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\begin{document}
\title{\'{E}preuve commune aux ENS de Paris et Cachan 2004}
\maketitle

L'objectif de ce probl\`{e}me est d'\'{e}tudier les propri\'{e}t\'{e}s de quelques espaces de fonctions p\'{e}riodiques et de quelques
transformations op\'{e}rant entre ces espaces. Dans tout l'\'{e}nonc\'{e}, $C^0_{per}$ d\'{e}signe l'ensemble des fonctions continues
p\'{e}riodiques sur $\mathbb R$, \`{a} valeurs dans $\mathbb C$, de p\'{e}riode $2\pi $, et plus g\'{e}n\'{e}ralement pour tout 
$s\in \mathbb N$, $C^s_{per}$ est l'ensemble des fonctions $s$ fois contin\^{u}ment d\'{e}rivables, p\'{e}riodiques de p\'{e}riode $2\pi $.
Enfin $C^{\infty}_{per}$ est l'ensemble des fonctions infiniment d\'{e}rivables.

Pour tout $n\in \mathbb Z$ on d\'{e}finit sur $\mathbb R$ la fonction $e_n$ par $e_n(x)=e^{inx}$. Pour une fonction
$\varphi\in C^0_{per}$, on d\'{e}finit pour tout $n\in \mathbb Z$, son $n$-i\`{e}me coefficient de Fourier par
\[
c_n(\varphi)=\dfrac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }\varphi(x)e_n(-x)\dd x.
\]
On rappelle que pour de telles fonctions,
\[
\int_{0}^{2\pi }|\varphi(x)|^{2}\dd x=2\pi \sum\limits_{n\in \mathbb Z}^{}|c_n(\varphi)|^{2}.
\]
On utilisera \'{e}galement les deux r\'{e}sultats suivants~:

\medskip

\noindent
{\it R\'{e}sultat 1}~: Soit $f(n,m)$ une application de $\mathbb Z^{2}$ vers $\mathbb C$. Soit
\[
a_n=\sum\limits_{m\in \mathbb Z}^{}|f(n,m)|.
\]
Si $\sum_{n\in \mathbb Z}^{}a_n$ converge alors
\[
\sum\limits_{m\in \mathbb Z}^{}\left(\sum\limits_{n\in \mathbb Z}^{}f(n,m)\right)
=\sum\limits_{n\in \mathbb Z}^{}\left(\sum\limits_{m\in \mathbb Z}^{}f(n,m)\right).
\]

\medskip

\noindent
{\it R\'{e}sultat 2}~: Soit $f(x,n)$ une application continue par morceaux de $[0,2\pi ] {\times} \mathbb Z$ vers $\mathbb C$.
On suppose que la s\'{e}rie de fonctions $\sum_{n\in \mathbb Z}^{}f(.,n)$ converge simplement sur $[0,2\pi ]$ vers une
fonction continue par morceaux not\'{e}e $f$. On suppose que la s\'{e}rie $\sum_{n\in \mathbb Z}^{}\int_{0}^{2\pi }|f(x,n)|\dd x$
converge. Alors
\[
\int_{0}^{2\pi }f(x)\dd x=\sum\limits_{n\in \mathbb Z}^{}\int_{0}^{2\pi }f(x,n)\dd x.
\]

Introduisons maintenant quelques notations. Pour $\varphi\in C^0_{per}$ et pour $p\in [1,+\infty[$, on note
\[
N_p(\varphi)=\left(\int_{0}^{2\pi }|\varphi(x)|^p\dd x\right)^{1/p}.
\]
On note de plus
\[
N_{\infty}(\varphi)=\sup_{0\le x\le 2\pi }|\varphi(x)|.
\]
Pour $s\in \mathbb R$ et pour $\varphi\in C^0_{per}$, on d\'{e}finit $\|\varphi\|_s$ par
\[
\|\varphi\|_s=\sqrt{\sum\limits_{n\in \mathbb Z}^{}|c_n(\varphi)|^{2}(1+n^{2})^s}
\]
si cette s\'{e}rie converge et par $\|\varphi\|_s=+\infty$ sinon. Enfin, on pose~:
\[
H^s=\{\varphi\in C^0_{per}\ |\ \|\varphi\|_s<+\infty\}.
\]


