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\newcommand{\entete}{
\begin{center}
{\bf Corrig\'e du probl\`eme ENS Ulm-Lyon 2004, fili\`ere MP.}\\
{\tiny R.Krust (romain.krust@prepas.org)}
\end{center}
}

\begin{document}

\entete

\section*{I : Actions de groupes}
\begin{enumerate}
\item $\Aut(G)$ est une partie non vide du groupe des bijections
de $G$ dans $G$ dont on sait qu'elle est stable par composition et
par passage \`a l'inverse. C'est donc un sous-groupe.

\item Parce que $\Phi$ est un morphisme et que $\Phi(\gamma) \in
\Aut(G)$, on a~:
$${}^\gamma(g_1g_2) = \Phi(\gamma)(g_1g_2) =
\Phi(\gamma)(g_1)\Phi(\gamma)(g_2) =
{}^\gamma(g_1){}^\gamma(g_2)$$
$${}^{\gamma_1 \gamma_2} g =
\Phi(\gamma_1\gamma_2)(g) = \Phi(\gamma_1) \Phi(\gamma_2)(g)=
{}^{\gamma_1}(^{\gamma_2}(g))$$
$${}^e g = \Phi(e) (g) = \id_G (g) = g$$
$${}^\gamma(e) = \Phi(\gamma)(e) = e$$
$${}^\gamma (g^{-1}) = \Phi(\gamma)(g^{-1}) = (\Phi(\gamma)(g))^{-1} = ({}^\gamma
g)^{-1}$$

\item On a clairement $\overline{\overline{M}} = M$ (donc la
conjugaison est bijective) et $\overline{M_1M_2} =
\overline{M_1}\;\overline{M_2}$. Donc $\Phi$ est \`a valeurs dans
$\Aut(G)$. De plus $\Phi(-1) \circ \Phi(-1) = \Phi(1)$ (car
$\overline{\overline{M}} = M$), donc $\Phi$ est un morphisme (les
autres \'egalit\'es sont triviales), et il s'agit bien d'une
action de $\Gamma_2$ sur $G$. Clairement aussi,
$\GL_n(\C)^{\Gamma_2} = \GL_n(\R)$.

\item
\begin{enumerate}
\item Pour tous $g \in G^\Gamma$ et $\gamma \in \Gamma$,
${}^\gamma u(g) = u({}^\gamma g) = u(g)$. Donc $u(g) \in
H^\Gamma$, ce qui prouve $G^\Gamma \subset H^\Gamma$.%
\item La r\'eponse est non, et voici un contre-exemple. On pose $G
= \frac{\Z}{4\Z}$, $H = \frac{\Z}{2\Z}$, $\Gamma =
\frac{\Z}{2\Z}$. On d\'efinit l'action de $\Gamma$ sur $G$ par (on
note $[k]_n$ la classe de $k$ modulo $n$)
$${}^{[0]_2}([k]_4) = [k]_4 \qquad {}^{[1]_2}([k]_4) = [k+2]_4$$ et celle de $\Gamma$ sur $H$ par
$${}^{[0]_2}([k]_2) = [k]_2 \qquad  {}^{[1]_2}([k]_2) = [k]_2$$
Et on choisit $u : G \to H$ d\'efini par
$\left\{\begin{array}{l}u([0]_4) = u([2]_4) = [0]_2\\ u([1]_4) =
u([3]_4) = [1]_2 \end{array}\right.$

On v\'erifie sans mal qu'il s'agit bien d'actions de groupe, et
que $u$ est un $\Gamma$-morphisme surjectif. De plus, $G^\Gamma =
\{e_G\}$, $H^\Gamma = H$ et $u(G^\Gamma) \not= H^\Gamma$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{II : Sous-groupes matriciels}
\begin{enumerate}
\item Un \'el\'ement $M$ de $G$ v\'erifie $M^2 = I_n$. Le
polyn\^ome $X^2-1$ \'etant (scind\'e) \`a racines simples, $M$ est
une matrice diagonalisable dont les valeurs propres sont parmi
$\{1, -1\}$. Mieux, $G$ \'etant commutatif, il est classique (et
l'\'enonc\'e le rappelle en fin de section "Notations et
conventions") que les \'el\'ements de $G$ sont simultan\'ement
diagonalisables, c'est-\`a-dire qu'il existe $P \in\GL_n(\C)$
telle que $P^{-1}MP$ soit diagonale pour tout $M \in G$, les
\'el\'ements diagonaux valant $1$ ou $-1$. Comme il n'y a que
$2^n$ matrices de cette forme, $G$ est fini et $|G| \leq 2^n$.

