\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}


%Macros perso
\renewcommand{\leq}{\,\leqslant\,}
\renewcommand{\geq}{\,\geqslant\,}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\segment}[2]{\left [ #1, #2 \right ]}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\D}{\mathop{\rm{} d}}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3  \ \D #4}}
\newcommand{\integrale}[3]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3}}
\newcommand{\limite}[3]{\lim_{#1 \to #2} \limits #3}
\newcommand{\grandO}[1]{\mathop{O}\left(#1\right)}
\newcommand{\matrice}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}



%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{enumi}.}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\alph{enumii}.} }



SESSION 2004

\begin{center}
\textbf{CONCOURS NATIONAL DEUG}
\end{center}

\begin{center}\rule{3cm}{1pt}\end{center}

\begin{center}
\textbf{{\'E}preuve commune concours Physique et concours Chimie}

\bigskip

{\large \textbf{MATH{\'E}MATIQUES}}

\medskip
PARTIE I
\end{center}

\bigskip
\begin{center}\textbf{Dur{\'e}e : 2 heures}\end{center}

\bigskip
\hrule

\begin{center}
\textit{Les calculatrices sont \textbf{autoris{\'e}es}.}
\end{center}

\medskip
NB : Le candidat attachera la plus grande importance {\`a} la clart{\'e}, {\`a} la pr{\'e}cision et {\`a} la concision de la r{\'e}daction.

Si un candidat est amen{\'e} {\`a} rep{\'e}rer ce qui peut lui sembler {\^e}tre une erreur d'{\'e}nonc{\'e}, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a {\'e}t{\'e} amen{\'e} {\`a} prendre.

\bigskip
Les deux exercices sont \textbf{ind{\'e}pendants}.

\bigskip
{\large \textbf{\underline{Exercice I} -- Etude de s{\'e}ries dont le terme g{\'e}n{\'e}ral est le reste d'une s{\'e}rie convergente.}}

\medskip
Soit $n_{0}$ un entier naturel fix{\'e}. Soit $\somme{n{\geq}n_{0}}{}{a_{n}}$ une s{\'e}rie convergente.
On d{\'e}finit pour $n$ entier naturel sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $n_{0}$ , $r_{n}$ son reste de rang $n$ : $r_{n} = \somme{k=n+1}{+{\infty}}{a_{k}}$.

Le but de l'exercice est d'{\'e}tudier la convergence de la s{\'e}rie $\somme{n{\geq}n_{0}}{}{r_{n}}$ dans trois exemples diff{\'e}rents.

\bigskip
\textbf{\underline{Exemple 1}}
\begin{enumerate}
\item %Question 1.
On pose pour $n {\geq} 0$, $a_{n} = \dfrac{1}{2^{n}}$.

Calculer $r_{n}$ puis montrer que $\somme{n{\geq}0}{}{r_{n}}$ converge et calculer sa somme.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{\underline{Exemple 2}}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item %Question 2.
On pose pour $n {\geq} 1$, $a_{n} = \dfrac{1}{n^{2}}$.

Nous allons chercher un {\'e}quivalent de $(r_{n})$.

Soit $k$ un entier sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $1$.
\begin{enumerate}
\item %2.a.
Montrer que $\forall t \in \segment{k}{k+1}, \dfrac{1}{(k+1)^{2}} {\leq} \dfrac{1}{t^{2}} {\leq} \dfrac{1}{k^{2}}$.
\item %2.b.
En d{\'e}duire que pour tout entier naturel non nul $n$ et pour tout entier $N$ sup{\'e}rieur {\`a} $2$ et {\`a} $n+1$, on a :
$\somme{k=n+1}{N}{\dfrac{1}{(k+1)^{2}}} {\leq} \integrale{n+1}{N+1}{\dfrac{\D t}{t^{2}}} {\leq} \somme{k=n+1}{N}{\dfrac{1}{k^{2}}}$.

\item %2.c.
En d{\'e}duire que pour tout entier naturel non nul $n$, on a :

\centerline{$\dfrac{1}{n+1} {\leq} r_{n} {\leq} \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{(n+1)^{2}}$.}

\item %2.d.
Donner alors un {\'e}quivalent de $(r_{n})$ lorsque $n$ est au voisinage de $+{\infty}$.

Que peut-on en conclure sur la nature de la s{\'e}rie $\somme{n{\geq}1}{}{r_{n}}$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\underline{Exemple 3}}

On pose pour $n {\geq} 1$, $a_{n} = \dfrac{(-1)^{n}}{n}$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item %Question 3.
Justifier la convergence de $\somme{n{\geq}1}{}{a_{n}}$.

\item %Question 4.
Expression int{\'e}grale de $r_{n}$.

