\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\begin{document}

%Source m04pp1e


%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\Roman{enumi}.\arabic{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\alph{enumiii})}}
\renewcommand{\labelenumiv}{\textbf{\roman{enumiv})}}
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}

%Macros
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\newcommand{\NomPropre}[1]{#1}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\produit}[3]{\prod_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}
\newcommand{\bsup}[2]{\sup_{#1}\limits #2}
\renewcommand{\ker}[1]{\mathop{\rm Ker} #1}
\newcommand{\im}[1]{\mathop{\rm Im} #1}
\newcommand{\rg}[1]{\mathop{\rm rg} #1}
\newcommand{\scal}[2]{\left \langle #1,  #2 \right \rangle}
\newcommand{\norme}[1]{\left \| #1 \right \|}
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\newcommand{\matrice}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\newcommand{\transpose}[1]{{}^{t}\!#1}
\newcommand{\trace}[1]{\mathop{\rm tr}\left(#1\right)}




\begin{center}\textit{Les calculatrices sont interdites}\end{center}

\begin{center}****\end{center}

\textit{N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance {\`a} la clart{\'e}, {\`a} la pr{\'e}cision et {\`a} la concision de la r{\'e}daction.}

\textit{Si un candidat est amen{\'e} {\`a} rep{\'e}rer ce qui peut lui sembler {\^e}tre une erreur d'{\'e}nonc{\'e}, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a {\'e}t{\'e} amen{\'e} {\`a} prendre.}

\begin{center}****\end{center}


\begin{center}\textbf{Notations}\end{center}

Soit $\N$ l'ensemble des entiers naturels, $\N^{*} = \N \setminus \set{0}$ et $\N_{n} = \set{1, 2, \cdots, n}$.
Si $n$ et $p$ sont des entiers sup{\'e}rieurs ou {\'e}gaux {\`a} $1$, on note $\mathscr{M}_{n,p}(\R)$ le $\R$-espace vectoriel des matrices {\`a} coefficients dans $\R$ ayant $n$ lignes et $p$ colonnes.
Lorsque $p = n$, $\mathscr{M}_{n,n}(\R)$ est not{\'e} plus simplement $\mathscr{M}_{n}(\R)$ et est muni de sa structure d'alg{\`e}bre, $I_{n}$ repr{\'e}sentant la matrice identit{\'e}.
$GL_{n}(\R)$ d{\'e}signe l'ensemble des matrices inversibles de $\mathscr{M}_{n}(\R)$, $\mathcal{S}_{n}(\R)$ l'ensemble des matrices sym{\'e}triques de $\mathscr{M}_{n}(\R)$ et $\mathscr{O}_{n}(\R)$ l'ensemble des matrices orthogonales de $\mathscr{M}_{n}(\R)$.

Pour $A = (a_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq p}}$ appartenant {\`a} $\mathscr{M}_{n,p}(\R)$, $\transpose{A}$ d{\'e}signe la matrice transpos{\'e}e de $A$ : c'est un {\'e}l{\'e}ment de $\mathscr{M}_{p, n}(\R)$,
 $\ker{(A)}$ est le noyau de $A$ d{\'e}fini par :
$\ker{(A)} = \set{X \in \mathscr{M}_{p,1}(\R) \quad AX = 0}$ et 
$\im{(A)}$ est l'image de $A$ d{\'e}finie par :
$\im{(A) = \set{Y \in \mathscr{M}_{n,1}(\R) \quad \exists X \in \mathscr{M}_{p,1}(\R), Y = AX}}$.

$\R$ est muni de son produit scalaire canonique not{\'e} $\scal{\cdot}{\cdot}$ et de la norme associ{\'e}e not{\'e}e $\norme{\cdot}$ et on identifiera selon l'usage $ \mathscr{M}_{n,1}(\R)$ {\`a} $\R^{n}$.

