\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}


%Macros perso
\renewcommand{\leq}{\,\leqslant\,}
\renewcommand{\geq}{\,\geqslant\,}
\newcommand{\egalA}{\mathop{=}_{\tiny A}\limits }
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\tq}{\mid}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}
\newcommand{\bmax}[2]{\max_{#1} \limits{#2}}
\newcommand{\norme}[1]{\left \| #1 \right \|}
\newcommand{\normeinf}[1]{\left \| #1 \right \|_{{\infty}}}
\newcommand{\matrice}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\newcommand{\transpose}[1]{{}^{t}\!#1}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\D}{\mathop{\rm{} d}}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3  \ \D #4}}
\newcommand{\systeme}[1]{\left \{ \begin{array}{l}  #1 \end{array} \right.}



%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}. }
\renewcommand{\labelitemi}{$\blacktriangleright$}

SESSION 2004

\begin{center}
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
\end{center}

\begin{center}
{\large {\'E}PREUVE SP{\'E}CIFIQUE -- FILI{\`E}RE MP}
\end{center}

\begin{center}\rule{4cm}{1pt}\end{center}

\begin{center}
{\Large MATH{\'E}MATIQUES 2}
\end{center}

\bigskip
\begin{center}\textbf{Dur{\'e}e : 4 heures}\end{center}

\bigskip
\hrule

\begin{center}
\textit{Les calculatrices \textbf{sont interdites}.}
\end{center}

\begin{center}* * *\end{center}


NB : Le candidat attachera la plus grande importance {\`a} la clart{\'e}, {\`a} la pr{\'e}cision et {\`a} la concision de la r{\'e}daction.

Si un candidat est amen{\'e} {\`a} rep{\'e}rer ce qui peut lui sembler {\^e}tre une erreur d'{\'e}nonc{\'e}, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a {\'e}t{\'e} amen{\'e} {\`a} prendre.


\begin{center}\textbf{{\large Fonctions de matrices}}\end{center}

\underline{Notations} :
\begin{enumerate}
\item %Notation 1
Les $\R$-alg{\`e}bres suivantes sont consid{\'e}r{\'e}es au cours de ce texte :
\begin{itemize}
\item L'alg{\`e}bre $M_{n}(\R)$ des matrices carr{\'e}es r{\'e}elles d'ordre $n$.
\item Si $I$ est un intervalle de $\R$, d'int{\'e}rieur non vide, on note $C_{I}^{{\infty}}$ l'alg{\`e}bre commutative des fonctions de classe $C^{{\infty}}$ de $I$ dans $\R$.
\item L'alg{\`e}bre des fonctions polynomiales de $I$ dans $\R$ est usuellement identifi{\'e}e {\`a} l'alg{\`e}bre $\R[X]$.
\end{itemize}

\item %Notation 2.
On y rencontre aussi les $\R$-espaces vectoriels suivants :
\begin{itemize}
\item L'espace des colonnes r{\'e}elles {\`a} $n$ lignes not{\'e} $M_{n,1}(\R)$.
\item L'espace $\R_{N}[X] = \set{P \in \R[X] \tq \deg{P} {\leq} N}$, o{\`u} $N \in \N$.
\end{itemize}

\item %Notation 3.
Les notions de convergence dans $M_{n,1}(\R)$ et $M_{n}(\R)$ sont relatives aux normes respectives :
\begin{itemize}
\item $\normeinf{X} = \bmax{1{\leq}k{\leq}n}{\abs{x_{k}}}$, si $X = \transpose{\left [x_{1}, {\dots}, x_{n}\right ]}$.
\item $\norme{M} = n \bmax{1{\leq}i,j{\leq}n}{\abs{m_{i,j}}}$, si $M = \left [m_{i,j}\right ]_{\stackrel{1{\leq}i{\leq}n}{1{\leq}j{\leq}n}}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{Objectifs du probl{\`e}me}

Lorsque $P \in \R[X]$ et $A \in M_{n}(\R)$, on sait donner un sens {\`a} la matrice $P(A)$ et l'on ma{\^i}trise bien le calcul polynomial sur $A$ qui en r{\'e}sulte.
En particulier, si $M$ est une matrice de $M_{n}(\R)$, on appelle $\textsc{polyn{\^o}me minimal}$ de $M$ le polyn{\^o}me unitaire $P$ de plus bas degr{\'e} tel que $P(M) = 0$ ; il est imm{\'e}diat (et on l'admettra) qu'il s'agit du polyn{\^o}me minimal de l'endomorphisme $u$ de $\R^{n}$ dont $M$ est la matrice dans la base canonique de $\R^{n}$.

