%Mines MP 2004 : Premi\`ere Composition
%Pierre F\'evrier. Lyc\'ee Pasteur. Neuilly/Seine.



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\def\se{\mathrel{\hbox{\ineg >}}} % >= fran\c{c}ais







% Gestion "\`a la main" : si la font msbm existe
% peut adopter les d\'efinitions suivantes :
\font\bbw=msbm10 % N, Z, D, Q, R, C, H, F \'eclair\'es, vide plus joli
\def\N{\hbox{\bbw N}} \def\Z{\hbox{\bbw Z}}
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% Enfin, on peut utiliser celles qui suivent :
%\def\N{\mbox{$ I \! \! N $}}
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%\def\nN{\mbox{$ \N^{\ast} $}}
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{\tit{Mines MP 2004 : Premi\`ere Composition}}

\tit { Calcul d'une int\'egrale }
\prt{I}
\begin{enumerate}
\item $\varphi$  est bien d\'efinie sur $\R ^*$. Lorsque $t$ tend vers 0,
$\arctan t\sim t$ et $e^{\pi t}-1\sim \pi t$  donc
$ \varphi (t)$ tend vers $1/ \pi $.

\cadre{$\varphi $ se prolonge par continuit\'e en 0 en posant $ \varphi
(0)=1/ \pi $ }

\item $ \varphi $ est de classe $C^1$ sur $D$, de d\'eriv\'ee $ \varphi
'(t)=\quo{e^{\pi t}}{(e^{\pi t}-1)^2}\psi (t)$
o\`u $ \psi $ est la fonction de l'\'enonc\'e. $ \varphi '(t)$ est du signe
de $\psi (t)$.

Etudions les variations de $ \psi $: $ \psi $ est $C^1$ sur $D$ et $ \psi
'(t)=-\quo{1-e^{-\pi t}}{(1+t^2)^2}[ \pi (1+t^2)+2t]<0$ sur $D$.
$ \psi $ est ainsi strictement d\'ecroissante sur $D$ et de limite 0 en 0,
donc elle est strictement n\'egative sur $D$ et $ \varphi
'$ aussi.

$\varphi  $ est donc strictement d\'ecroissante sur $D$ et de limite $1/
\pi $ en 0:

\cadre{$\sup\limits_D \varphi (t)=1/ \pi $ .}

\item $ \varphi $ est continue sur $D$.

 Elle se prolonge par continuit\'e en 0 donc elle est int\'egrable sur $]0,1]$.

Quand $t$ tend vers $+ \infty $, $ \varphi (t)\sim \quo{ \pi }{2}e^{-\pi
t}$ donc $ \varphi (t)=o(1/t^2)$ donc $ \varphi $
est int\'egrable sur $[1,+ \infty [$.

$ \varphi $ est ainsi int\'egrable sur $D$:

\cadre{l'int\'egrale $I$ existe.}



\item $ \forall t\in D  \quad \varphi (t)=\quo{e^{-\pi t}}{1-e^{-\pi
t}}\arctan t$.

Puisque $e^{-\pi t}\in [0,1[$ ,\quad  $\quo{e^{-\pi t}}{1-e^{-\pi
t}}=\sum\limits_{k=1}^{ \infty }e^{-k\pi t}$ \quad
et \quad  $ \varphi (t)=\sum\limits_{k=1}^{ \infty }e^{-k\pi t}\arctan t$.

Il s'agit d'une s\'erie de fonctions continues et positives sur $D$ dont la
somme $ \varphi $ est int\'egrable sur $D$.
Donc (th\'eor\`eme de convergence monotone appliqu\'e aux s\'eries) chaque
int\'egrale $\nt 0{ \infty }e^{-k\pi t}\arctan t
dt$  existe (ce qui est d'ailleurs imm\'ediat),  la s\'erie
$\sum\limits_{k=1}^{ \infty }\nt 0{ \infty }e^{-k\pi t}\arctan
t dt$ converge, et
$I$ en est la somme.