\item Soient $a = \phi(I_n)$, et $g : V_1 \to V$ d\'efinie par
$$g(x) = \phi(\phi^{-1}(x)^2) = f(x,x)$$%
$g$ est de classe $C^1$ sur $V_1$ (qui est un ouvert de $V$
contenant $a$). On note que $\forall x,y \in V$, $f(x,a) = x$,
$f(a,y) = y$. En cons\'equence, en notant $(e_1, \ldots, e_p)$ la
base canonique de $\R^p$, $$\forall k \in \of 1, p \ff,
\frac{\partial f}{\partial x_k}(a,a) = \frac{\partial f}{\partial
y_k}(a,a) = e_k$$ d'o\`u $dg_a = 2id_{\R^p}$. On a donc, puisque
$g$ est $C^1$ et $\GL(\R^p)$ ouvert, $dg_x \in \GL(\R^p)$ pour
tout $x$ appartenant \`a un certain voisinage $W \subset V_1$ de
$a$. D'apr\`es le th\'eor\`eme d'inversion locale\footnote{En
fait, pour \^etre strictement au diapason du programme en vigueur,
il faudrait prouver que $g$ est injective au voisinage de $a$, ce
qui revient \`a dire que $X \mapsto X^2$ est injective au
voisinage de $I_n$.}, $g(W)$ est un ouvert et, en particulier, $a$
est un point int\'erieur de $g(V_1)$. $\phi$ \'etant un
hom\'eomorphisme, cela montre que $I_n$ est un point int\'erieur
de $\phi^{-1}(g(V_1)) = \{M^2, M \in U\}$.

\item D\'esignons, lorsque $M \in M_n(\C)$, par $\tilde{M} \in
\M_{n-1}(\C)$ la matrice obtenue en retirant les $n$-i\`emes
lignes et colonnes de $M$. Posons $$A = \{M \in \SL_n(\R);\
\tilde{M} \in \GL_{n-1}(\C)\}$$ $A$ est un ouvert de $\SL_n(\R)$
(car $M \mapsto \tilde{M}$ est continue et $\GL_{n-1}(\C)$ ouvert
dans $\M_{n-1}(\C)$) qui contient $I_n$, et l'application $\phi :
A \to \R^{n^2-1}$ qui \`a $M$ associe la liste de ses coefficients
\`a l'exception de celui d'indice $(n,n)$~:
$$\phi(M) = (M_{i,j})_{(i,j) \not= (n,n)}$$
est clairement continue. De plus, \'etant donn\'e
$(b_{i,j})_{(i,j) \not= (n,n)} \in \R^{n^2-1}$, l'\'equation
$\phi(M) = (b_{i,j})_{(i,j)}$, $M \in A$, admet une solution
unique ($M_{i,j} = b_{i,j}$ pour $(i,j) \not= (n,n)$, et on trouve
$M_{n,n}$ en \'ecrivant $\det(M) = 1$ et en d\'eveloppant par
rapport \`a la derni\`ere colonne). L'expression qu'on obtient de
$M$ en fonction de $(b_{i,j})_{(i,j)}$ (les $M_{i,j}$ sont des
fractions rationnelles en les $(b_{i,j})$) montre que $\phi^{-1}$
est continue. $\phi$ est ainsi un hom\'eomorphisme.

Choisissons maintenant pour $U$ n'importe quel ouvert de
$\SL_n(\R)$ contenu dans $A$, contenant $I_n$, et pour lequel
$\forall (M, N) \in U,\ MN \in A$ (il en existe par continuit\'e
de $(M, N) \mapsto MN$), puis $V_1$ et $f$ comme en II.2. Alors,
compte tenu de ce qui vient d'\^etre dit, les composantes de
$f(x,y)$ sont des fractions rationnelles en les composantes de $x$
et $y$. $f$ est donc de classe $C^1$, et on a montr\'e que
$\SL_n(\R)$ v\'erifie la condition (L).