Dans un premier temps, ce texte propose de donner un sens {\`a} la matrice $f(A)$ \textsc{pour toute fonction $f$ de classe} $C^{{\infty}}$, et cela moyennant des hypoth{\`e}ses convenables sur la matrice $A$.

Autrement dit, on apprend {\`a} ma{\^i}triser un certain calcul fonctionnel sur $A$.

Dans un second temps, on exploite ces r{\'e}sultats pour r{\'e}soudre un syst{\`e}me diff{\'e}rentiel lin{\'e}aire.

\clearpage
\underline{Notations fix{\'e}es pour tout le probl{\`e}me} :

\begin{itemize}
\item On consid{\`e}re une matrice $A$ de $M_{n}(\R)$ et l'on \textsc{suppose} que son polyn{\^o}me minimal $\Pi_{A}$ peut {\^e}tre {\'e}crit sous la forme : $\Pi_{A}(X) = \left(X-\lambda_{1}\right)^{m_{1}} {\dots} \left(X - \lambda_{r}\right)^{m_{r}}$ avec : $r {\geq} 1$ ; les $\lambda_{j}$ sont des
\textsc{r{\'e}els} distincts ; les $m_{j}$ sont dans $\N^{*}$.
On note alors $m = \somme{1{\leq}j{\leq}r}{}{m_{j}}$ le degr{\'e} de $\Pi_{A}$.

\item On consid{\`e}re aussi un intervalle $I$ de $\R$, d'int{\'e}rieur non vide et contenant tous les $\lambda_{j}$.
\end{itemize}

\medskip
La matrice $A$ et l'intervalle $I$ sont particularis{\'e}s dans les divers exemples trait{\'e}s au cours du probl{\`e}me.


\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{enumi}.} }
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\alph{enumii})} }

\bigskip
\textbf{Pr{\'e}liminaires :}
\begin{enumerate}
\item %Pr{\'e}liminaires 1.
{\'E}tablir que pour $X$ dans $M_{n,1}(\R)$ et $M$ dans $M_{n}(\R)$, on a : $\normeinf{MX} {\leq} \norme{M} \ \normeinf{X}$.
\item %Pr{\'e}liminaires 2.
Soit $\mathcal{M}$ un sous-espace vectoriel de dimension $d {\geq} 1$ de $M_{n}(\R)$, et soit $\beta = \left(B_{1}, {\dots}, B_{d}\right)$ une base de $\mathcal{M}$.
\begin{enumerate}
\item %2.a)
Montrer que l'on d{\'e}finit une norme $\mathcal{N}$ sur $\mathcal{M}$ en posant $\mathcal{N}(M) = \bmax{1{\leq}k{\leq}d}{\abs{x_{k}}}$, si 

$M = \somme{1{\leq}k{\leq}d}{}{x_{k} B_{k}}$ est la d{\'e}composition de l'{\'e}l{\'e}ment $M$ de $\mathcal{M}$ sur la base $\beta$.
\item %2.b)
Justifier l'existence de constantes r{\'e}elles strictement positives $a$ et $b$ v{\'e}rifiant :

$\forall M \in \mathcal{M}, a \norme{M} {\leq} \mathcal{N}(M) {\leq} b \norme{M}$.

\item %2.c)
Soit $(M_{p})_{p\in\N}$ une suite d'{\'e}l{\'e}ments de $\mathcal{M}$ ; on note $M_{p} = \somme{1{\leq}k{\leq}d}{}{x_{p}(k) B_{k}}$ la d{\'e}composition de $M_{p}$ sur $\beta$.
Montrer que la suite $(M_{p})_{p\in\N}$ converge vers $0$ dans $\left(M_{n}(\R), \norme{\cdot}\right)$ si et seulement si \textsc{chaque suite r{\'e}elle} $\left(x_{p}(k)\right)_{p\in\N}$ ($k = 1, {\dots}, d$) converge vers $0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{{\Large I � Une relation d'{\'e}quivalence sur $C_{I}^{{\infty}}$}}

On convient de dire que des fonctions $f$ et $g$ de $C_{I}^{{\infty}}$ {\og}co{\"i}ncident sur le spectre de $A${\fg} lorsque :

$\forall j \in \set{1, {\dots}, r}, \forall k \in \set{0, {\dots}, m_{j}-1}, f^{(k)}\left(\lambda_{j}\right) = g^{(k)}\left(\lambda_{j}\right)$.
Ce que l'on r{\'e}sume par la notation $f \egalA g$.