En r\'esum\'e, on peut int\'egrer terme \`a terme:

\cadre{$I=\so{k=1}{ \infty }\nt 0{ \infty }e^{-k\pi t}\arctan t dt$}

Int\'egrons par parties:

$\nt 0{ \infty }e^{-k\pi t}\arctan t dt=\lim\limits_{X \rightarrow \infty }
(\big[\quo{e^{-k\pi t}}{-k \pi }\arctan t \big]_0^X+
\quo{1}{k \pi }\nt 0X\quo{e^{-k\pi t}}{1+t^2 }dt$)

Le crochet a pour limite 0 en $+ \infty $ donc toutes les limites existent:

$\nt 0{ \infty }e^{-k\pi t}\arctan t dt=\quo{1}{k \pi }\nt 0{ \infty
}\quo{e^{-k\pi t}}{1+t^2 }dt$.

 On conclut:

\cadre{$I=\so{k=1}{ \infty }\quo{1}{k \pi }\nt 0{ \infty }\quo{e^{-k\pi
t}}{1+t^2 }dt$}

\vfill\eject

\prt{II}
\item Posons, pour $(x,t)\in \R^2$, $ \alpha (x,t)= \alpha _x(t)=\quo{e^{-x
t}}{1+t^2 }$.

Pour tout $x$ r\'eel, $ \alpha _x\in C(\R_+,\R_+)$.

Pour $x<0$, $\lim\limits_{t \rightarrow  \infty }\alpha _x(t)=+ \infty $
donc $ \alpha _x$ est non int\'egrable sur $\R_+$
et $f(x)$ n'est pas d\'efini.

Pour $x\geq 0$ , $0\leq \alpha _x(t)\leq\quo{1}{1+t^2}$ donc $ \alpha _x$
est int\'egrable sur $\R_+$, $f(x)$ est d\'efini.

\cadre{Le domaine de d\'efinition de $f$ est $\R_+$}

$ \alpha \in C(\R_+\times \R_+,\R)$ et $ \vert \alpha (x,t) \vert \leq
\beta (t)=\quo{1}{1+t^2 }$ avec $ \beta $ continue int\'egrable
sur $\R_+$ ind\'ependante de $x$.

Dans ces conditions:

\cadre{ $f$ est continue sur $\R_+$}

Enfin $0\leq f(x)\leq\nt{0}{\infty }e^{-xt}dt=1/x$ donc:

\cadre{ $\lim\limits_{x \rightarrow  \infty }f(x)=0$}



\item Soit $[a,b]$ un segment inclus dans $\R_+^*$.

$ \alpha $ admet des d\'eriv\'ees partielles $\quo{ \partial \alpha }{
\partial x}(x,t)=\quo{-te^{-x t}}{1+t^2 }$ et
 $\quo{ \partial ^2\alpha }{ \partial x^2}(x,t)=\quo{t^2e^{-x t}}{1+t^2 }$
toutes deux continues, ainsi que $ \alpha $ sur
$\R_+^*\times\R_+$.

Chacune d'elles satisfait sur $[a,b]$ \`a une hypoth\`ese de domination par
une fonction int\'egrable sur $\R_+$:

$\vert \alpha (x,t)\vert \leq e^{-a t}$ , $\vert \quo{ \partial \alpha }{
\partial x}(x,t)\vert \leq be^{-a t}$ et $\vert \quo{
\partial ^2\alpha }{ \partial x^2}(x,t)\vert  \leq b^2e^{-a t}$ (par exemple).

Le th\'eor\`eme de Leibniz s'applique:




\cadre{$f$ est de classe $C^2$ sur $\R_+^*$ et $f'$ et $f''$ se calculent
en d\'erivant sous l'int\'egrale.}

En particulier $f''(x)=\nt 0{ \infty }\quo{t^2e^{-x t}}{1+t^2 }dt$ d'o\`u:

\cadre{$f''(x)+f(x)=\nt 0{ \infty }e^{-x t}dt=1/x$.}


\item Par parties: $S(X)=\big[-\quo{\cos t}{t}\big]_a^X-\nt aX\quo{\cos
t}{t^2}dt$.