\item \begin{itemize} \item $J$ contient, en vertu de II.2., un
voisinage $W$ de $I_n$. Soit $N_0 \in J$. En utilisant la
commutativit\'e de $G$ on voit imm\'ediatement que $J$ contient
$N_0W$, qui est ouvert en tant qu'image r\'eciproque de $W$ par
l'application continue $\begin{array}{lcl} G &\to& G \\ X
&\mapsto& N_0^{-1} X
\end{array}$, et contient $N_0$. Donc $J$ est ouvert.
\item Chaque ensemble $M_0J = \{M_0X, X \in J\}$ est un ouvert de
$G$, car image r\'eciproque de $J$ par l'application continue $X
\mapsto M_0^{-1}X$. Or ces parties forment une partition  de $G$
(c'est la partition associ\'ee \`a la congruence modulo le
sous-groupe $J$ de $G$). Donc $J$, compl\'ementaire de la
r\'eunion des $M_0J$ distincts de $J$, est ferm\'e.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\section*{III : Construction de matrices inversibles}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Cherchons $\lambda$ de la forme $\lambda = e^{i\theta}$,
o\`u $\theta \in \R$. On a $\det(\lambda I_n +
\overline{\lambda}A) = e^{-in\theta}\det\left(A +
e^{2in\theta}I_n\right)$. Comme $\mu \mapsto \det(A + \mu I_n)$
est polyn\^omiale et non nulle (c'est le polyn\^ome
caract\'eristique de $A$), cette application ne poss\`ede qu'un
nombre fini de z\'eros et il existe $\theta \in \R$ tel que
$\det\left(A + e^{2in\theta}I_n\right) \not= 0$.

\item Soit $\lambda \in \C$ tel que $B = \lambda I_n +
\overline{\lambda} M \in \GL_n(\C)$. On a $M\overline{B} =
\overline{\lambda}  M + \lambda M \overline{M} =
\overline{\lambda}  M + \lambda I_n= B$, d'o\`u $M =
B\overline{B}^{-1}$.


\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item L'identit\'e et la conjugaison sont \'evidemment
\'el\'ements de $\Gamma$. Ce sont les seuls, car un \'el\'ement
$\gamma \in \Gamma$, qui est aussi une application $\R$-lin\'eaire
de $\C$ dans $\C$, est d\'etermin\'e par l'image de la base $(1,
i)$. Or $\gamma(1) = 1$ et $\gamma(i)^2 = \gamma(i^2) = \gamma(-1)
= -1$, d'o\`u $\gamma(i) = \pm i$.

\item $L$ \'etant de dimension finie sur $K$, la famille $(x^k)_{k
\in \N}$ d'\'el\'ements de $L$ est $K$-li\'ee. Donc il en existe
une combinaison lin\'eaire non triviale \`a coefficients dans $K$
de somme nulle. Ce qui \'etablit l'existence de $P \in
K[X]\setminus \{0\}$ tel que $P(X)= 0$.

\item Soit $(e_1, \ldots, e_n)$ une base du $K$-espace vectoriel
$L$. Pour chaque $k$, d\'esignons par $P_k \in K[X]$ un polyn\^ome
non nul v\'erifiant $P_k(x_k) = 0$. Une \'el\'ement $\gamma$ est
enti\`erement d\'etermin\'e par les valeurs des $\gamma(e_k)$. Or,
$\gamma$ \'etant un morphisme de corps, $P(\gamma(e_k)) =
\gamma(P(e_k)) = 0$. Donc $\gamma(e_k)$ est l'une des racines de
$P_k$, et le nombre de "choix" possibles est fini\footnote{Mais
chacun de ces choix ne correspond pas forc\'ement \`a un
\'el\'ement de $\gamma$, car si les $e_k$ sont lin\'eairement
ind\'ependants, ils ne sont pas "alg\'ebriquement ind\'ependants".
On peut en fait d\'emontrer que $\Gamma$, appel\'e groupe de
Galois de $L$ sur $K$, a un cardinal major\'e par $\dim_K(L)$.
Lorsque l'\'egalit\'e a lieu, l'extension de corps est dite
galoisienne.}. $\Gamma$ est donc fini.

