\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}


%Macros perso
\renewcommand{\leq}{\,\leqslant\,}
\renewcommand{\geq}{\,\geqslant\,}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\segment}[2]{\left [ #1, #2 \right ]}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}
\newcommand{\bsup}[2]{\sup_{#1}\limits #2}
\newcommand{\D}{\mathop{\rm{} d}}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3  \ \D #4}}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}



%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\Roman{enumi}.}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\arabic{enumii}.} }
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\alph{enumiii}.} }


SESSION 2004

\begin{center}
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
\end{center}

\begin{center}
{\large {\'E}PREUVE SP{\'E}CIFIQUE -- FILI{\`E}RE MP}
\end{center}

\begin{center}\rule{4cm}{1pt}\end{center}

\begin{center}
{\Large MATH{\'E}MATIQUES 1}
\end{center}

\bigskip
\begin{center}\textbf{Dur{\'e}e : 4 heures}\end{center}

\bigskip
\hrule

\begin{center}
\textit{Les calculatrices \textbf{sont interdites}.}
\end{center}

\begin{center}* * *\end{center}


NB : Le candidat attachera la plus grande importance {\`a} la clart{\'e}, {\`a} la pr{\'e}cision et {\`a} la concision de la r{\'e}daction.

Si un candidat est amen{\'e} {\`a} rep{\'e}rer ce qui peut lui sembler {\^e}tre une erreur d'{\'e}nonc{\'e}, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a {\'e}t{\'e} amen{\'e} {\`a} prendre.

\bigskip
\textbf{{\large {\`A} propos de l'hypoth{\`e}se {\og}de classe $C^{1}$ par morceaux{\fg} du th{\'e}or{\`e}me de convergence normale d'une s{\'e}rie de Fourier {\dots}}}

\medskip
Pour toute fonction $f : \R \rightarrow \R$, continue par morceaux et de p{\'e}riode $2\pi$, on associe ses coefficients de Fourier exponentiels d{\'e}finis, pour $n \in \Z$, par $c_{n}(f) = \dfrac{1}{2\pi} \integ{0}{2\pi}{f(t) e^{-int}}{t}$ et ses coefficients de Fourier trigonom{\'e}triques d{\'e}finis par :

$a_{n}(f) = \dfrac{1}{\pi} \integ{0}{2\pi}{f(t) \cos{(nt)}}{t}$ (pour $n \in \N$) et $b_{n}(f) = \dfrac{1}{\pi} \integ{0}{2\pi}{f(t) \sin{(nt)}}{t}$ (pour $n \in \N^{*}$).

On pose, pour tout entier naturel $p$ et tout r{\'e}el $x$ :

\centerline{$S_{p}(f)(x) = \somme{n=-p}{p}{c_{n}(f) e^{inx}} = \dfrac{a_{0}}{2} + \somme{n=1}{p}{ \left(a_{n}(f) \cos{(nx)} + b_{n}(f) \sin{(nx)}\right)}$.}

On rappelle le \textbf{th{\'e}or{\`e}me de convergence normale} :

Si $f : \R \rightarrow \R$ est une fonction continue de p{\'e}riode $2 \pi$ et de classe $C^{1}$ par morceaux, la s{\'e}rie de Fourier de $f$ converge normalement vers la fonction $f$ sur $\R$.

Ainsi, la fonction $f$ est limite uniforme de la suite de polyn{\^o}mes trigonom{\'e}triques $\left(S_{p}(f)\right)_{p\in\N}$.

\medskip
Nous allons {\'e}tudier ce qui peut se produire si on enl{\`e}ve {\`a} ce th{\'e}or{\`e}me l'hypoth{\`e}se {\og}de classe $C^{1}$ par morceaux{\fg}.

Une premi{\`e}re partie d{\'e}montre des r{\'e}sultats pr{\'e}liminaires.