Un exemple : si $\Pi_{A}(X) = X^{2} (X+1)$ la notation $f \egalA g$ signifie : $f(0) = g(0)$, $f'(0) = g'(0)$ et $f(-1) = g(-1)$

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item %I.3.
Soient $\ell$ dans $\N^{*}$, $\lambda$ dans $I$ et $f$ dans $C_{I}^{{\infty}}$ v{\'e}rifiant : $f^{(k)}(\lambda) = 0$ pour $k = 0, 1, 2, {\dots}, \ell-1$.
\begin{enumerate}
\item %I.3.a)
{\'E}tablir l'identit{\'e} : $\forall x \in�I, f(x) = \integ{\lambda}{x}{\dfrac{(x-u)^{\ell-1}}{(\ell-1)!} f^{(\ell)}(u)}{u}$.

\item %I.3.b)
En d{\'e}duire {\`a} l'aide d'un changement de variable, l'existence d'une fonction $h$ v{\'e}rifiant :
\begin{itemize}
\item[\textbf{(1)}] $\forall x \in I, f(x) = (x-\lambda)^{\ell} h(x)$
\item[\textbf{(2)}] $h \in C_{I}^{{\infty}}$
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item %I.4.
Soient $f$ et $g$ dans $C_{I}^{{\infty}}$.
\begin{enumerate}
\item %I.4.a)
On suppose : $\exists h \in C_{I}^{{\infty}}, f = g + h \Pi_{A}$.

En consid{\'e}rant les d{\'e}riv{\'e}es successives de $f-g$, {\'e}tablir que $f \egalA g$.

\item %I.4.b)
On suppose $f \egalA g$ ; en exploitant le \textbf{3.} justifier l'existence de $h$ dans $C_{I}^{{\infty}}$ v{\'e}rifiant :

$f = g + h \Pi_{A}$.
\end{enumerate}

\item %I.5.
Soient $P$ et $Q$ dans $\R[X]$ ; prouver que les conditions suivantes sont {\'e}quivalentes :
\begin{itemize}
\item[\textbf{(1)}] $P \egalA Q$
\item[\textbf{(2)}] $\exists H \in \R[X], P = Q + H \Pi_{A}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{{\large II � D{\'e}finition de la matrice $f(A)$}}

\textbf{A.} On consid{\`e}re l'application $\varphi$ de $\R_{m-1}[X]$ vers $\R^{m}$ qui associe {\`a} un polyn{\^o}me $P$ le $m$-uplet :

\centerline{$\varphi(P) = \left(\left(P^{(k_{1})}\left(\lambda_{1}\right)\right)_{0{\leq}k_{1}{\leq}m_{1}-1}, {\dots}, \left(P^{(k_{r})}\left(\lambda_{r}\right)\right)_{0{\leq}k_{r}{\leq}m_{r}-1} \right)$.}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5}
\item %II.6.
{\'E}tablir le caract{\`e}re bijectif de $\varphi$.
\item %II.7.
Soit $f$ dans $C_{I}^{{\infty}}$ ; justifier l'existence d'un et d'un seul polyn{\^o}me $P_{f}$ de $\R[X]$ , de degr{\'e} inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $(m-1)$ et tel que : $f \egalA P_{f}$.
On convient alors de \textsc{d{\'e}finir} la matrice $f(A)$ en posant : $f(A) = P_{f}(A)$.
\end{enumerate}

\textbf{B. Quelques exemples}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{7}
\item %II.8.
On suppose ici que $f$ est polynomiale et l'on {\'e}crit : 
$\forall x \in I, f(x) = \somme{k=0}{N}{a_{k} x^{k}}$.

En effectuant une division euclidienne, montrer qu'avec la d{\'e}finition de la question \textbf{7}, on obtient le r{\'e}sultat naturel : $f(A) = \somme{k=0}{N}{a_{k} A^{k}}$.