Une matrice $S$ de $\mathcal{S}_{n}(\R)$ est dite positive si :

\centerline{$\forall X \in \mathscr{M}_{n,1}(\R), \transpose{X} S X  \geq  0$}

et d{\'e}finie positive si :

\centerline{$\forall X \in \mathscr{M}_{n,1}(\R) \setminus \set{0}, \transpose{X} S X > 0$.}

On note $\mathcal{S}_{n}^{+}(\R)$ l'ensemble des matrices sym{\'e}triques r{\'e}elles positives d'ordre $n$ et $\mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$ l'ensemble des matrices sym{\'e}triques r{\'e}elles d{\'e}finies positives d'ordre $n$.

\begin{center}\textbf{PARTIE I}\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Partie I
\begin{enumerate}
\item %I.1
Soit $M$ la matrice de $\mathscr{M}_{4}(\R)$ donn{\'e}e par :

\centerline{$M = \matrice{1 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2}$.}

\begin{enumerate}
\item %I.1.a)
D{\'e}terminer une base de chacun des sous-espaces vectoriels $\ker{(M)}$ et $\ker{\left(\transpose{M}\right)}$.
Existe-t-il une relation d'inclusion entre les noyaux $\ker{(M)}$ et $\ker{\left(\transpose{M}\right)}$ ?

\item %I.1.b)
D{\'e}terminer une base de chacun des sous-espaces vectoriels $\im{(M)}$ et $\im{\left(\transpose{M}\right)}$.
Existe-t-il une relation d'inclusion entre les images $\im{(M)}$ et $\im{\left(\transpose{M}\right)}$ ?
\end{enumerate}

\item %I.2
Soit $A \in \mathscr{M}_{n,p}(\R)$.
\begin{enumerate}
\item %I.2.a)
Montrer que $\ker{\left(\transpose{A} A\right)} = \ker{(A)}$ et $\ker{\left(A \transpose{A}\right)} = \ker{(\transpose{A})}$.
\item %I.2.b)
Montrer que $\rg{\left(\transpose{A} A\right)} = \rg{\left(A \transpose{A}\right)} = \rg{(A)}$.
\item %I.2.c)
Montrer que $\im{\left(\transpose{A} A\right)} = \im{(\transpose{A})}$ et $\im{\left(A \transpose{A}\right)} = \im{(A)}$.
\end{enumerate}

\item %I.3
Soit $q$ un entier naturel non nul et $\mathcal{S} = \left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{q}\right)$ un syst{\`e}me de $q$ vecteurs de $\R^{n}$.

On note $F$ le sous-espace vectoriel engendr{\'e} par $\mathcal{S}$, $r = \dim{F}$ et $G = (g_{i,j})$ la matrice de $\mathscr{M}_{q}(\R)$ d{\'e}finie par $g_{i,j} = \scal{x_{i}}{x_{j}}$ pour tout $(i, j) \in \N_{q}^{2}$.
Le d{\'e}terminant de $G$ est appel{\'e} d{\'e}terminant de \NomPropre{Gram} du syst{\`e}me $\mathcal{S}$ et sera not{\'e} $\gamma(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{q})$.
Soit $(e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{r})$ une base orthonormale de $F$, on note pour tout $j$ de $\N_{q}$, $x_{j} = \somme{i=1}{r}{b_{i,j} e_{i}}$ et $B$ la matrice de $\mathscr{M}_{r,q}(\R)$ de terme g{\'e}n{\'e}ral $b_{i,j}$.
\begin{enumerate}
\item %I.3.a)
Montrer que $G = \transpose{B}B$ et en d{\'e}duire $\rg{(G)} = \rg{(\mathcal{S})}$.
\item %I.3.b)
Montrer que $G$ est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes positives.
\item %I.3.c)
En d{\'e}duire que $\gamma(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{q})  \geq  0$ et que $\gamma(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{q}) = 0$ si et seulement si la
famille $(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{q})$ est li{\'e}e.
\item %I.3.d)
Montrer que l'in{\'e}galit{\'e} de \NomPropre{Cauchy}-\NomPropre{Schwarz} avec sa condition n{\'e}cessaire et suffisante d'{\'e}galit{\'e} est un cas particulier de ce r{\'e}sultat.
\end{enumerate}

\item %I.4
Montrer que $\gamma(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{q})$ reste invariant si l'on ajoute {\`a} l'un des vecteurs $x_{i}$ une combinaison lin{\'e}aire des autres.