                         \medskip

{\large\bf Partie I}

                         \medskip

Cette partie est consacr\'{e}e \`{a} l'\'{e}tude des premi\`{e}res propri\'{e}t\'{e}s des fonctions $N_p$ et des ensembles $H^s$.

\begin{enumerate}
  %I.1
  \item[1)] Montrer qu'il existe une constante $C_{\infty}$ telle que
  \[
  \forall \varphi\in C^0_{per},\ N_2(\varphi)\le C_{\infty}N_{\infty}(\varphi).
  \]
  
  \medskip

  %I.2
  \item[2)] Montrer que
  \[
  \forall \varphi\in C^0_{per},\ N_4(\varphi)\le N_2(\varphi)^{1/2}N_{\infty}(\varphi)^{1/2}.
  \]
  
  \medskip

  %I.3
  \item[3)] Soit $s>1/2$. Montrer qu'il existe une constante $C(s)$ telle que
  \[
  \forall \varphi\in C^1_{per},\ N_{\infty}(\varphi)\le C(s)\|\varphi\|_{s}.
  \]
  
  \medskip

  %I.4
  \item[4)] Soit $\varphi(x)$ la fonction p\'{e}riodique de p\'{e}riode $2\pi $ qui vaut $\pi -|x|$ pour $-\pi <x<\pi $.
  Calculer $c_n(\varphi)$. Pour quelles valeurs de $p$ a-t-on $\varphi\in C^p_{per}$~?
  Pour quelles valeurs de $s$ a-t-on $\varphi\in H^s$~?
  
  \medskip

  %I.5
  \item[5)] Montrer qu'il n'existe pas de constante $C$ telle que
  \[
  \forall \varphi\in C^0_{per},\ N_{\infty}(\varphi)\le CN_2(\varphi).
  \]
  
  \medskip

  %I.6
  \item[6)] Montrer que si $\varphi\in C^1_{per}$, alors $\varphi\in H^1$.
  
  \medskip

  %I.7
  \item[7)] Donner un exemple de fonction $\varphi\in C^0_{per}$, telle que $\|\varphi\|_1<+\infty$ mais qui ne soit pas
  $C^1_{per}$.
  
  \medskip

  %I.8
  \item[8)] On fixe $s$ un r\'{e}el positif.
  \begin{enumerate}
    \item[8.1)] Montrer que $C^{\infty}_{per}\subset H^s$ et que $\|.\|_s$ d\'{e}finit une norme sur l'espace vectoriel 
    $C^{\infty}_{per}$.
    
    \medskip
    
    \item[8.2)] Montrer que $\|.\|_s$ est une norme associ\'{e}e \`{a} un produit hermitien $<.,.>_s$ sur $C^{\infty}_{per}$
    que l'on pr\'{e}cisera.
    
    \medskip
    
    \item[8.3)] Trouver une famille $(g_n;n\in \mathbb Z)$ d'\'{e}l\'{e}ments de $C^{\infty}_{per}$ orthonorm\'{e}e pour $<.,.>_s$ et
    telle que $\vect(g_n;n\in \mathbb Z)$ est dense dans $C^{\infty}_{per}$ pour $\|.\|_s$.
    
    \medskip
    
    \item[8.4)] Soit $p\in \mathbb Z$. On d\'{e}finit pour tout $\varphi\in C^{\infty}_{per}$ l'application
    $M_p(\varphi)=e_p\varphi$. Montrer que $M_p$ est un endomorphisme continu de $(C^{\infty}_{per},\|.\|_s)$ et montrer
    que pour $p\ne {\pm}1$,
    \[
    \sup\{\|M_p(\varphi)\|_s,\ \varphi\in C^{\infty}_{per}\ : \|\varphi\|_s=1\}=(1+p^{2})^{s/2}.
    \]
    Calculer la valeur de ce supremum pour $p={\pm}1$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