D'une part, $\lim\limits_{X \rightarrow  \infty }\quo{\cos X}{X}=0$.

D'autre part, $t \longmapsto  \quo{\cos t}{t^2}$ est int\'egrable sur $[a,+
\infty [$ (continue et domin\'ee par $1/t^2$).

Donc:

\cadre{$\lim\limits_{X \rightarrow  \infty }S(X)$ existe. Il en est de
m\^eme pour $\lim\limits_{X \rightarrow  \infty }C(X)$.}


\item L'\'equation homog\`ene $y''+y=0$ admet (cos, sin) pour syst\`eme
fondamental de solutions.

La m\'ethode de variation des constantes donne les solutions de $y''+y=1/x$
sous la forme $A(x)\cos x + B(x)\sin x$
 o\`u $A$ et $B$ sont $C^1$ avec $A'(x)\cos x + B'(x)\sin x=0 $ et
$-A'(x)\sin x + B'(x)\cos x=1/x$.

Donc $A'(x)=-\quo 1x\sin x$ et $B'(x)=\quo 1x\cos x$, d'o\`u $A(x)=g(x)+C$
et $B(x)=-h(x)+D$, $C$ et $D$ constantes r\'eelles.

\cadre{ La solution g\'en\'erale de $y''+y=1/x$ est $x \longmapsto
g(x)\cos x - h(x)\sin x +C\cos x  + D\sin x , (C,D)\in \R^2$.}



\item $f$ est de la forme pr\'ec\'edente et, de plus, $\lim\limits_{x
\rightarrow  \infty }f(x)=0$.

Or $\lim\limits_{x \rightarrow  \infty }g(x)=\lim\limits_{x \rightarrow
\infty }h(x)=0$. cos et sin \'etant born\'ees,
$\lim\limits_{x \rightarrow  \infty }(g(x)\cos x - h(x)\sin x)=0$.

Le couple $(C,D)$ associ\'e \`a $f$ v\'erifie donc $\lim\limits_{x
\rightarrow  \infty }(C\cos x +D\sin x)=0$.

Avec $x=2n \pi $
puis $x=2n \pi + \pi /2$, il vient $C=D=0$.

Donc $f(x)=g(x)\cos x - h(x)\sin x=\nt x{ \infty }\quo{\sin t\cos x - \cos
t\sin x}{t}dt=\nt x{ \infty }\quo{\sin (t -  x)}{t}dt$.

Les changements de variable affines $u \longmapsto  t=u+x$ puis $v
\longmapsto  u=xv$ ($x>0$) donnent alors les expressions
demand\'ees:

\cadre{ $f(x)=\nt 0{ \infty }\quo{\sin u}{u+x}du=\nt 0{ \infty }\quo{\sin (
xv)}{1+v}dv$.}

 \prt{III}

\item La question 4. a montr\'e : $I=\so{k=1}{ \infty }\quo 1{k \pi }f(k
\pi )$.

On vient de voir que $f(k \pi )=\nt 0{ \infty }\quo{\sin u}{u+k \pi }du=\nt
0{ \infty }\quo{\sin kv}{v+ \pi }dv$ \quad (par
$v \longmapsto  u=kv$).


 \cadre{$I=\so{k=1}{ \infty }\quo 1{k \pi }\nt 0{ \infty }\quo{\sin ku}{u+
\pi }du$.}

\item i) Commen\c cons par une int\'egration par parties:

$\nt 0{ \infty }\quo{\sin ku}{u+ \pi }du=\lim\limits_{X \rightarrow \infty
}  (\big[-\quo{\cos ku}{k( \pi +u)}\big]_0^X-\nt
OX\quo{\cos ku}{k( \pi +u)^2}du)$.