\end{enumerate}

\item On raisonne par r\'ecurrence sur $r$. Le r\'esultat est
\'evident si $r=1$. Supposons-le vrai au rang $r \geq 1$. Soient
$\rho_1, \ldots, \rho_{r+1}$ des morphismes deux \`a deux
distincts de $L^*$ dans lui-m\^eme, et $\lambda_1, \ldots,
\lambda_{r+1} \in L$ tels que
$$\lambda_1 \rho_1 + \ldots + \lambda_{r+1} \rho_{r+1}=0$$
Alors, pour tous $x,y \in L^*$, en appliquant cette relation \`a
%$x$ ainsi qu'\`a
$xy$~:
$$\lambda_1 \rho_1(x)\rho_1(y) + \ldots + \lambda_{r+1}
\rho_{r+1}(x)\rho_{r+1}(y)=0 $$ Donc, pour tout $y \in L^*$,
$$\left\{\begin{array}{l}
\lambda_1 \rho_1 + \ldots + \lambda_{r+1}
\rho_{r+1}=0\\%
\lambda_1 \rho_1(y)\rho_1 + \ldots + \lambda_{r+1}
\rho_{r+1}(y)\rho_{r+1}=0 \end{array}\right.$$

En effectuant une combinaison lin\'eaire de ces deux relations~:
$$\lambda_1 (\rho_{r+1}(y) - \rho_1(y))\rho_1  + \ldots + \lambda_r (\rho_{r+1}(y) -
\rho_r(y))\rho_r=0$$

En choisissant ensuite, pour chaque $k \in \of1, r\ff$, $y$ tel
que $\rho_k(y) \not= \rho_{r+1}(y)$ et en appliquant l'hypoth\`ese
de r\'ecurrence, on voit que $\lambda_k=0$. On a montr\'e que
$(\rho_1, \ldots, \rho_{r+1})$ est libre.

\item
\begin{enumerate}
\item Pour tous $x \in L^n$ et $h \in L^*$, on
a~:
\begin{eqnarray*} 0=\theta(b(hx)) &=& \sum_{\gamma \in \Gamma}
\theta[f(\gamma) \gamma(hx)]\\%
&=&  \sum_{\gamma \in \Gamma} \theta[f(\gamma)
(\gamma(h)\gamma(x))]\\%
&=&  \sum_{\gamma \in \Gamma} \gamma(h) \theta[f(\gamma)
\gamma(x)]\\%
\end{eqnarray*}
Ceci \'etant vrai pour tout $h \in L^*$, on peut \'ecrire~:
$$\sum_{\gamma \in \Gamma} \theta[f(\gamma)
\gamma(x)]\gamma = 0$$ Les \'el\'ements de $\Gamma$ sont de $L$
dans $L$. Ils induisent donc des morphismes du groupe $L^*$ dans
lui-m\^eme, \'evidemment deux \`a deux distincts. Donc, par
III.3.,
$$\forall \gamma \in \Gamma,\ \theta[f(\gamma) \gamma(x)]=0$$ En
particulier, pour $\gamma = e_\Gamma = \id_L$~:
$$\theta[f(e_\Gamma) x]=0$$ Ceci \'etant vrai pour tout $x \in
L^n$, et parce que $f(e_\Gamma) \in \GL_n(L)$, $\theta = 0$.

\item Soit $F$ le sous-espace vectoriel de $L^n$ engendr\'e par la
famille $(b(x))_{x \in L^n}$. Si $F$ n'est pas \'egal \`a $E$, il
existe une forme lin\'eaire non nulle $\theta$ sur $L^n$ dont la
restriction \`a $F$ est nulle, ce qui contredit III.3.a. Donc $F =
E$.

\item $B(M)$ est la matrice dont le $i$-i\`eme vecteur colonne est
$b(x_i)$. Elle est donc inversible.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\section*{IV~: Cocycles}
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item R\'eflexivit\'e~: $\forall \gamma \in \Gamma,\ f(\gamma) =
e_G^{-1}f(\gamma){}^\gamma e_G$ donc $f \sim f$.

\item Sym\'etrie~: Si $\forall \gamma \in \Gamma,\ f(\gamma) =
b^{-1}f'(\gamma){}^\gamma b$, alors $\forall \gamma \in \Gamma,\
f'(\gamma) = (b^{-1})^{-1}f(\gamma){}^\gamma (b^{-1})$.