\item %II.9
\textsc{Ici} : $A = \matrice{5 & -4 \\ 4 & -3} \in M_{2}(\R)$ et $I = \R$.
\begin{enumerate}
\item %II.9.a)
Calculer $\Pi_{A}(X)$.
\item %II.9.b)
Calculer la matrice $f(A)$ dans chacun des cas suivants :
\begin{itemize}
\item[\textbf{(1)}] $f(x) = ax + b$, les r{\'e}els $a$ et $b$ {\'e}tant donn{\'e}s.
\item[\textbf{(2)}] $f(x) = \sin{(\pi x)}$
\item[\textbf{(3)}] $f(x) = (x-1)^{2} g(x)$, o{\`u} la fonction $g$ est donn{\'e}e dans $C_{I}^{{\infty}}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{{\large III - Le calcul syst{\'e}matique de $f(A)$}}

\textbf{A. Une formule g{\'e}n{\'e}rale}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{9}
\item %III.10.
En exploitant l'isomorphisme lin{\'e}aire $\varphi$ du \textbf{II.A}, justifier l'existence et l'unicit{\'e} de polyn{\^o}mes $Q_{j,k}$ $\left(1 {\leq} j {\leq} r, 0 {\leq} k {\leq} m_{j}-1\right)$ v{\'e}rifiant :

pour \textsc{toute} fonction $f$ de $C_{I}^{{\infty}}$, on a : $P_{f} = \somme{1{\leq}j{\leq}r}{}{\somme{0{\leq}k{\leq}m_{j}-1}{}{f^{(k)}\left(\lambda_{j}\right) Q_{j,k}}}$

On consid{\`e}re alors les matrices dites {\og}associ{\'e}es{\fg} {\`a} $A$ :

$Z_{j,k} = Q_{j,k}(A)$ \quad $\left(1 {\leq} j {\leq} r, 0 {\leq} k {\leq} m_{j}-1\right)$.

\item %III.11.
Montrer que les diverses matrices $Z_{j,k}$ sont lin{\'e}airement ind{\'e}pendantes et que :

$\forall f \in C_{I}^{{\infty}}, f(A) = \somme{1{\leq}j{\leq}r}{}{\somme{0{\leq}k{\leq}m_{j}-1}{}{f^{(k)}\left(\lambda_{j}\right) Z_{j,k}}}$.
\end{enumerate}

\textbf{B. Deux exemples}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{11}
\item %III.12
\textsc{Ici} : $A = \matrice{5 & -4 \\ 4 & -3}$ et $I = \R_{+}^{*}$.
\begin{enumerate}
\item %III.12.a)
Justifier l'existence de matrices $Z_{1}$ et $Z_{2}$ de $M_{2}(\R)$ telles que :

\centerline{$\forall f \in C_{I}^{{\infty}}, f(A) = f(1) Z_{1} + f'(1) Z_{2}$.}

\item %III.12.b)
\textsc{En d{\'e}duire} le calcul de $Z_{1}$ et $Z_{2}$.

\item %III.12.c)
Calculer les matrices $A^{2004}$, $\sqrt{A}$ et plus g{\'e}n{\'e}ralement $A^{\alpha}$ pour $\alpha$ dans $\R_{+}^{*}$.
\end{enumerate}

\item %III.13. 
\textsc{Ici} : $A = \matrice{1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 0} \in M_{3}(\R)$ et $I = \R$.
\begin{enumerate}
\item %III.13.a)
Pr{\'e}senter sous forme factoris{\'e}e le polyn{\^o}me $\Pi_{A}(X)$.
La matrice $A$ est-elle diagonalisable dans $M_{3}(\R)$ ?
\item %III.13b)
Calculer les matrices $Z_{j,k}$ {\og}associ{\'e}es{\fg} {\`a} $A$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{{\large IV � Un calcul fonctionnel sur la matrice $A$}}

\textbf{A. Quelques identit{\'e}s bien naturelles}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{13}
\item %IV.14.
Soient $f$ et $g$ dans $C_{I}^{{\infty}}$ et $\alpha$ dans $\R$.
\begin{enumerate}
\item %IV.14.a)
Que valent $P_{\alpha f}$ et $P_{f+g}$ ?
\item %IV.14.b)
Justifier l'existence d'un polyn{\^o}me $H$ de $\R[X]$ tel que : $P_{fg} = P_{f} P_{g} + H \Pi_{A}$.
\end{enumerate}

\item %IV.15.
\begin{enumerate}
\item %IV.15.a)
Montrer que l'application $S : f \mapsto f(A)$ de $C_{I}^{{\infty}}$ dans $M_{n}(\R)$ est un morphisme de $\R$-alg{\`e}bres.
\item %IV.15.b)
Quel est son noyau ?
\end{enumerate}