Une deuxi{\`e}me partie traite d'un exemple o{\`u}, sans l'hypoth{\`e}se {\og}de classe $C^{1}$ par morceaux{\fg}, la s{\'e}rie de Fourier peut diverger.

Une troisi{\`e}me partie recherche une condition plus faible pour que, sans l'hypoth{\`e}se {\og}de classe $C^{1}$ par morceaux{\fg}, on puisse quand m{\^e}me assurer que la s{\'e}rie de Fourier de $f$ converge uniform{\'e}ment vers la fonction $f$ sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item %Partie I.
\textbf{R{\'e}sultats pr{\'e}liminaires}

\begin{enumerate}
\item %I.1.
Si, dans le th{\'e}or{\`e}me de convergence normale ci-dessus, on suppose que la fonction $f$ n'est pas continue mais seulement continue par morceaux sur $\R$ :
\begin{enumerate}
\item Rappeler le th{\'e}or{\`e}me de Dirichlet en pr{\'e}cisant de quel type de convergence il s'agit.
\item Cette convergence pourrait-elle {\^e}tre uniforme sur $\R$ ?
\end{enumerate}

\item %I.2.
On consid{\`e}re la fonction continue $\varphi : \R \rightarrow \R$, de p{\'e}riode $2 \pi$ , paire et d{\'e}finie pour $x \in \segment{0}{\pi}$, par $\varphi(x) = \sqrt{x}$.

Donner l'allure de la courbe de cette fonction et expliquer pourquoi elle n'est pas de classe $C^{1}$ par morceaux sur $\R$.

\item %I.3.
\textbf{Th{\'e}or{\`e}me de Ces{\`a}ro}

Soit $(u_{n})_{n\in\N}$ une suite de complexes qui converge vers le complexe $l$.
\begin{enumerate}
\item Justifier, simplement, en utilisant un th{\'e}or{\`e}me de sommation de relations de comparaison, que : 
$\somme{k=0}{n}{\left(u_{k} - l\right)} = o(n+1)$ au voisinage de $+{\infty}$.
\item En d{\'e}duire que la suite $\left(\dfrac{u_{0}+u_{1} + {\dots} +u_{n}}{n+1}\right)$ converge vers $l$.
\end{enumerate}

\item %I.4.
Soit une fonction $f : \R \rightarrow \R$ continue et de p{\'e}riode $2\pi$ dont la somme de Fourier de rang $n$ est not{\'e}e $S_{n}(f)$.
Pour $n$ entier naturel non nul, on d{\'e}finit la somme de Fej{\'e}r de $f$ de rang $n$, not{\'e}e $\sigma_{n}(f)$ comme la moyenne de Ces{\`a}ro des sommes de Fourier :

\centerline{$\sigma_{n}(f) = \dfrac{1}{n+1} \left(S_{0}(f) + S_{1}(f) + {\dots} + S_{n}(f)\right)$.}

On d{\'e}montre, \textit{\textbf{et nous l'admettrons}}, le \textbf{th{\'e}or{\`e}me de Fej{\'e}r} :

{\og}La suite de polyn{\^o}mes trigonom{\'e}triques $\left(\sigma_{n}(f)\right)$ converge uniform{\'e}ment sur $\R$ vers la
fonction f{\fg}.

\textbf{Une application} :

Si $f : \R \rightarrow \R$ est une fonction continue et de p{\'e}riode $2\pi$ telle que la suite $\left(S_{n}(f)\right)$ converge
simplement sur $\R$, montrer que la suite $\left(S_{n}(f)\right)$ converge vers la fonction $f$.