\item %I.5
Dans cette question $q$ est sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $2$.
\begin{enumerate}
\item %I.5.a)
On note $L$ le sous-espace vectoriel engendr{\'e} par $(x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{q})$ et $p_{L}(x_{1})$ la projection orthogonale de $x_{1}$ sur $L$, puis on pose $h_{1} = x_{1} - p_{L}(x_{1})$.
Montrer que :

\centerline{$\gamma(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{q}) = \norme{h_{1}}^{2} \gamma(x_{2}, \cdots, x_{q})$.}

\item %I.5.b)
En d{\'e}duire successivement :
\begin{enumerate}
\item $\gamma(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{q})  \leq  \gamma(x_{1}) \gamma(x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{q})$ avec {\'e}galit{\'e} si et seulement si $x_{1}$ est orthogonal {\`a} $L$.
\item $\gamma(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{q})  \leq  \gamma(x_{1}) \gamma(x_{2})  \cdots \gamma(x_{q})$ avec {\'e}galit{\'e} si et seulement si les vecteurs $x_{1}$, $x_{2}$, {\dots}, $x_{q}$ sont deux {\`a} deux orthogonaux.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item %I.6
Soit $A = (a_{i,j}) \in GL_{n}(\R)$ et $c_{1}$, $c_{2}$, {\dots}, $c_{n}$ ses vecteurs colonnes.
\begin{enumerate}
\item %I.6.a)
Montrer que :

\centerline{$\abs{\det{A}}  \leq  \produit{k=1}{n}{\norme{c_{k}}}$}

avec {\'e}galit{\'e} si et seulement si les vecteurs $c_{1}$, {\dots}, $c_{n}$ sont deux {\`a} deux orthogonaux.

\item %I.6.b)
On suppose de plus : $\forall (i, j) \in \N_{n}^{2}, \abs{a_{i,j}}  \leq  1$.
Montrer que :

\centerline{$\abs{\det{A}}  \leq  n^{\frac{n}{2}}$}

avec {\'e}galit{\'e} si et seulement si $A$ est une matrice {\`a} coefficients dans $\set{-1, +1}$ et dont les vecteurs colonnes sont deux {\`a} deux orthogonaux.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center}

\item %Partie II
On note :
\begin{itemize}
\item $\mathcal{H}_{n}$ l'ensemble des matrices carr{\'e}es d'ordre $n$ {\`a} coefficients dans $\set{-1, +1}$ dont les vecteurs colonnes sont deux {\`a} deux orthogonaux.
\item $\mathcal{D}_{n}$ l'ensemble des matrices diagonales d'ordre $n$ {\`a} coefficients diagonaux dans $\set{-1, +1}$.
\item $E$ l'ensemble des entiers naturels $n$ pour lesquels $\mathcal{H}_{n}$ est non vide.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item %II.1
D{\'e}terminer explicitement toutes les matrices {\'e}l{\'e}ments de $\mathcal{H}_{2}$.