                        \medskip

{\large\bf Partie II}

                         \medskip

Une fonction de deux variables $a(x,\xi)$, de $\mathbb R {\times} \mathbb R$ vers $\mathbb C$, p\'{e}riodique de p\'{e}riode $2\pi $
en la premi\`{e}re variable $x$, est appel\'{e}e symbole d'ordre $m$ pour $m$ dans $\mathbb Z$ s'il existe une constante $A$
telle que pour tout $x\in \mathbb R$ et tout $\xi\in \mathbb Z$,
\[
|a(x,\xi)|\le A(1+|\xi|)^m
\]
et si de plus pour tous $\alpha ,\beta \in \mathbb N$, il existe une constante $A_{\alpha ,\beta }$ telle que
\[
|\partial ^{\beta }_x\partial ^{\alpha }_{\xi}a(x,\xi)|\le A_{\alpha ,\beta }(1+|\xi|)^{m-\alpha }.
\]
Soit $a$ un symbole d'ordre $m$. On d\'{e}finit pour tout $\varphi\in C^{\infty}_{per}$ la fonction $T_a\varphi$ par
\[
(T_a\varphi)(x)=\sum\limits_{n\in \mathbb Z}^{}a(x,n)c_n(\varphi)e_n(x).
\]
L'objectif de cette partie est d'\'{e}tudier les propri\'{e}t\'{e}s de $T_a$.

\begin{enumerate}
  %II.1
  \item[]
  \begin{enumerate}
    \item[1.1)] V\'{e}rifier que $T_a$ est un endomorphisme de $C^{\infty}_{per}$.
    
    \medskip
    
    \item[1.2)] Dans cette question on suppose que $\varphi$ est seulement $C^p_{per}$. Montrer que si $p$ est assez
    grand par rapport \`{a} $m$, alors $T_a\varphi$ est correctement d\'{e}finie et est dans $C^0_{per}$.
  \end{enumerate}
  
  \medskip

  %II.2
  \item[2)] On suppose que $a(x,\xi)=\alpha (x)$ ne d\'{e}pend pas de la seconde variable et est une fonction $C^{\infty}$,
  $2\pi $-p\'{e}riodique. V\'{e}rifier que $a$ est un symbole d'ordre 0. Calculer $T_a\varphi$.
  
  \medskip

  %II.3
  \item[3)] V\'{e}rifier que $a(x,\xi)=i\xi$ (avec $i^{2}=-1$) est un symbole d'ordre 1. Pour $\varphi\in C^{\infty}_{per}$, calculer
  $T_{i\xi}\varphi$. Calculer de m\^{e}me $T_{\xi^{2}}\varphi$.
  
  \medskip

  %II.4
  \item[4)] Dans cette question $m=0$.
  \begin{enumerate}
    \item[4.1)] Soit pour $p\in \mathbb Z$
    \[
    \hat a(p,\xi)=\dfrac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }a(x,\xi)e_p(-x)\dd x.
    \]
    Montrer que pour tout $N\in \mathbb N$ il existe une constante $A_N\in \mathbb R$ telle que
    \[
    |\hat a(p,\xi)|\le \dfrac{A_N}{(1+|p|)^N}
    \]
    pour tout $p$ et tout $\xi$.
    
    \medskip
    
    \item[4.2)] Pour tout $p\in \mathbb Z$, on d\'{e}finit sur $\mathbb R {\times} \mathbb R$ la fonction $f_p(x,\xi)=\hat a(p,\xi)$,
    qui ne d\'{e}pend donc pas de la premi\`{e}re variable. Montrer que pour tout $y\in \mathbb R$
    \[
    T_a\varphi(y)=\sum\limits_{p\in \mathbb Z}^{}e_p(y).(T_{f_p}\varphi)(y).
    \]
    
    \medskip
    
    \item[4.3)] Montrer qu'il existe une constante $C_0$, d\'{e}pendant de $a$, telle que
    \[
    \|T_a\varphi\|_0\le C_0\|\varphi\|_0,\ \forall \varphi \in C^{\infty}_{per}.
    \]
    
    \medskip
    
    \item[4.4)] Soit $s$ un r\'{e}el positif. Montrer qu'il existe une constante $C_s$, d\'{e}pendant de $a$, telle que
    \[
    \|T_a\varphi\|_s\le C_s\|\varphi\|_s,\ \forall \varphi\in C^{\infty}_{per}.
    \]
  \end{enumerate}
  
  \medskip

  %II.5
  \item[5)] Dans cette question, $m$ d\'{e}signe un entier strictement positif. Soit $b(\xi)=1+i\xi$. Exprimer tr\`{e}s
  simplement $(T_b)^{-1}$ puis calculer $T_a(T_b)^{-m}$. En d\'{e}duire que pour tout $s\ge 0$ il existe une constante
  $C_s$ telle que
  \[
  \|T_a\varphi\|_s\le C_s\|\varphi\|_{s+m},\ \forall \varphi\in C^{\infty}_{per}.
  \]
  
