\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}


%Macros perso
\renewcommand{\leq}{\,\leqslant\,}
\renewcommand{\geq}{\,\geqslant\,}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
\newcommand{\segmN}[2]{\left [ \left | #1, #2 \right  | \right ]}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\produit}[3]{\prod_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\matrice}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\newcommand{\com}[1]{\mathop{com}\left(#1\right)}
\newcommand{\binomial}[2]{C_{#1}^{#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}



%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\Roman{enumi}.\arabic{enumii}.} }
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\Roman{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic{enumiii}.} }


\begin{center}\textit{Les calculatrices sont autoris{\'e}es.}\end{center}

\begin{center}****\end{center}

\begin{center}
\textit{N.B. Le candidat attachera la plus grande importance {\`a} la clart{\'e}, {\`a} la pr{\'e}cision et {\`a} la concision de la r{\'e}daction.}

\textit{Si un candidat est amen{\'e} {\`a} rep{\'e}rer ce qui peut lui sembler {\^e}tre une erreur d'{\'e}nonc{\'e}, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a {\'e}t{\'e} amen{\'e} {\`a} prendre.}
\end{center}

\begin{center}****\end{center}

Ce probl{\`e}me porte sur l'{\'e}tude d'une suite double et de diff{\'e}rents contextes dans lesquels on retrouve cette suite.

\medskip
On d{\'e}signe par $\N$ l'ensemble des entiers naturels, par $\N^{*}$ l'ensemble $\N$ priv{\'e} de $0$, par $\Z$ l'ensemble des entiers relatifs et par $\R$ l'ensemble des nombres r{\'e}els.

\medskip
Pour $n \in \N$, on note $\segmN{0}{n}$ l'ensemble des entiers naturels $k$ tels que $0 {\leq} k {\leq} n$.

\medskip
On note $\mathcal{M}_{n+1}(\Z)$ l'anneau des matrices carr{\'e}es d'ordre $n+1$ {\`a} coefficients dans $\Z$.

Pour $M \in \mathcal{M}_{n+1}(\Z)$, on note $M = \left(m_{p,q}\right)_{(p,q)\in\segmN{0}{n}^{2}}$ o{\`u} $m_{p,q}$ est l'{\'e}l{\'e}ment de la ligne $p$ et de la colonne $q$.
Par exemple $M \in \mathcal{M}_{2}(\Z)$ sera not{\'e} $M = \matrice{m_{0,0} & m_{0,1} \\ m_{1,0} & m_{1,1}}$.

Pour $M \in \mathcal{M}_{n+1}(\Z)$, on note $\det{(M)}$ le d{\'e}terminant de $M$ et $\com{M}$ la comatrice de $M$.

$\R[X]$ d{\'e}signe l'espace des polyn{\^o}mes {\`a} coefficients r{\'e}els et, pour $n \in \N$, $\R_{n}[X]$ d{\'e}signe le sous-espace de $\R[X]$ des polyn{\^o}mes de degr{\'e} inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $n$.

\medskip
Les parties \textbf{II}, \textbf{III} et \textbf{IV} de ce probl{\`e}me sont ind{\'e}pendantes entre elles ; seule la suite {\'e}tudi{\'e}e dans la partie \textbf{I} appara{\^i}t dans une question de chacune de ces parties.

\begin{center}\textbf{PARTIE I}\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Partie I
\begin{center}On d{\'e}finit la suite double de nombres r{\'e}els $\left(a_{p,q}\right)_{(p,q)\in\N^{2}}$ par :\end{center}

\begin{itemize}
\item[(\textit{i})] $a_{0,0} = 1$
\item[(\textit{ii})] pour tout $p \in \N^{*}$, $a_{p, 0} = 0$
\item[(\textit{iii})] pour tout $q \in \N^{*}$, $a_{0,q} = 0$
\item[(\textit{iv})] pour tout $(p, q) \in \N^{2}$, $a_{p+1,q+1} = a_{p,q} + (p+1)q_{p+1,q}$.
\end{itemize}