\item %II.2
\begin{enumerate}
\item %II.2.a)
Montrer que toute matrice $A$ de $\mathcal{H}_{n}$ v{\'e}rifie $\transpose{A} A = n I_{n}$.
\item %II.2.b)
R{\'e}ciproquement toute matrice carr{\'e}e $A$ v{\'e}rifiant $\transpose{A} A = n I_{n}$ est-elle dans $\mathcal{H}_{n}$ ?
\item %II.2.c)
Montrer que si $A$ est {\`a} coefficients dans $\set{-1, +1}$ et v{\'e}rifie $\transpose{A} A = n I_{n}$, alors $A$ est dans $\mathcal{H}_{n}$.
\end{enumerate}

\item %II.3
On appelle permutation $\sigma$ de $\N_{n}$ toute bijection de $\N_{n}$ sur lui-m{\^e}me et matrice de permutation $P^{(\sigma)}$ associ{\'e}e {\`a} la permutation $\sigma$, la matrice d'{\'e}l{\'e}ments $P_{i,j}^{(\sigma)}$ donn{\'e}s par :

\centerline{$\forall (i, j) \in \N_{n}^{2}, P_{i,j}^{(\sigma)} = \kro{i}{\sigma(j)}$}

o{\`u} $\kro{k}{l}$ d{\'e}signe le symbole de \NomPropre{Kronecker} :
$\kro{k}{l} = \left\{ \begin{array}{lcl}
1 & \mbox{ si } & k = l \\
0 & \mbox{ si } & k {\neq} l
\end{array} \right.$

Soit $\sigma$ une permutation de $\N_{n}$ et $A \in \mathscr{M}_{n}(\R)$.
\begin{enumerate}
\item %II.3.a)
Donner le terme g{\'e}n{\'e}ral de la matrice $\transpose{P^{(\sigma)}} A$.
Comment obtient-on cette matrice $\transpose{P^{(\sigma)}} A$ {\`a} partir de $A$ ?
\item %II.3.b)
Donner le terme g{\'e}n{\'e}ral de la matrice $A P^{(\sigma)}$.
Comment obtient-on cette matrice $A P^{(\sigma)}$ {\`a} partir de $A$ ?
\item %II.3.c)
Montrer que si $A$ appartient {\`a} $\mathcal{H}_{n}$, il en est de m{\^e}me de $\transpose{A}$, des matrices $\transpose{P^{(\sigma)}} A$ et $A P^{(\sigma)}$ pour toute permutation $\sigma$ ainsi que des matrices $A \Delta$ et $\Delta A$ pour toute matrice $\Delta$ de $\mathcal{D}_{n}$.
\end{enumerate}

\item %II.4
Si $A = (a_{i,j}) \in \mathscr{M}_{2}(\R)$ et $B \in \mathscr{M}_{n}(\R)$, on d{\'e}finit le produit direct de $A$ et $B$ par :

\centerline{$A \otimes B = \matrice{a_{1,1} B & a_{1,2} B \\ a_{2,1} B & a_{2,2} B} \in \mathscr{M}_{2n}(\R)$.}

\begin{enumerate}
\item %II.4.a)
Montrer que si $A \in \mathcal{H}_{2}$ et $B \in \mathcal{H}_{n}$, alors $A \otimes B \in \mathcal{H}_{2n}$.
\item %II.4.b)
En d{\'e}duire que $E$ contient toutes les puissances de $2$.
\item %II.4.c)
Montrer que l'ensemble $\set{A \otimes B \quad (A, B) \in \mathcal{H}_{2} \times \mathcal{H}_{2}}$ est strictement inclus dans $\mathcal{H}_{4}$.
\end{enumerate}

\item %II.5
Soit $n \in E$, $n > 2$.
\begin{enumerate}
\item %II.5.a)
Montrer qu'il existe un {\'e}l{\'e}ment de $\mathcal{H}_{n}$ dont tous les coefficients de la premi{\`e}re colonne valent $1$.
D{\'e}duire alors de l'orthogonalit{\'e} des vecteurs colonnes $1$ et $2$ d'une telle matrice que $n$ est pair. On pose $n = 2m$.
\item %II.5.b)
Montrer qu'il existe un {\'e}l{\'e}ment de $\mathcal{H}_{n}$ dont tous les coefficients de la premi{\`e}re colonne valent $1$ et dont la deuxi{\`e}me colonne est constitu{\'e}e de $m$ coefficients {\'e}gaux {\`a} $1$ suivis de $m$ coefficients {\'e}gaux {\`a} $-1$.
D{\'e}duire alors de l'orthogonalit{\'e} du troisi{\`e}me vecteur colonne avec les vecteurs colonnes $1$ et $2$ que $n$ est un multiple de $4$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{PARTIE III}\end{center}
\item %Partie III
\begin{enumerate}
\item %III.1
Soit $S \in \mathcal{S}_{n}(\R)$.
Montrer que $S \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$ si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.