  \medskip

  %II.6
  \item[6)] Dans cette question, $m$ est un entier strictement n\'{e}gatif. Montrer que pour tout $s\ge 0$ il existe une constante
  $C_s$ telle que pour tout $\varphi\in C^{\infty}_{per}$,
  \[
  \|T_a\varphi\|_s\le C_s\|\varphi\|_{s+m}.
  \]
\end{enumerate}

                        \medskip

{\large\bf Partie III}

                         \medskip

Cette partie est consacr\'{e}e \`{a} l'\'{e}tude de la compos\'{e}e de deux endomorphismes $T_a$ et $T_b$ o\`{u} $a$ est un symbole
d'ordre $m$ et $b$ un symbole d'ordre $m'$.

\begin{enumerate}
  %III.1
  \item[1)] Montrer que $a(x,\xi)b(x,\xi)$ est un symbole. Quel est son ordre~?
  
  \medskip

  %III.2
  \item[2)] On suppose dans cette question que $a$ ne d\'{e}pend que de $x$ et que $b$ ne d\'{e}pend que de $\xi$. V\'{e}rifier que
  \[
  T_{ab}=T_a\circ T_b.
  \]
  Comparer $T_{ab}$ et $T_b\circ T_a$ (donner des exemples).
  
  \goodbreak

  %III.3
  \item[3)] Cette question est consacr\'{e}e au calcul de $T_a\circ T_b$.
  \begin{enumerate}
    \item[3.1)] Montrer que $T_a(T_b\varphi)(x)$ peut s'\'{e}crire sous la forme
    \[
    T_a(T_b\varphi)(x)=\dfrac{1}{2\pi }\sum\limits_{m}^{}\int_{0}^{2\pi }c(x,m)e^{im(x-z)}\varphi(z)\dd z
    \]
    o\`{u}
    \[
    c(x,m)=\sum\limits_{n\in \mathbb Z}^{}a(x,n+m)\hat b(n,m)e^{ixn}.
    \]
    
    \medskip
    
    \item[3.2)] Dans le cas o\`{u} $a$ est un polyn\^{o}me en $\xi$ (les coefficients \'{e}tant des fonctions p\'{e}riodiques de $x$),
    montrer que $T_c=T_a\circ T_b$ o\`{u}
    \[
    c=\sum\limits_{n\ge 0}^{}\dfrac{(\partial ^n_{\xi}a).(\partial ^n_x b)}{i^nn!}.
    \]
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

                        \medskip

{\large\bf Applications}

                         \medskip


Cette partie est consacr\'{e}e \`{a} l'utilisation des endomorphismes d\'{e}finis dans les parties pr\'{e}c\'{e}dentes pour r\'{e}soudre des
\'{e}quations diff\'{e}rentielles. Soient $f(x)$ et $g(x)$ deux fonctions $C^{\infty}_{per}$, et soit $\psi(x)\in C^0_{per}$.
On cherche \`{a} r\'{e}soudre l'\'{e}quation suivante en $\varphi$
\begin{equation*}
-f(x)\varphi''(x)+g(x)\varphi(x)=\psi(x).
\tag{1}
\end{equation*}
On suppose de plus que $f(x)>0$ et $g(x)>0$ pour tout $x$.

\begin{enumerate}
  %IV.1
  \item[1)] Montrer que (1) peut se r\'{e}\'{e}crire
  \[
  T_a\varphi=\psi
  \]
  et expliciter $a$. Quel est l'ordre du symbole $a$~?
  
  \medskip

  %IV.2
  \item[2)] V\'{e}rifier que $a^{-1}$ est un symbole. Quel est son ordre~?
  
  \medskip

  %IV.3
  \item[3)] Trouver $\varphi_1$ tel que $T_a\varphi_1-\psi\in H^1$.
  
  \medskip

  %IV.4
  \item[4)] Montrer que pour tout $n\in \mathbb N$, il existe $\varphi_n$ tel que $T_a\varphi_n-\psi\in H^n$.
\end{enumerate}

\end{document}