\item %I.5.
Si $(u_{n})$ est une suite de r{\'e}els positifs qui converge vers $0$, montrer qu'il existe une suite de r{\'e}els $(d_{n})$ d{\'e}croissante et de limite nulle telle que, pour tout entier naturel $n$, $0 {\leq} u_{n} {\leq} d_{n}$ (on pourra, par exemple, v{\'e}rifier que la suite $\left(\sup{\set{u_{k}, k {\geq} n}}\right)$ convient).
\end{enumerate}


\item %Partie II. 
\textbf{Un exemple de S{\'e}rie de Fourier divergente (en un point)}


On consid{\`e}re la suite de fonctions $(f_{n})$ d{\'e}finies sur l'intervalle $\segment{0}{\pi}$ pour tout entier naturel non nul $n$ par : 
$f_{n}(x) = \dfrac{1}{n^{2}} \sin{\left [\left(2^{n^{3}} + 1\right) \dfrac{x}{2}\right ]}$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumii}{5}
\item %II.6.
Montrer que la s{\'e}rie de fonctions $\somme{n{\geq}1}{}{f_{n}}$ converge normalement sur $\segment{0}{\pi}$.

\medskip
On d{\'e}finit alors la fonction $f$ paire, continue, de p{\'e}riode $2 \pi$ sur $\R$ et telle que pour tout r{\'e}el $x \in \segment{0}{\pi}$, $f(x) = \somme{n=1}{+{\infty}}{f_{n}(x)}$.

\item %II.7.
On pose, pour $p$ et $k$ entiers naturels, $I_{p,k} = \integ{0}{\pi}{\cos{(pt)} \sin{\left(\dfrac{2k+1}{2} t\right)}}{t}$ et, pour $q$ entier naturel, $T_{q, k} = \somme{p=0}{q}{I_{p,k}}$.
\begin{enumerate}
\item %II.7.a.
Calculer, pour $p$ et $k$ entiers naturels, l'int{\'e}grale $I_{p,k}$.
\item %II.7.b.
Pour $q$ et $k$ entiers naturels, d{\'e}terminer un r{\'e}el positif $c_{k}$ tel que $T_{q, k} = c_{k} + \somme{j=k-q}{k+q}{\dfrac{1}{2j+1}}$, et en d{\'e}duire que, pour tout couple $(q, k)$ d'entiers naturels, $T_{q, k} {\geq} 0$.
\item %II.7.c.
D{\'e}terminer, pour $N$ au voisinage de $+{\infty}$ , un {\'e}quivalent simple de $\somme{k=0}{N}{\dfrac{1}{2k+1}}$.

d. En d{\'e}duire que, pour $k$ au voisinage de $+{\infty}$ , $T_{k,k} \sim \dfrac{1}{2} \ln{k}$.
\end{enumerate}

\item %II.8.
Montrer que, pour $p$ entier naturel non nul, $a_{p}(f) = \dfrac{2}{\pi} \somme{n=1}{+{\infty}}{\dfrac{1}{n^{2}} I_{p,2^{n^{3}-1}}}$.

\item %II.9.
Montrer que, pour $p$ entier naturel non nul, $S_{2^{p^{3}-1}}(f)(0) {\geq} \dfrac{-a_{0}(f)}{2} + \dfrac{2}{\pi p^{2}} T_{2^{p^{3}-1}, 2^{p^{3}-1}}$

(on remarquera que : $\dfrac{a_{0}}{2} + \somme{i=1}{N}{a_{i}} = - \dfrac{a_{0}}{2} + \somme{i=0}{N}{a_{i}}$).

Conclure que la suite $\left(S_{n}(f)(0)\right)$ diverge.
\end{enumerate}

\item %Partie III.
\textbf{Fonctions {\`a} variation born{\'e}e, Th{\'e}or{\`e}me de Jordan}

Pour deux r{\'e}els $a < b$ on note $S_{\segment{a}{b}}$ l'ensemble des subdivisions de l'intervalle $\segment{a}{b}$.