\item %III.2
Soit $M \in GL_{n}(\R)$.
On souhaite montrer l'existence de $R$ orthogonale et $S$ sym{\'e}trique d{\'e}finie positive telle que $M = RS$.
\begin{enumerate}
\item %III.2.a)
Montrer que la matrice $\transpose{M} M$ est sym{\'e}trique d{\'e}finie positive.
\item %III.2.b)
En d{\'e}duire qu'il existe $S \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\R)$ tel que $\transpose{M} M = S^{2}$.
\item %III.2.c)
Montrer que $S$ est inversible et que $M S^{-1}$ est orthogonale.
\item %III.2.d)
Conclure. Dans toute la suite du probl{\`e}me on admettra l'unicit{\'e} d'une telle factorisation.
\end{enumerate}

\item %III.3
Soit $\Sigma \in \mathcal{S}_{n}^{+}(\R)$, $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$, {\dots}, $\lambda_{n}$ ses valeurs propres non n{\'e}cessairement distinctes, $D$ la matrice diagonale dont les {\'e}l{\'e}ments diagonaux sont $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$, {\dots}, $\lambda_{n}$ et $Q \in \mathcal{O}_{n}(\R)$.
\begin{enumerate}
\item %III.3.a)
Montrer que $\trace{\Sigma} = \somme{i=1}{n}{\lambda_{i}}$.
\item %III.3.b)
Montrer qu'il existe une matrice orthogonale $Q_{1}$ telle que $\trace{Q \Sigma} = \trace{Q_{1} D}$ et en d{\'e}duire :

\centerline{$\trace{Q \Sigma}  \leq  \trace{\Sigma}$.}

\item %III.3.c)
Montrer que $\bsup{Q \in \mathcal{O}_{n}(\R)}{\abs{\trace{Q \Sigma}}} = \trace{\Sigma}$.
\end{enumerate}

\item %III.4
Soit $n \in E$.
Pour toute matrice $A = (a_{i,j})$ de $\mathcal{H}_{n}$, on pose :

\centerline{$f(A) = \somme{1 \leq i \leq j \leq n}{}{a_{i,j}} = \somme{i=1}{n}{\left(\somme{j=i}{n}{a_{i,j}}\right)}$.}

\begin{enumerate}
\item %III.4.a)
Montrer que l'application $f$ ainsi d{\'e}finie de $\mathcal{H}_{n}$ dans $\R$ admet une borne sup{\'e}rieure que l'on notera $\alpha_{n}$.
\item %III.4.b)
Soit $T = (t_{i,j})$ la matrice triangulaire inf{\'e}rieure d'ordre $n$ d{\'e}finie par $t_{i,j} = 1$ si $i  \geq  j$ et $t_{i,j} = 0$ si $i < j$.
Montrer que $f(A) = \trace{AT}$.
\item %III.4.c)
D'apr{\`e}s la question \textbf{III.2}, on sait que $T = RS$ avec $R$ orthogonale et $S$ sym{\'e}trique d{\'e}finie positive. Montrer alors que
$f(A)  \leq  \sqrt{n} \trace{S}$, puis que $\alpha_{n}  \leq  \sqrt{n} \trace{S}$.
\item %III.4.d)
Lorsque $n = 2$, {\'e}valuer $\alpha_{2}$ et $\sqrt{2} \trace{S}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Fin de l'{\'e}nonc{\'e}}\end{center}

\end{document}