Les limites existent pour des raisons d\'ej\`a rencontr\'ees:

$\nt 0{ \infty }\quo{\sin ku}{u+ \pi }du=\quo{1}{k \pi }-\nt O{ \infty
}\quo{\cos ku}{k( \pi +u)^2}du$

donc $I=\so{k=1}{ \infty }(\quo 1{k^2 \pi ^2}-\nt O{ \infty }\quo{\cos
ku}{\pi k^2( \pi +u)^2}du)$.

On sait que cette s\'erie converge et  $\so{k=1}{ \infty }\quo 1{k^2 \pi
^2}$ aussi. Donc on peut \'ecrire:

 {\cadre{$I=\quo 1{ \pi ^2}\so{k=1}{ \infty }\quo 1{k^2 }-\quo 1{ \pi
}\so{k=1}{ \infty }\nt O{ \infty }\quo{\cos ku}{ k^2(
\pi +u)^2}du$.}}

ii) Pour obtenir le r\'esultat demand\'e, on utilise le th\'eor\`eme
d'int\'egration terme \`a terme sur un intervalle quelconque pour la s\'erie
de fonctions  $\so{k\geq 1}{  }\quo{\cos ku}{ k^2(\pi +u)^2}=\so{k\geq 1}{
\infty }\varphi _k(u)$.

Chaque fonction $\varphi _k$ est continue sur $\R_+$, et int\'egrable sur
$\R_+$ car $ \vert  \varphi _k(u) \vert \leq \quo 1{k^2
(\pi+u)^2}=O( \quo 1{ u^2})$.


La s\'erie $\so{k\geq 1}{ \infty }\varphi _k(u)$ est convergente pour tout
$u\in \R_+$ car $ \vert  \varphi _k(u) \vert \leq 1/k^2 \pi
^2$ et cette majoration \'etablit m\^eme la convergence normale sur $\R_+$.
Chaque fonction $\varphi _k$ \'etant continue sur $\R_+$, il
en est de m\^eme de la somme $S$ de la s\'erie.

Enfin $\nt 0{ \infty }\vert  \varphi _k(u) \vert du \leq \nt 0{ \infty
}\quo {du}{k^2 (\pi+u)^2}=\quo 1{k^2\pi }$ ,
donc la s\'erie $\so{k\geq 1}{  }\nt 0{ \infty }\vert  \varphi _k(u) \vert
du $ converge.

Dans ces conditions, $S$ est int\'egrable sur $\R_+$ et
$\nt 0{ \infty }  S(u)  du=\so{k= 1}{ \infty  }\nt 0{ \infty }  \varphi
_k(u) du $.

$I$ devient donc:


{\cadre{$I=\quo 1{ \pi ^2}\so{k=1}{ \infty }\quo 1{k^2 }-\quo 1{ \pi }\nt
O{ \infty }\quo{1}{(\pi +u)^2}(\so{k=1}{ \infty }\quo{\cos
ku}{ k^2})du$.}}


\item La d\'efinition de $G$ est coh\'erente avec la $2 \pi
$-p\'eriodicit\'e requise car $G(2 \pi )=\quo{ \pi ^2}{6}=G(0)$.

La restriction de $G$ au {\underline{segment}} $[0,2 \pi ]$ est continue
(car polynomiale), ce qui assure la continuit\'e de $G$ sur
$\R$.

De plus, la restriction de $G$ \`a chaque segment $[2k \pi , 2(k+1) \pi ]$
est de classe $C^1$, donc $G$ est $C^1$ par morceaux sur
$\R$.

Ces propri\'et\'es assurent (th\'eor\`eme de convergence normale) que la
s\'erie de Fourier de $G$ est normalement convergente sur $\R$ et que
$G$ en est la somme.