Si $f$ est une fonction de $\segment{a}{b} \rightarrow \R$ et $\sigma = \left(x_{0}, x_{1}, {\dots}, ,x_{n}\right) \in S_{\segment{a}{b}}$, on note :

\centerline{$V\left(\sigma, f\right) = \somme{i=0}{n-1}{\abs{f\left(x_{i+1}\right) -f\left(x_{i}\right)}}$.}

On dira que la fonction $f$ est {\`a} variation born{\'e}e s'il existe un r{\'e}el positif $M$ tel que pour toute $\sigma \in S_{\segment{a}{b}}$, l'on ait : $V\left(\sigma, f\right) {\leq} M$.

On appelle alors \textbf{variation totale} de $f$ sur $\segment{a}{b}$ le r{\'e}el positif not{\'e} :

\centerline{$V\left(\segment{a}{b}, f\right) = \bsup{\theta \in S_{\segment{a}{b}}}{V\left(\sigma, f\right)}$.}


\begin{enumerate}
\setcounter{enumii}{9}
\item %III.10.
Montrer que la fonction $f : \segment{0}{1} \rightarrow \R$ d{\'e}finie par $f(0) = 0$ et $f(x) = x \cos{\left(\dfrac{\pi}{2x}\right)}$ si $x {\neq} 0$ est continue et n'est pas {\`a} variation born{\'e}e sur $\segment{0}{1}$.

(on pourra choisir $\sigma = \left(x_{k}\right)_{0{\leq}k{\leq}n+1}$ subdivision de $\segment{0}{1}$ : $x_{0} = 0$, $x_{n+1} = 1$ et $\forall k \in \set{1, {\dots}, n}, x_{k} = \dfrac{1}{2 \left(n+1-k\right)}$).

\item %III.11.
Exemples g{\'e}n{\'e}raux
\begin{enumerate}
\item %III.11.a.
Montrer qu'une fonction $f : \segment{a}{b} \rightarrow \R$ qui est monotone est {\`a} variation born{\'e}e sur $\segment{a}{b}$, et pr{\'e}ciser $V\left(\segment{a}{b}, f\right)$.

\item %III.11.b.
Montrer qu'une fonction $f : \segment{a}{b} \rightarrow \R$ qui est somme de deux fonctions monotones est {\`a} variation born{\'e}e sur $\segment{a}{b}$.

\item %III.11.c.
Montrer qu'une fonction $\segment{a}{b} \rightarrow \R$ qui est continue et de classe $C^{1}$ par morceaux est {\`a} variation born{\'e}e.
\end{enumerate}

\item %III.12.
Soit une fonction $f : \segment{a}{b} \rightarrow \R$ {\`a} variation born{\'e}e sur $\segment{a}{b}$, et soit $a < c < b$.

Montrer que chacune des restrictions de $f$ aux intervalles $\segment{a}{c}$ et $\segment{c}{b}$ est {\`a} variation born{\'e}e et
que : $V\left(\segment{a}{c}, f\right) + V\left(\segment{c}{b}, f\right) {\leq} V\left(\segment{a}{b}, f\right)$.

\textit{Remarque :} on peut m{\^e}me montrer qu'il y a {\'e}galit{\'e} mais ce ne sera pas utile pour ce probl{\`e}me.

\item %III.13.
Soit $f : \R \rightarrow \R$ une fonction continue et de p{\'e}riode $2 \pi$ telle que la restriction de $f$ {\`a} l'intervalle $\segment{0}{2 \pi}$ soit {\`a} variation born{\'e}e.

Pour $n$ entier relatif et $N$ entier naturel, tous deux non nuls, on utilisera la subdivision $\sigma = (x_{k})_{0{\leq}k{\leq}\abs{n}N}$ de $\segment{0}{2\pi}$ d{\'e}finie, pour $k$ entier compris entre $0$ et $\abs{n} N$ , par : $x_{k} = \dfrac{2\pi k}{\abs{n}N}$.