La consid{\'e}ration d'un tableau, dans lequel les $a_{p,q}$ sont dispos{\'e}s avec $p$ indice de ligne et $q$ indice de colonne, pourra se r{\'e}v{\'e}ler d'une utilit{\'e} certaine.

\begin{enumerate}
\item %Question I.1.
Pour $q \in \N$, calculer $a_{1,q}$.
\item %Question I.2.
Calculer $a_{2,1}$ et $a_{2,2}$.
\item %Question I.3.
Pour $q {\geq} 2$, exprimer $a_{2,q}$ en fonction de $a_{2,q-1}$.
En d{\'e}duire la valeur de $a_{2,q}$.
\item %Question I.4.
Pour $p \in \N$, on consid{\`e}re la propri{\'e}t{\'e} $\mathcal{P}_{p}$ : {\og}pour tout $q \in \N$, on a $a_{p,q} \in \N${\fg}.

Montrer que pour tout $p \in \N$ , la propri{\'e}t{\'e} $\mathcal{P}_{p}$ est vraie.

\item %Question I.5.
Pour $p > q$, calculer $a_{p,q}$.

\item %Question I.6.
Pour $p \in \N$ , calculer $a_{p,p}$.

\item %Question I.7.
Pour $n \in \N$, on d{\'e}signe par $A_{n}$ la matrice carr{\'e}e d'ordre $n+1$ (c'est-{\`a}-dire {\`a} $n+1$ lignes et {\`a} $n+1$ colonnes), dont le terme de la ligne $p$ et de la colonne $q$ est $a_{p,q}$, pour tout $(p,q) \in \segmN{0}{n}^{2}$.

Expliciter les matrices $A_{2}$, $A_{3}$, $A_{4}$ et $A_{5}$.
\end{enumerate}


\begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center}

\item %Partie II
\begin{center}Dans cette partie, $n$ d{\'e}signe un entier naturel.\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Question II.1.
Soit $M = (m_{p,q}) \in \mathcal{M}_{n+1}(\Z)$.
\begin{enumerate}
\item %II.1.1.
Montrer que $\det{(M)} \in \Z$.
\item %II.1.2.
Montrer que $\com{M} \in \mathcal{M}_{n+1}(\Z)$.
\item %II.1.3.
On rappelle qu'une matrice $M$ est inversible dans $\mathcal{M}_{n+1}(\Z)$ si et seulement si $M^{-1}$ existe et appartient {\`a} $\mathcal{M}_{n+1}(\Z)$.
Montrer que $M$ est inversible dans $\mathcal{M}_{n+1}(\Z)$ si et seulement si $\det{(M)} = �1$.
\end{enumerate}

\item %Question II.2.
On d{\'e}finit la suite $(B_{p})_{p\in\N}$ de polyn{\^o}mes de $\R[X]$ par : 
$B_{0} = 1$ et pour $p \in \N^{*}$, 

$B_{p} = \produit{j=0}{p-1}{(X-j)}$.
\begin{enumerate}
\item %II.2.1.
Montrer que $\left(B_{0}, B_{1}, {\dots}, B_{n}\right)$ est une base de l'espace vectoriel $\R_{n}[X]$ ; on notera $(\mathcal{B})$ cette base.

On note $(\mathcal{X})$ la base canonique $\left(1, X, {\dots}, X^{n}\right)$ de $\R_{n}[X]$.

On note $P_{n}$ la matrice de passage de la base $(\mathcal{X})$ {\`a} la base $(\mathcal{B})$ et $Q_{n}$ la matrice de passage de la base $(\mathcal{B})$ {\`a} la base $(\mathcal{X})$.

\item %II.2.2.
On prend $n=4$, expliciter les matrices $P_{4}$ et $Q_{4}$.