Pour $x\in [0,2 \pi ]$ , $G(x)=\quo{ \pi ^2}{6}-\quo{ 1}{4}x(2 \pi -x)$ ,
d'o\`u $G(2 \pi -x)=G(x)$ et par $2 \pi $-p\'eriodicit\'e
$G( -x)=G(x)$. Les deux membres \'etant  $2 \pi $-p\'eriodiques, cette
\'egalit\'e sur $[0,2 \pi ]$ entraine l'\'egalit\'e sur $\R$:

 \cadre{  $ G$ est paire.}

Par suite, les coefficients $b_n(G)$ sont nuls.

$a_0(G)=\quo{ 2}{\pi }\nt 0 { \pi }(\quo{ x^2}{4}-\quo{ \pi x}{2}+ \quo{
\pi ^2}{6})dx=\quo{ 2}{\pi }(\quo{ \pi ^3}{12}-\quo{
\pi ^3}{4}+ \quo{ \pi ^3}{6})=0$.

Pour $n\geq 1$ , $a_n(G)=\quo{ 2}{\pi }\nt 0 { \pi }(\quo{ x^2}{4}-\quo{
\pi x}{2}+ \quo{ \pi ^2}{6})\cos nx dx$.

Par parties: $a_n(G)=-\quo{ 2}{\pi n}\nt 0 { \pi }(\quo{ x}{2}- \quo{ \pi
}{2})\sin nx dx$ \quad (le crochet est nul).

Par parties \`a nouveau: $a_n(G)=-\quo{ 2}{\pi n}\bigg[-(\quo{ x}{2}- \quo{
\pi }{2})\quo{\cos nx}{n}\bigg]_0^{ \pi }+\quo{ 2}{\pi
n}\nt 0 {
\pi }-\quo{ 1}{2} \quo{ \cos nx }{n} dx$ .

Et finalement $a_n(G)=\quo{ 1}{ n^2}$ \quad  (l'int\'egrale est nulle).

La s\'erie de Fourier de $G$ est donc $\so{n\geq 1}{  }\quo { \cos nx}{
n^2}$  (on constate bien, comme pr\'evu, sa convergence normale).

On a d\'ej\`a dit que $G$ en est la somme:

\cadre{$\forall x\in \R \quad G(x)=\so{n=1}{ \infty }\quo { \cos nx}{ n^2}$.}



\item On vient de justifier que $\forall x\in [0,2 \pi ] \quad
T(x)=G(x)=\quo{ x^2}{4}-\quo{ \pi x}{2}+ \quo{ \pi ^2}{6}$.

En particulier, pour $x=0$:

\cadre{$\so{n=1}{ \infty }\quo {1}{ n^2}=\quo{ \pi ^2}{6}$}

\item Par translation sur la variable et $2 \pi $-p\'eriodicit\'e de $G$:

$a_k=\nt {2k \pi } { 2(k+1)\pi }\quo{G(u)}{( \pi +u)^2} du=\nt {0} { 2\pi
}\quo{G(u)}{( \pi +2k\pi +u)^2} du$.

Par parties, puisque, sur $[0,2 \pi ]$ , $G'(u)=\quo{u- \pi }{2}$:
$a_k=\bigg[-\quo{G(u)}{\pi +2k\pi +u} \bigg]_0^{2 \pi } +\nt {0} { 2\pi
}\quo{u- \pi }{2( \pi +2k\pi +u)} du$.

En \'ecrivant $u- \pi=\pi +2k\pi +u-(2 \pi +2k \pi )$ :

$a_k=\quo{ \pi }{6}(\quo{1}{2k+1}-\quo{1}{2k+3}) +\pi -\nt {0} { 2\pi
}\quo{2 \pi +2k \pi  }{2( \pi +2k\pi +u)} du$.