\item Transitivit\'e~: Si $\forall \gamma \in \Gamma,\ f(\gamma) =
b^{-1}f'(\gamma){}^\gamma b,\ f'(\gamma) =
(b')^{-1}f''(\gamma){}^\gamma b'$ alors\\ $\forall \gamma \in
\Gamma,\ f(\gamma) = (b'b)^{-1}f''(\gamma){}^\gamma (b'b)$
\end{itemize}

\item Les cocycles sont les applications de $\Gamma_2$ dans
$\GL_n(\C)$ qui v\'erifient
$$\begin{array}{l}
f(1) = f(1) f(1),\qquad
f(1) = f(-1) \overline{f(-1)}, \\
f(-1) = f(-1) \overline{f(1)},\qquad f(-1) = f(1) f(-1)
\end{array}$$
ce qui \'equivaut \`a $f(1) = I_n$, $f(-1)\overline{f(-1)} = I_n$.
Ils sont donc en bijection, par $f \mapsto f(-1)$, avec l'ensemble
des matrices $M$ v\'erifiant $M\overline{M} = I_n$. Et deux
cocycles $f$ et $f'$ sont \'equivalents \ssi il existe $B \in
\GL_n(\C)$ tel que, en posant $M = f(-1)$, $M' = f'(-1)$,  on ait
$M' = BM\overline{B}^{-1}$.

Soit maintenant un cocycle $f$, et $M = f(-1)$. D'apr\`es
III.1.b., il existe $B \in \GL_n(\C)$ tel que $M =
C\overline{C}^{-1} = CI_n\overline{C}^{-1}$, ce qui montre que $f$
est \'equivalente \`a $0$. Donc $\mathcal{H}(\Gamma_2, \GL_n(\C))
= \{0\}$.

\item
\begin{enumerate}
\item Soit maintenant un cocycle $f$. Il s'agit de montrer que $f$
est \'equivalent au cocycle nul. Soient, comme en III.3., $M$
telle que
 $B(M) \in \GL_n(L)$. On a, pour tout $\eta \in \Gamma$,
\begin{eqnarray*}
{}^\eta B &=& \sum_{\gamma \in \Gamma} {}^\eta f(\gamma) {}^\eta
\gamma(M)
=  \sum_{\gamma \in \Gamma} {}^\eta f(\gamma) (\eta \gamma)(M)\\
&=& \sum_{\xi \in \Gamma} {}^\eta f(\eta^{-1}\xi) \xi(M)
=  \sum_{\xi \in \Gamma} {}^\eta [f(\eta^{-1}) ({}^{\eta^{-1}} f(\xi))] \xi(M)\\
&=& {}^\eta f(\eta^{-1}) \sum_{\xi \in \Gamma}  f(\xi) \xi(M) =
{}^\eta f(\eta^{-1}) B
\end{eqnarray*}
D'o\`u\footnote{$f$ \'etant un cocycle, $f(e_\Gamma) = f(e_\Gamma
e_\Gamma) = f(e_\Gamma)\;{}^{e_\Gamma} f(e_\Gamma) =
f(e_\Gamma)^2$ d'o\`u $f(e_\Gamma) = e_G$.}
$$B^{-1}f(\eta){}^\eta B = B^{-1}f(\eta){}^\eta
f(\eta^{-1})B = B^{-1}f(\eta \eta^{-1})B = e_{\GL_n(\C)}$$ On a
montr\'e $\mathcal{H}(\Gamma, \GL_n(L)) = 0$. \item Pour $K = \R$
et $L = \C$, $\Gamma = \Gamma_2$ d'apr\`es III.2.a., l'action de
$\Gamma$ \'etant la m\^eme que celle d\'ecrite en I.3. On retrouve
donc le r\'esultat de IV.2.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item ${}^u f(\gamma_1 \gamma_2) = u(f(\gamma_1 \gamma_2)) =
u(f(\gamma_1) {}^{\gamma_1} f(\gamma_2)) = u(f(\gamma_1))
{}^{\gamma_1} u(f(\gamma_2)) = {}^u f(\gamma_1) {}^{\gamma_1}({}^u
f(\gamma_2))$.

\item Si, pour tout $\gamma \in \Gamma$, $f(\gamma) =
b^{-1}f'(\gamma){}^\gamma b$ alors $u(f(\gamma)) =
u(b)^{-1}u(f'(\gamma))u({}^\gamma b)$, donc ${}^u f(\gamma) =
u(b)^{-1}{}^u f'(\gamma){}^\gamma u(b)$ et ${}^u f \sim {}^u f'$.
\end{enumerate}







\item
\begin{enumerate}
\item Pour tous $\gamma$ in $\Gamma$ et $a \in A$, $u({}^\gamma a)
= {}^\gamma u(a) = {}^\gamma e_G = e_G$, d'o\`u ${}^\gamma a \in
\Gamma$.

