \`a partir des relations $a^2=1-b^2$ et $\Re(a)>0$~:
      $$a = \dfrac{|1-b^2| + 1-b^2}
                  {\sqrt{\vphantom(2}\,\sqrt{|1-b^2| + \Re(1-b^2)}}.$$
\goodbreak
      Cette expression montre de plus que~$\varphi^{-1}$ est continue sur~$V$.
      Ensuite on choisit un voisinage $W$ de~$(I_2,I_2)$ dans~$\M 2\C{}^2$
      tel que pour toutes matrices $M,N\in W$, le coefficient ligne~1 colonne~1
      de~$MN$ ait une partie r\'eelle strictement positive, on impose
      par r\'etr\'ecissement $W=X\times X$ o\`u $X$ est un voisinage ouvert de~$I_2$
      dans~$\M2\C$ et on prend $U=X\cap A$. L'application $(x,y)\I->\varphi(\varphi^{-1}(x).\varphi^{-1}(y))$
      est bien de classe~$\c^1$ sur~$\varphi(U)^2$ vu l'expression ci-dessus
      pour~$a$ fonction de~$b$.

\q{2b}Soit $M=\pmatrix{a&\llap{$-$}b\cr b&a\cr}\in SO_2(\C)$.
      On a $M^2=I$ si et seulement si $a^2-b^2=1$ et $2ab=0$, ce qui, joint
      \`a la condition $a^2+b^2=1$, donne $a=\pm1$, $b=0$.
      Donc $A=\{I_2,-I_2\}$.
      \sv
      Soit $f$ un cocycle de~$\Gamma_2$ dans~$A$. On a $f(1) = f(1)^2$
      d'o\`u $f(1)=I_2$. Il y a donc au plus deux cocycles de
      $\Gamma_2$ dans~$A$~:
      $$f_0 : \left\{\matrix{\phantom-1\I->\phantom-I_2\cr-1\I->\phantom-I_2\cr}\right.\qquad
        f_1 : \left\{\matrix{\phantom-1\I->\phantom-I_2\cr-1\I->-I_2\cr}\right.$$
      et on v\'erifie ais\'ement que ces deux applications conviennent.
      Elles ne sont pas \'equivalentes au sens de~{\bf IV-1)} car les seules
      valeurs autoris\'ees pour~$b$ sont $I_2$ et $-I_2$ qui ne conviennent pas.
      Il en r\'esulte que $\card({\cal H}(\Gamma_2,A))=2$.

\q{2c}On applique les r\'esultats de~{\bf IV-5)} avec $B=C=SO_2(\C)$ et $u$ : $X\I->X^2$.
      La surjectivit\'e de~$u$ r\'esulte de la proposition suivante~:
      {\it soient $a,b\in\C$ tels que $a^2+b^2=1$. Alors il existe~$\theta\in\C$,
      unique \`a un multiple entier de~$2\pi$ pr\`es, tel que $a=\cos\theta$ et $b=\sin\theta$.}
      \sv
      D\'emonstration~: $\syst{\cos\theta=a\cr\sin\theta=b\cr}
      \<=>\syst{e^{2i\theta}-\phantom i2ae^{i\theta}=-1\cr
                e^{2i\theta}-2ibe^{i\theta}=\phantom-1\cr}
      \<=>\syst{e^{2i\theta}=(a+ib)/(a-ib)\cr \rlap{$e^{i\theta}$}\phantom{e^{2i\theta}}=1/(a-ib).\hfill\cr}$
      \sv
      Ces deux derni\`eres \'equations sont compatibles puisque $(a-ib)(a+ib)=1$~;
      elles d\'eterminent la classe de congruence de~$\theta$ modulo $2\pi$
      compte tenu des propri\'et\'es de l'exponentielle complexe.
      \sv
      On en d\'eduit que $SO_2(\C)$ est l'image de~$\C$ par l'application
      $\theta\I->M(\theta)=\pmatrix{\cos\theta&-\sin\theta\cr\sin\theta&\phantom-\cos\theta\cr}$,
      ce qui prouve la connexit\'e par arcs de~$SO_2(\C)$ et donc la surjectivité
      de~$u$ (question {\bf V-1a} ou directement en constatant que~$M(\theta/2)^2=M(\theta)$
      comme dans le cas r\'eel).
      \sv
      On a $B^{\Gamma_2} = SO_2(\R)$ qui est invariant par
      l'application carr\'e pour la m\^eme raison que~$SO_2(\C)$, donc $u(B^{\Gamma_2}) = C^{\Gamma_2}$. 
      Il en r\'esulte que $0=[f_0]$ est l'unique ant\'ec\'edant de~$0$ par $\tilde\imath$
      (question~{\bf IV-5c})
      et donc que $\tilde\imath([f_1]) \ne 0$.
      Alors, d'après~{\bf IV-5b)} et~{\bf V-1b)}, ${\cal H}(\Gamma_2,SO_2(\C)) = \Ker\tilde u = \Im\tilde\imath$
      est de cardinal~$2$ puisque $\tilde\imath([f_0])\ne\tilde\imath([f_1])$.
      