Et finalement:

 \cadre{$a_k=\quo{ \pi }{6}(\quo{1}{2k+1}-\quo{1}{2k+3}) +\pi -(k+1)\pi
\ln(\quo{2k+3}{2k+1})$.}

\item L'existence de $\nt 0{ \infty }\quo{1}{(\pi +u)^2}(\so{k=1}{ \infty
}\quo{\cos ku}{ k^2})du$ garantit la convergence de
la s\'erie $\so{k\geq 0}{ }a_k$ et l'\'egalit\'e:

 $\so{k=0}{ \infty }a_k=\nt 0{ \infty }\quo{1}{(\pi +u)^2}(\so{k=1}{ \infty
}\quo{\cos
ku}{ k^2})du.$

Avec le calcul de
$\so{n=1}{\infty }\quo {1}{ n^2}=\quo{ \pi ^2}{6}$ , l'expression de
$I$ obtenue au 11. se transforme donc en:

$I=\quo 16-\quo 1{ \pi }\so{k=0}{ \infty }a_k=\quo 16-\quo 1{ \pi
}\so{k=0}{ \infty }\bigg(\quo{ \pi
}{6}(\quo{1}{2k+1}-\quo{1}{2k+3}) +\pi -(k+1)\pi \ln(\quo{2k+3}{2k+1})\bigg)$.

Or $\so{k=0}{ \infty }(\quo{1}{2k+1}-\quo{1}{2k+3}) =1 $ (s\'erie
t\'elescopique), donc:

\cadre{$I=\so{k=0}{ \infty }(-1+(k+1) \ln(\quo{2k+3}{2k+1}))$ et cette
s\'erie converge comme $\so{k\geq 0}{}a_k.$}



\item Soit donc
$E_N=exp(I_N)=e^{-N}\po{n=0}{N-1}\bigg(\quo{2n+3}{2n+1}\bigg)^{n+1}=
e^{-N}\quo{\prod\limits_{n=1}^{N}(2n+1)^{n}}{\prod\limits_{n=0}^{N-1}(2n+1)^{n+1
}}$.

En simplifiant:
$E_N=e^{-N}\quo{(2N+1)^{N}}{\po{n=0}{N-1}(2n+1)}$.

Le d\'enominateur est
$1.3.5...(2N-1)=\quo{(2N)!}{2.4...(2N)}=\quo{(2N)!}{2^NN!}$ donc
$E_N=e^{-N}\quo{2^NN!(2N+1)^{N}}{(2N)!}$.

Avec la formule de Stirling: \quad $N!\sim_{ \infty
}\sqrt{2 \pi N}N^Ne^{-N}$\quad  et \quad $(2N)!\sim_{ \infty }\sqrt{4 \pi
N}(2N)^{2N}e^{-2N}$.

D'o\`u $E_N\sim_{ \infty }\quo{1}{\sqrt{2}}\quo{(2N+1)^N}{(2N)^N}=\quo{1}{\sqrt{2}}\big(1+\quo{1}{2N}\big)^N$
.

Comme $\lim\limits_{N \infty }\big(1+\quo{1}{2N}\big)^{2N}=e$, on obtient
$\lim\limits_{N \infty }E_N=\sqrt{\quo{e}{2}}$.

$I=\lim\limits_{N \infty }I_N=\lim\limits_{N \infty }\ln(E_N)$ donc:

{\cadre{$I=\quo{1}{2}(1-\ln 2)$}}





\item $\quo{1}{e^{2 \pi t}-1}=\quo{1}{(e^{ \pi t}-1)(e^{ \pi
t}+1)}=\quo{1}{2}\bigg(\quo{1}{e^{ \pi t}-1}-\quo{1}{e^{ \pi
t}+1}\bigg)$.

D\`es lors, les int\'egrabilit\'es \'etant acquises; $J=\quo{1}{2}(I-K)$
donc $K=I-2J$.

Avec la valeur fournie pour $J$:

\cadre{$K=\quo{1}{2}(\ln \pi -1)$}


\end{enumerate}

\term

\end{document}