\item On a, pour tout $f \in Z(\Gamma, A)$, $(\tilde{u} \circ
\tilde{i}) ([f]) = [u \circ i \circ f] = 0$ (puisque $f$ est \`a
valeurs dans $A = \ker(u)$). Donc $\im(\tilde{i}) \subset
\ker(\tilde{u})$.

R\'eciproquement, soit $f \in Z(\Gamma, B)$ tel que que $[f] \in
\ker(\tilde{u})$. Alors $[{}^u f] = 0$, et il existe $b \in C$ tel
que $b^{-1} {}^u f(\gamma){}^\gamma b = e_C$ pour tout $\gamma \in
\Gamma$. Puisque $u$ est surjective, il existe $a \in B$ tel que
$b=u(a)$, et on a $a^{-1} f(\gamma) {}^\gamma a \in \ker(u) = A$.
Si on note $g : \Gamma \to A$ l'application d\'efinie par
$g(\gamma) = a^{-1} f(\gamma) {}^\gamma a$, on v\'erifie $g \in
Z(\Gamma, A)$ et $[f] = \tilde{i}([g])$.

\item Soit $f \in Z(\Gamma, A)$ tel que $\tilde{i}([f]) = 0$. Il
existe $b \in B$ tel que $\forall \gamma \in \Gamma,\ f(\gamma) =
b^{-1}{}^\gamma b$. On souhaite montrer $[f] = 0$, c'est-\`a-dire
qu'il existe $a \in A$ tel que $\forall \gamma \in \Gamma,\
f(\gamma) = a^{-1}{}^\gamma a$. Or, puisque $f(\gamma) \in
A=\ker(u)$, $u(b)^{-1} {}^\gamma u(b) = e_C$, d'o\`u $u(b) \in
C^\Gamma$. Il existe donc $c \in B^\Gamma$ tel que $u(b) = u(c)$.
En posant $a = c^{-1}b$, on a $u(a) = e_C$, donc $a \in A$, puis,
pour tout $\gamma \in \Gamma$, $a^{-1} {}^\gamma a= b^{-1}c
{}^\gamma c^{-1} {}^\gamma b = b^{-1} {}^\gamma b = f(\gamma)$
(car $c \in B^\Gamma$).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{V~: Exemples d'ensembles $\mathcal{H}(\Gamma,
G)$}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item L'image $J$ de l'application $M \mapsto M^2$ de $G$ dans
lui-m\^eme est, d'apr\`es II.3.b. ouvert et ferm\'e. $G$ \'etant
connexe par arc, et $J$ non vide, cela entra\^ine $J = G$.

\item Les cocycles $f$ de $\Gamma_2$ dans $G$ sont, comme en
IV.2., en bijection par $f \mapsto f(-1)$ avec les \'el\'ements
$M$ de $G$ v\'erifiant $M\overline{M} = I_n$. Or, pour une telle
matrice, $M^2 = M.I_n.\overline{M}^{-1}$, donc $\tilde{u}([f]) =
0$.

\item On a, avec les notations de IV.5. et le r\'esultat de
IV.5.b., $\Im(\tilde{i}) = \ker(\tilde{u}) = \mathcal{H}(\Gamma_2,
G)$. Or $A = \{M \in G; M^2 = I_n\}$ est fini d'apr\`es II.1. Donc
$Z(\Gamma_2, A)$ aussi, ainsi que $\mathcal{H}(\Gamma_2, A)$ et,
bien s\^ur, $\Im(\tilde{i})$.

\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Soit $M = \left(%
\begin{array}{cc}
  a & c \\
  b & d \\
\end{array}%
\right) \in \M_2(\C)$. $M$ est \'el\'ement de $SO_2(\C)$ \ssi
$$\left\{\begin{array}{l}%
a^2 + b^2 = 1\\
c^2 + d^2 = 1\\
ac + bd = 0\\
ad-bc = 1
\end{array}
\right.$$ Un calcul facile montre que ces conditions sont
\'equivalentes \`a~:
$$\left\{\begin{array}{l}%
d= a\\
c = -b\\
a^2 + b^2 = 1
\end{array}
\right.$$ Et on v\'erifie imm\'ediatement
$$\left(%
\begin{array}{cc}
  a & -b \\
  b & a \\
\end{array}%
\right)\left(%
\begin{array}{cc}
  a' & -b' \\
  b' & a' \\
\end{array}%
\right) = \left(%
\begin{array}{cc}
  a' & -b' \\
  b' & a' \\
\end{array}%
\right)\left(%
\begin{array}{cc}
  a & -b \\
  b & a \\
\end{array}%
\right)$$ d'o\`u la commutativit\'e de $\SO_2(\C)$.