\q{3} D\'ecryptons l'\'enonc\'e~:
      \sv
      L'action de~$\Gamma$ sur~$G$ est triviale, donc les cocycles de~$\Gamma$
      dans~$G$ sont les morphismes de groupes de~$\Gamma$ dans~$G$.
      Deux morphismes $f,f'$ sont \'equivalents au sens de~{\bf IV-1)} si et seulement
      s'il existe $a\in G$ tel que $f' = \varphi_a\circ f$ o\`u $\varphi_a$
      est le morphisme de conjugaison par~$a$ dans~$G$~: $x\I->axa^{-1}$. De m\^eme pour~$H$.
      \sv
      D\'eterminons d'abord ${\cal H}(\Gamma,G)$. En raisonnant sur l'image de~$1\bmod3$
      qui engendre~$\Gamma=\Z/3\Z$, on constate qu'il y a exactement trois morphismes
      de~$\Gamma$ dans~$G$~:
      $$f_0: n\bmod3\I->0\bmod3,\qquad 
        f_1: n\bmod3\I->n\bmod3,\qquad
        f_2: n\bmod3\I->2n\bmod3.$$
      Ces morphismes sont deux \`a deux non \'equivalents au sens de la conjugaison dans~$G$
      car ils sont distincts et $G$ est commutatif.
      \sv
      L'application $i$ : $n\bmod3\I->\sigma^n$ est bien d\'efinie car $\sigma$
      est d'ordre~$3$ et c'est clairement un morphisme de groupes de~$G$
      dans~$H$. C'est aussi un $\Gamma$-morphisme puisque les actions de~$\Gamma$
      sur~$G$ et~$H$ sont triviales. Les cocycles ${}^if_0, {}^if_1,{}^if_2$
      sont les applications~:
      $${}^if_0: n\bmod3\I->\id_{\{1,2,3\}},\qquad 
        {}^if_1: n\bmod3\I->\sigma^n,\qquad
        {}^if_2: n\bmod3\I->\sigma^{2n}.$$
      Si~$\tau\in H$ est une permutation quelconque alors les cocycles d\'eduits
      de ${}^if_0, {}^if_1,{}^if_2$ par conjugaison par~$\tau$ sont les applications~:
      $$\qquad\varphi_\tau\circ{}^if_0: n\bmod3\I->\id_{\{1,2,3\}},\quad 
        \varphi_\tau\circ{}^if_1: n\bmod3\I->\tau\sigma^n\tau^{-1} = (\tau\sigma\tau^{-1})^n,\quad
        \varphi_\tau\circ{}^if_2: n\bmod3\I->(\tau\sigma^2\tau^{-1})^{n}.$$
      Comme $\tau\sigma\tau^{-1}$ et $\tau\sigma^2\tau^{-1}$ sont des $3$-cycles,
      on n'a jamais $\varphi_\tau\circ{}^if_1={}^if_0$ ni
      $\varphi_\tau\circ{}^if_2={}^if_0$. Par contre, en prenant pour~$\tau$
      la transposition $(1,2)$, on a $\tau\sigma\tau^{-1}=\sigma^2$ donc
      $\varphi_\tau\circ{}^if_1={}^if_2$.
      Ainsi, $0=[{}^if_0]\ne[{}^if_1]=[{}^if_2]$, ce qui prouve que~$\tilde\imath$
      n'est pas injective bien que son noyau soit nul.

\SV\centerline{\it Fin du probl\`eme}

      
\bye