\item %IV.16.
On consid{\`e}re les fonctions cosinus et sinus de $\R$ dans $\R$, puis les fonctions $f_{1} : x \mapsto \sqrt{x}$ et $f_{2} : x \mapsto \dfrac{1}{x}$ de $\R_{+}^{*}$ dans $\R$.
On peut ainsi \textsc{d{\'e}finir} les matrices $\cos{A}$, $\sin{A}$, et m{\^e}me $\sqrt{A}$ et $\dfrac{1}{A}$ si les $\lambda_{j}$ sont dans $\R_{+}^{*}$.
\begin{enumerate}
\item %IV.16.a)
En exploitant le morphisme $S$, calculer $\left(\cos{A}\right)^{2} + \left(\sin{A}\right)^{2}$.
\item %IV.16.b)
On suppose ici que les $\lambda_{j}$ sont strictement positifs. Reconna{\^i}tre : $\left(\sqrt{A}\right)^{2}$ et $\dfrac{1}{A}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{B. Le spectre de $f(A)$}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{16}
\item %IV.17.
Montrer que l'ensemble not{\'e} $\mathcal{M}_{A} = \set{f(A) \tq f \in C_{I}^{{\infty}}}$ est une sous-alg{\`e}bre \textsc{commutative} de
$M_{n}(\R)$ et pr{\'e}ciser sa dimension.

\item %IV.18.
Montrer que si un {\'e}l{\'e}ment de $\mathcal{M}_{A}$ est inversible dans $M_{n}(\R)$ alors son inverse est aussi dans $\mathcal{M}_{A}$.

\item %IV.19.
Soit $f$ dans $C_{I}^{{\infty}}$ ; {\'e}tablir l'{\'e}quivalence des {\'e}nonc{\'e}s suivants :
\begin{itemize}
\item[\textbf{(1)}] $f(A)$ est inversible dans $M_{n}(\R)$.
\item[\textbf{(2)}] $\forall j \in \set{1, {\dots}, r}, f\left(\lambda_{j}\right) {\neq} 0$
\end{itemize}

\item %IV.20.
Si $M$ est une matrice de $M_{n}(\R)$, on note $\Lambda_{M}$ l'ensemble de ses valeurs propres \textsc{r{\'e}elles}.

En exploitant la question \textbf{19} comparer les ensembles : $\Lambda_{A}$ et $\Lambda_{f(A)}$ o{\`u} $f$ est donn{\'e}e dans $C_{I}^{{\infty}}$ .
\end{enumerate}

\textbf{{\large V � Application {\`a} la r{\'e}solution d'un syst{\`e}me diff{\'e}rentiel}}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{20}
\item %V.21.
Soient $\left(f_{p}\right)_{\in\N}$ une suite de fonctions de $C_{I}^{{\infty}}$ et $f$ dans $C_{I}^{{\infty}}$.
{\'E}tablir l'{\'e}quivalence des {\'e}nonc{\'e}s suivants :
\begin{itemize}
\item[\textbf{(1)}] La suite de matrices $\left(f_{p}(A)\right)_{p\in\N}$ converge dans $M_{n}(\R)$ vers $f(A)$.
\item[\textbf{(2)}] Pour chaque $j$ ($1 {\leq} j {\leq} r$) et chaque $k$ ($0 {\leq} k {\leq}m_{j}-1$), la suite r{\'e}elle $\left(f_{p}^{(k)}\left(\lambda_{j}\right)\right)_{p\in\N}$ converge vers $f^{(k)}\left(\lambda_{j}\right)$.
\end{itemize}

Lorsque la condition (2) est r{\'e}alis{\'e}e, on convient de dire que la suite de fonctions $\left(f_{p}\right)_{p\in\N}$ {\og}converge vers $f$ sur le spectre de $A${\fg}.

\item %V.22.
Pour $t$ r{\'e}el, on consid{\`e}re la fonction $f_{t} : x \mapsto e^{tx}$ de $\R$ dans $\R$.
Montrer que :

$f_{t}(A) = \somme{\ell=0}{+{\infty}}{\dfrac{t^{\ell}}{\ell!} A^{\ell}}$.
Il s'agit donc pr{\'e}cis{\'e}ment de la matrice usuellement not{\'e}e $\exp{(tA)}$.

\item %V.23.
En exploitant les r{\'e}sultats acquis {\`a} ce stade du probl{\`e}me, r{\'e}soudre le syst{\`e}me diff{\'e}rentiel :

\centerline{$\systeme{\dfrac{dx}{dt} = x-y+z \\ \dfrac{dy}{dt} = 2x - 2y + z \\ \dfrac{dz}{dt} = x-y}$}
\end{enumerate}

\begin{flushright}\textbf{Fin de l'{\'e}nonc{\'e}.}\end{flushright}
\end{document}