Montrons maintenant que $\SO_2(\C)$ v\'erifie la condition (L). Posons $$A = \left\{\left(%
\begin{array}{cc}
  a & -b \\
  b & a \\
\end{array}%
\right) \in \SO_2(\C);\ \Re(a) > 0 \right\}$$ et d\'efinissons
$\psi : A \to \C$ par $\psi(M) = b$. $A$ est un ouvert de
$\SO_2(\C)$ qui contient $I_n$, et $\psi$ une application continue
injective. L'image de $A$ par $\psi$ est $V = \C \setminus \{z \in
\C;\ 1 - z^2 \in \R_-\} = \C \setminus (]-\infty, -1] \cup [1,
+\infty[)$ qui est un ouvert de $\C$. Soit $\phi : A \to V$
l'application (bijective et continue) induite par $\psi$.

Pour voir que $\phi^{-1}$ est continue, consid\'erons la bijection
$\xi : \{a \in \C;\ \Re(a)>0 \} \to \C \setminus R_-$ d\'efinie
par $\xi(a) = a^2$. En posant $a = x + iy$, on a $\xi(a) = (x^2 -
y^2) + 2ixy$. $\xi$ est $C^1$ et sa matrice
jacobienne (en identifiant $\C$ et $\R^2$) vaut $\left(%
\begin{array}{cc}
  2x & -2y \\
  2y & 2x \\
\end{array}%
\right)$, qui est inversible en tout point. Donc $\xi$ est un
$C^1$
diff\'eomorphisme, et $\phi^{-1}(z) = \left(%
\begin{array}{cc}
  \xi^{-1}(1-z^2) & -z \\
  z & \xi^{-1}(1-z^2) \\
\end{array}%
\right)$ est de classe $C^1$.

Il ne reste plus qu'\`a choisir un ouvert $U$ de $A$ contenant
$I_n$, pour lequel $\forall (M, N) \in U,\ MN \in A$ (il en existe
par continuit\'e de $(M, N) \mapsto MN$), puis $V_1$ et $f$ comme
en II.2. On a, pour tout $(z,w) \in V_1$, $f(z,w) =
\xi^{-1}(1-w^2)z + \xi^{-1}(1-z^2)w$, donc $f$ est bien de classe
$C^1$.

\item Si $M = \left(\begin{array}{cc}
  a & -b \\
  b & a \\
\end{array}%
\right)\in A$, alors ${}^t M M = M^2 = I_2$, d'o\`u $b = 0$ et $a
= \pm 1$. Donc $A = \{I_2, -I_2\}$. Comme $A \subset M_2(\R)$,
l'action de $\Gamma_2$ sur $A$ par conjugaison est triviale
(${}^\gamma M = M$). Les cocycles sont donc les morphismes de
$\Gamma_2$ dans $A$ (il y en a deux), et, vu la commutativit\'e de
$A$, l'\'equivalence entre cocycles ($\exists b \in A; f(\gamma) =
b^{-1} f'(\gamma) {}^\gamma b$) est l'\'egalit\'e. Donc
$|\mathcal{H}(\Gamma_2, A)| = 2$.

\item Soit $f$ le cocycle non nul de $\Gamma_2$ dans $A$~: $f(1) =
I_2$, $f(-1) = -I_2$. Si $\tilde{i}[f] = 0$, alors il existe $B
\in SO_2(\C)$ tel que $-I_2 = B^{-1} I_2 \overline{B}$, d'o\`u, en
tenant compte de ${}^t BB = I_2$, ${}^t \overline{B} B = -I_2$.
C'est impossible, puisque ${}^t \overline{B} B$ est hermitienne
d\'efinie positive, tandis que $-I_2$ est hermitienne d\'efinie
n\'egative (mais l'esprit du probl\`eme \'etait plut\^ot
d'utiliser IV.5.c.). Donc $\im(\tilde{i})$ est de cardinal $2$.