Soit $n$ un entier naturel non nul. On d{\'e}finit la suite $(I_{n})$ par
$I_{n} = (-1)^{n} \integ{0}{1}{\dfrac{x^{n}}{1+x}}{x}$.
\begin{enumerate}
\item %4.a.
Montrer que $\limite{n}{+{\infty}}{I_{n}} = 0$.
\item %4.b.
Montrer que $I_{n} = \ln{2} + \somme{k=1}{n}{\dfrac{(-1)^{k}}{k}}$.
On pourra calculer $\somme{k=0}{n-1}{(-x)^{k}}$.
\item %4.c.
En d{\'e}duire la valeur de $\somme{n=1}{+{\infty}}{\dfrac{(-1)^{n}}{n}}$, puis exprimer $r_{n}$ en fonction de $I_{n}$.
\end{enumerate}

\item %Question 5.
Conclusion
\begin{enumerate}
\item %5.a.
En utilisant une int{\'e}gration par parties, montrer que l'on a :

\centerline{$I_{n} = \dfrac{(-1)^{n}}{a (n+1)} + \grandO{\dfrac{1}{n^{\alpha}}}$ o{\`u} $a \in \R$ et $\alpha > 1$ sont {\`a} d{\'e}terminer.}

\item %5.b.
En d{\'e}duire la nature de la s{\'e}rie $\somme{n{\geq}1}{}{r_{n}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
{\large \textbf{\underline{Exercice II} -- Racines carr{\'e}es de matrices}}

\bigskip
On rappelle que $M_{3}(\R)$ d{\'e}signe l'ensemble des matrices carr{\'e}es de taille $3$ {\`a} coefficients r{\'e}els.

Soit $A \in M_{3}(\R)$, on dit qu'une matrice $R \in M_{3}(\R)$ est une racine carr{\'e}e de $A$ si $R^{2} = A$.

Le but de l'exercice est de chercher les racines carr{\'e}es de la matrice $A$ dans les deux exemples suivants qui sont \textbf{ind{\'e}pendants}.

\textbf{\underline{Exemple 1} Cas o{\`u} $A = \matrice{11 & -5 & 5 \\ -5 & 3 & -3 \\ 5 & -3 & 3}$.}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5}
\item %Question 6.
R{\'e}duction de $A$

D{\'e}terminer le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique de $A$ puis justifier l'existence d'une matrice $P~\in~M_{3}(\R)$ inversible telle que $A = P D P^{-1}$ o{\`u}
$D = \matrice{0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 16}$.

\item %Question 7.
Montrer que $R$ est une racine carr{\'e}e de $A$, si et seulement si la matrice $S = P^{-1} R P$ est une racine carr{\'e}e de $D$.

\item %Question 8.
Racines carr{\'e}es de $D$

Soit $S$ une racine carr{\'e}e de $D$.
\begin{enumerate}
\item %8.a.
Montrer que $DS = SD$.
\item %8.b.
Montrer que la matrice $S$ est diagonale.
\item %8.c.
Pour $i \in \set{1, 2, 3}$, on note respectivement $s_{i}$ et $d_{i}$ les coefficients diagonaux des matrices $S$ et $D$.
Exprimer $s_{i}$ en fonction de $d_{i}$ puis en d{\'e}duire les racines carr{\'e}es de la matrice $D$.
\end{enumerate}

\item %Question 9.
Ecrire toutes les racines carr{\'e}es de $A$ {\`a} l'aide de la matrice $P$. (On ne demande pas de calculer $P$.)
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{\underline{Exemple 2} : Cas o{\`u} $A = \matrice{0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}$.}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{9}
\item %Question10.
\textbf{Question pr{\'e}liminaire : Endomorphisme nilpotent}

Soit $f$ un endomorphisme non nul de $\R^{3}$ \textbf{nilpotent}, c'est-{\`a}-dire v{\'e}rifiant $f^{N} = 0$ pour un certain entier naturel $N$.

Il existe alors un entier naturel non nul $k$ tel que $f^{k-1} {\neq} 0$ et $f^{k} = 0$.

Le but de la question est de montrer que $k {\leq} 3$.

Soit $x$ un vecteur de $\R^{3}$ tel que $f^{k-1}(x) {\neq} 0$.
\begin{enumerate}
\item %10.a.
Montrer que pour $i \in \set{0, 1, {\dots}, k-1}$, le vecteur $f^{i}(x)$ est non nul. (on rappelle que $f^{0}(x) = x$).
\item %10.b.
Montrer que les vecteurs $\left(f^{i}(x)\right)_{0{\leq}i{\leq}k-1}$ forment une famille libre.
\item %10.c.
Que peut-on en d{\'e}duire pour $k$ ? Justifier votre r{\'e}ponse.
\end{enumerate}

\textbf{\underline{Remarque :}} Si une matrice $M$ repr{\'e}sente dans une base un endomorphisme $f$ nilpotent, on dit que $M$ est \textbf{nilpotente}.

\item %Question 11.
Supposons qu'il existe $R$ une racine carr{\'e}e de $A$.
\begin{enumerate}
\item %11.a.
Calculer $A^{2}$, $A^{3}$. En d{\'e}duire que $R$ est nilpotente.
\item %11.b.
Calculer alors $R^{4}$. Comparer avec $A^{2}$ puis conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{flushright}
\textbf{Fin de l'{\'e}nonc{\'e}}
\end{flushright}



\end{document}