\item %II.2.3.
Montrer que $P_{n}$ est une matrice triangulaire sup{\'e}rieure {\`a} coefficients dans $\Z$.

\item %II.2.4.
Calculer $\det{(P_{n})}$.

\item %II.2.5
Montrer que $Q_{n}$ est une matrice triangulaire sup{\'e}rieure {\`a} coefficients dans $\Z$.

On note $Q_{n}=\left(\beta_{p,q}\right)_{(p,q)\in\segmN{0}{n}^{2}}$.
Pour tout $q \in \segmN{0}{n}$, on a donc $X^{q} = \somme{p=0}{q}{\beta_{p,q} B_{p}}$.

\item %II.2.6.
En donnant {\`a} $X$ des valeurs particuli{\`e}res, d{\'e}terminer les coefficients $\beta_{0,q}$, $\beta_{1,q}$, $\beta_{2,q}$ pour $q \in\segmN{0}{n}$.

\item %II.2.7.
Montrer que $Q_{n} = A_{n}$ o{\`u} $A_{n}$ est la matrice d{\'e}finie au \textbf{I.7}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{PARTIE III}\end{center}

\item %Partie III
On note $F$ l'espace vectoriel r{\'e}el des applications de classe $\mathcal{C}^{{\infty}}$ d{\'e}finies sur $\ouvert{0}{+{\infty}}$ et {\`a} valeurs dans $\R$.
On d{\'e}finit l'application $\phi$ de $F$ dans $F$ par :

\centerline{$\phi(f) = g$ o{\`u} $g(x) = x f'(x)$.}

Pour $q \in \N^{*}$, on note $\phi^{q} = \phi \circ \phi^{q-1}$ ; ainsi $\phi^{2} = \phi \circ \phi$ (par convention : $\phi^{0} = id_{F}$).

\begin{enumerate}
\item %Question III.1.
V{\'e}rifier que $\phi$ est un endomorphisme de $F$.
Est-il surjectif ? Est-il injectif ? Pr{\'e}ciser le noyau de $\phi$.

\item %Question III.2.
D{\'e}terminer les vecteurs propres et les valeurs propres de $\phi$.

\item %Question III.3.
Pour $f \in�F$, expliciter $\phi^{2}(f)$. D{\'e}terminer le noyau de $\phi^{2}$ et en donner une base.

\item %Question III.4.
Soit $n \in \N^{*}$. Montrer qu'il existe des entiers $d_{p,q}$ tels que, pour tout $q \in \segmN{1}{n}$ et tout $f \in F$, on ait la relation :
pour tout $x$ dans $\ouvert{0}{+{\infty}}$, $\phi^{q}(f)(x) = \somme{p=1}{q}{d_{p,q} x^{p} f^{(p)}(x)}$, o{\`u} $f^{(p)}$ est la d{\'e}riv{\'e}e $p$-i{\`e}me de $f$.

On admet que cette d{\'e}composition est unique.

\item %Question III.5.
On convient que $d_{0,0} = 1$ et que, pour $p \in \N^{*}$ et $q \in \N^{*}$, $d_{p,0} = d_{0,q} = 0$ et $d_{p,q} = 0$ si $p > q$.

Montrer que pour tout $(p,q) \in \segmN{1}{n}^{2}$, on a $d_{p,q} = a_{p,q}$, o{\`u} les $a_{p,q}$ sont les termes d{\'e}finis dans la partie \textbf{I}.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{PARTIE IV}\end{center}

\item %Partie IV
\begin{enumerate}
\item %Question IV.1
Soit $\varphi$ la fonction d{\'e}finie sur $\R$ par $\varphi(t) = \exp{\left((\exp{t}) - 1\right)}$, o{\`u} $\exp$ est la fonction exponentielle.
\begin{enumerate}
\item %IV1.1.
D{\'e}terminer le d{\'e}veloppement limit{\'e} de $\varphi$ {\`a} l'ordre $4$ en $t = 0$.
\item %IV1.2.
Pour $n$ variant de $1$ {\`a} $4$, en d{\'e}duire la valeur de la d{\'e}riv{\'e}e $n$-i{\`e}me de $\varphi$ en $0$.
\end{enumerate}

Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$ , $n \in \N$. On appelle partition de $E$ , tout ensemble de parties non vides de $E$, deux {\`a} deux disjointes, dont la r{\'e}union est $E$.
Chaque partie de la partition s'appelle une classe.