Montrons maintenant, pour \'etablir la surjectivit\'e de $u$ \`a
travers V.1.a, et en vue d'utiliser IV.5., que $\SO_2(\C)$ est
connexe par arcs. $\SO_2(\C)$ est la r\'eunion des quatres parties
$$\left\{\left(\begin{array}{cc}
  a & -b \\
  b & a \\
\end{array}%
\right) \in \SO_2(\C); \Re(a) >0\right \},%
\qquad \left\{\left(\begin{array}{cc}
  a & -b \\
  b & a \\
\end{array}%
\right) \in \SO_2(\C); \Re(a) <0\right \}$$%
$$\left\{\left(%
\begin{array}{cc}
  it & -\sqrt{1+t^2} \\
  \sqrt{1+t^2} & it \\
\end{array}%
\right),\ t \in \R\right\}, \qquad \left\{\left(%
\begin{array}{cc}
  it & \sqrt{1+t^2} \\
  -\sqrt{1+t^2} & it \\
\end{array}%
\right),\ t \in \R\right\}$$
 La premi\`ere est connexe par arcs en tant qu'image par l'application
continue $\phi^{-1}$ du connexe par arc $V$. La seconde l'est pour
une raison similaire. Les troisi\`emes et quatri\`emes sont des
images de $\R$ par une application continue, donc connexes par
arcs. Enfin, $\SO_2(\R) = \left\{\left(\begin{array}{cc}
  \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
  \sin(\theta) & \cos(\theta) \\
\end{array}%
\right),\ \theta \in \R \right\}$ est connexe par arcs (image
continue de $\R$ par une application continue), contenu dans
$\SO_2(\C)$, et rencontre les quatre parties pr\'ec\'edentes. Il
en r\'esulte\footnote{Une autre possibilit\'e \'etait de montrer
que $\SO_2(\C)$ est l'image de $\C$ par l'application continue
$\theta \mapsto \left(\begin{array}{cc}
  \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
  \sin(\theta) & \cos(\theta) \\
\end{array}%
\right)$.} que $\SO_2(\C)$ est connexe par arcs.

On peut maintenant conclure $\ker(\tilde{u}) = \im(\tilde{i})$ par
IV.5.b., et $\ker(\tilde{u}) = \mathcal{H}(\Gamma_2, \SO_2(\C))$
par V.1.b. Donc $|\mathcal{H}(\Gamma_2, \SO_2(\C))|=2$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Comme $\sigma$ est d'ordre $3$, il est clair que $i$ est un
morphisme. Et vu que l'action de $\Gamma$, tant sur $G$ que sur
$H$, est triviale, $i$ est un $\Gamma$-morphisme.

Notons que $i$ \'etant injective, on peut identifier $G = \Z/3\Z$
\`a son image dans $H = S_3$, qui n'est autre que le groupe
altern\'e $A_3$, noyau du morphisme signature $\varepsilon : S_3
\to \Gamma_2$. Faisons op\'erer trivialement $\Gamma$ sur
$\Gamma_2$. Alors, comme $\varepsilon$ est surjective et comme
$\varepsilon((S_3)^\Gamma) = (\Gamma_2)^\Gamma$ (imm\'ediat),
$\tilde{i}$ est r\'eduit \`a $\{0\}$ d'apr\`es IV.5.c.

\item On identifie encore $G$ et son image $A_3$. Vu la
trivialit\'e de l'action de $\Gamma$ sur $G$ et la commutativit\'e
de $G$, les \'el\'ements de $Z(\Gamma, G)$ sont les morphismes de
$\Gamma$ dans $G$ (il y en a trois, d\'etermin\'es par l'image de
$[1]_3$)) et l'\'equivalence de deux cocycles est l'\'egalit\'e.
Soient $f_1$ et $f_2$ les deux cocycles d\'efinis par $f_1([1]_3)
= \sigma$, $f_2([1]_3) = \sigma^2$. Alors les cocycles ${}^i f_1$
et ${}^i f_2$ de $Z(\Gamma, H)$ sont \'equivalents car, en notant
$\tau$ la transposition $(2,3)$, on a $\tau^{-1} \sigma \tau =
\sigma^2$, d'o\`u $f_2(\gamma) = \tau^{-1} f_1(\gamma) \tau$ pour
tout $\gamma \in \Gamma$. Donc $\tilde{i}([f_1]) =
\tilde{i}([f_2])$ et $\tilde{i}$ n'est pas injective (alors que
son noyau est nul).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}