Pour $k$ entier compris entre $1$ et $\abs{n} N$ , on notera $V_{k}(f)$ la variation totale de $f$ sur l'intervalle $\segment{x_{k-1}}{x_{k}}$.
\begin{enumerate}
\item %III.13.a.
V{\'e}rifier que : $\abs{\somme{k=1}{\abs{n}N}{\integ{x_{k-1}}{x_{k}}{\left(f(t) - f(x_{k})\right) e^{-int}}{t}}} {\leq} \somme{k=1}{\abs{n}N}{V_{k}(f) \left(x_{k} - x_{k-1}\right)}$.

\item %III.13.b.
Montrer que : $\abs{\somme{k=1}{\abs{n}N}{\integ{x_{k-1}}{x_{k}}{f(x_{k}) e^{-int}}{t}}} {\leq} \dfrac{1}{\abs{n}} V\left(\segment{0}{2\pi}, f\right)$.

\item %III.13.c.
En d{\'e}duire que pour tout entier $n$ non nul, $\abs{c_{n}(f)} {\leq} \dfrac{V\left(\segment{0}{2\pi}, f\right)}{2 \abs{n} \pi}$.
\end{enumerate}

\item %III.14.
Soit $(u_{n})$ une suite de complexes, on pose, pour tout entier naturel $n$,

\centerline{$S_{n} = \somme{j=0}{n}{u_{j}}$ et $\sigma_{n} = \dfrac{S_{0} + S_{1} + {\dots} + S_{n}}{n+1}$.}

On suppose que la suite $(\sigma_{n})$ converge vers un complexe $L$ et on suppose qu'il existe une constante r{\'e}elle $A$ non nulle telle que, pour tout entier naturel $k$, $\abs{u_{k}} {\leq} \dfrac{A}{k+1}$.
\begin{enumerate}
\item %III.14.a.
Pour $n$ et $k$ entiers naturels non nuls, exprimer, {\`a} l'aide des termes de la suite $(u_{i})$, l'expression : 
$k \left(S_{n} - L\right) - (n+k) \left(\sigma_{n+k-1} - L\right) + n \left(\sigma_{n-1} - L\right)$.

\item %III.14.b.
Soit une suite de r{\'e}els $(d_{n})$ d{\'e}croissante et de limite nulle telle que, pour tout entier naturel $n$, $\abs{\sigma_{n} - L} {\leq} d_{n}$, montrer que, pour $n$ et $k$ entiers naturels non nuls :

\centerline{$\abs{S_{n} - L} {\leq} \left(1 + \dfrac{2n}{k}\right) d_{n-1} + A \dfrac{k-1}{2 (n+2)}$.}

\item %III.14.c.
L'entier naturel non nul $n$ {\'e}tant donn{\'e}, on choisit $k$ tel que $(k-1)^{2} {\leq} 4 n^{2} d_{n-1} < k^{2}$
($k-1$ est donc la partie enti{\`e}re de $2 n \sqrt{d_{n-1}}$).

Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :

$\abs{S_{n} - L} {\leq} d_{n-1} + (1 + A) \sqrt{d_{n-1}}$.

Que peut-on en d{\'e}duire ?
\end{enumerate}

\item %III.15.
Montrer que la s{\'e}rie de Fourier d'une fonction $f : \R \rightarrow \R$ continue et de p{\'e}riode $2 \pi$ telle que la restriction de $f$ {\`a} l'intervalle $\segment{0}{2\pi}$ soit {\`a} variation born{\'e}e converge uniform{\'e}ment vers la fonction $f$.

\item %III.16.
Montrer que la s{\'e}rie de Fourier de la fonction $\varphi$ de la question \textbf{2.} converge uniform{\'e}ment sur $\R$ vers la fonction $f$.

\item %III.17.
\textit{Application}

Montrer que la s{\'e}rie de Fourier d'une fonction $f : \R \rightarrow \R$, de p{\'e}riode $2 \pi$ et lipschitzienne converge uniform{\'e}ment sur $\R$ vers la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{flushright}
\textbf{Fin de l'{\'e}nonc{\'e}}
\end{flushright}



\end{document}