\item %Question IV.2.
Pour tout entier $j \in \N^{*}$ , on note $P_{n}^{j}$ le nombre de partitions de $E$ en $j$ classes.

Par convention, on note $P_{0}^{0}=1$ et, pour tout $n \in \N^{*}$ et $j \in \N^{*}$, $P_{n}^{0} = P_{0}^{j} = 0$.
\begin{enumerate}
\item %IV.2.1.
Pour $j > n$, calculer $P_{n}^{j}$.
\item %IV.2.2.
Calculer $P_{n}^{1}$ et $P_{n}^{n}$ pour $n \in \N^{*}$.
\item %IV.2.3.
On suppose $j {\geq} 2$ et $n {\geq} 1$. Soit $a \in E$.

En distinguant parmi les partitions de $E$ en $j$ classes, celles pour lesquelles le singleton $\set{a}$ est une classe de la partition, justifier l'{\'e}galit{\'e} $P_{n}^{j} = P_{n-1}^{j-1} + j P_{n-1}^{j}$.
\item %IV.2.4.
En d{\'e}duire que pour tout $(j, n) \in \N^{2}$, on a $P_{n}^{j} = a_{j,n}$, les $a_{j,n}$ {\'e}tant les termes d{\'e}finis dans la partie \textbf{I}.
\end{enumerate}

\item %Question IV.3.
On note $P_{n}$ le nombre de partitions de $E$. Par convention $P_{0} = 1$.
\begin{enumerate}
\item %IV.3.1.
Pour $n$ variant de $1$ {\`a} $4$, calculer $P_{n}$ et comparer $P_{n}$ {\`a} $\varphi^{(n)}(0)$ o{\`u} $\varphi$ est la fonction d{\'e}finie en \textbf{IV.1}.

\item %IV.3.2.
Exprimer $P_{n}$ {\`a} l'aide des $P_{n}^{j}$ . Dans la suite, on admettra la formule

\centerline{\textbf{(1)} \quad $P_{n+1} = \somme{k=0}{n}{\binomial{n}{k} P_{k}}$ o{\`u} les $\binomial{n}{k}$ sont les coefficients du bin{\^o}me.}

\item %IV.3.3
Montrer que pour tout $n \in \N$ on a $P_{n} {\leq} n!$.
\end{enumerate}

\item %Question IV.4
Pour $x \in \R$ , on note $s(x) = \somme{n=0}{+{\infty}}{\dfrac{P_{n}}{n!} x^{n}}$ lorsque la s{\'e}rie converge.
\begin{enumerate}
\item %IV.4.1.
D{\'e}duire de \textbf{IV.3.3.} que le rayon de convergence de la s{\'e}rie est sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $1$.
\item %IV.4.2.
Montrer {\`a} l'aide de \textbf{(1)} que pour $\abs{x} < 1$, on a $s'(x) = s(x) \exp{x}$ (on pourra d{\'e}velopper en s{\'e}rie enti{\`e}re $\exp{x}$ et utiliser le produit de Cauchy de deux s{\'e}ries enti{\`e}res).
\item %IV.4.3.
En d{\'e}duire $s(x)$.
\item %IV.4.4.
Montrer que pour tout $n \in \N$, on a $P_{n} = \varphi^{(n)}(0)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{flushright}\textbf{Fin de l'{\'e}nonc{\'e}.}\end{flushright}
\end{document}
