\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\begin{document}

%Source : m04rs1e

%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{enumi}.}}


%Macros
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\segment}[2]{\left [ #1, #2 \right ]}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\bsup}[2]{\sup_{#1}\limits #2}
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}
\newcommand{\normeinf}[1]{\left \| #1 \right \|_{{\infty}}}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\D}{\mathop{\rm{} d}}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3  \ \D #4}}
\newcommand{\normetriple}[1]{\left | \left \| #1 \right \| \right |}
\renewcommand{\ker}[1]{\mathop{\rm Ker} #1}
\newcommand{\im}[1]{\mathop{\rm Im} #1}
\newcommand{\limite}[3]{\lim_{#1 \to #2} \limits #3}



{\Large e}{\Huge 3}{\Large a}

{\large concours}

\textbf{Concours ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE}

\begin{center}
\textbf{{\'E}preuve de Math{\'e}matiques A \quad PSI}

\textbf{dur{\'e}e 3 heures}
\end{center}

\bigskip
\hrule

\begin{center}\textbf{L'usage des calculatrices est interdit}\end{center}

\bigskip


Dans tout le probl{\`e}me, $\R$ d{\'e}signe le corps des r{\'e}els, $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues, d{\'e}finies sur $\segment{0}{1}$ et {\`a} valeurs dans $\R$, $F$ l'espace vectoriel des fonctions de classe $\mathcal{C}^{1}$, d{\'e}finies sur $\segment{0}{1}$ et {\`a} valeurs dans $\R$.

Pour tout $f \in E$, on note $\normeinf{f} = \bsup{x \in \segment{0}{1}}{\abs{f(x)}}$ et on rappelle que l'on d{\'e}finit ainsi une norme sur $E$.

Si $g$ est une application $k$ fois d{\'e}rivable sur $\segment{0}{1}$, $g^{(k)}$ d{\'e}signe la d{\'e}riv{\'e}e $k$-i{\`e}me de $g$.

\bigskip
\textbf{Pr{\'e}liminaires.}

Soit $n \in \N^{*}$ et $u$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur $\segment{0}{1}$.

On suppose que : $\forall k \in \set{0, {\dots}, n-1}, u^{(k)}(0) = 0$.

Prouver que : $\forall x \in \segment{0}{1}, u(x) = \integ{0}{x}{\dfrac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} u^{(n)}(t)}{t}$.

\bigskip
\textbf{Partie I : Pour $g \in F$ donn{\'e}e, recherche de $f \in F$ v{\'e}rifiant la relation :}

\centerline{$(S)$ \quad : \quad $\forall x \in \segment{0}{1}, f(x) - \integ{0}{x}{f(t)}{t} = g(x)$.}

\textbf{Question 1.}
\begin{enumerate}
\item Montrer l'{\'e}quivalence :

\centerline{$f \inÊF$ est solution de $(S)$ \quad $\Leftrightarrow$ \quad $\left( \forall x \in \segment{0}{1}, f'(x) - f(x) = g'(x) \mbox{ et } f(0) = g(0)\right)$}

On note (*) l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle $y' - y = g'(x)$.

\item R{\'e}soudre l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle (*).
\end{enumerate}

\textbf{Question 2.}

Prouver que $(S)$ poss{\`e}de dans $F$ une unique solution $f$ d{\'e}finie par :

\centerline{$\forall x \in \segment{0}{1}, f(x) = g(x) + \integ{0}{x}{e^{x-t} g(t)}{t}$.}

\textbf{Question 3 : Application.}

D{\'e}terminer la solution $f$ de $(S)$ lorsque $g$ est la fonction $x \in \segment{0}{1} \mapsto \cos{(x)}$.

\bigskip
\textbf{Partie II : Quelques propri{\'e}t{\'e}s de la fonction $T : f \in E \mapsto T(f)$ d{\'e}finie par :}

\centerline{$\forall x \in \segment{0}{1}, T(f)(x) = \integ{0}{x}{f(t)}{t}$.}

On d{\'e}finit l'application $T$ qui {\`a} $f \in E$ associe l'application $T(f)$, d{\'e}finie sur $\segment{0}{1}$ par :

\centerline{$\forall x \in \segment{0}{1}, T(f)(x) = \integ{0}{x}{f(t)}{t}$.}

Pour tout $n \in \N^{*}$, on note $T^{n} = T \circ T^{n-1}$, sachant que $T^{0} = I_{E}$ (application identit{\'e} de $E$).

Lorsque $U$ est un endomorphisme continu de $E$, on d{\'e}signe par $\normetriple{U}$ le r{\'e}el positif :

\centerline{$\normetriple{U} = \bsup{\normeinf{f} \leq 1}{\normeinf{U(f)}}$.}

\textbf{Question 1.}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $T$ est un endomorphisme de $E$.
\item Pr{\'e}ciser $\ker{(T)}$ et $\im{(T)}$.
\item Quel est l'ensemble des valeurs propres de $T$ ?
\end{enumerate}

\textbf{Question 2.}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall x \in \segment{0}{1}, \abs{T(f)(x)}  \leq Ê\normeinf{f}$.

En d{\'e}duire que $T$ est une application continue de $\left(E, \normeinf{\ }\right)$ dans $\left(E, \normeinf{\ }\right)$.

\item Prouver que $\normetriple{T}  \leq  1$.

\item On consid{\`e}re $f_{0} : x \in \segment{0}{1} \mapsto f_{0}(x) = 1$.
Que vaut $\normeinf{T(f_{0})}$ ?

\item Calculer $\normetriple{T}$.
\end{enumerate}

\textbf{Question 3.}

Soit $n \in \N^{*}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $T^{n}(f)$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur $\segment{0}{1}$.

\item Prouver que pour tout entier naturel $k \in \set{0, {\dots}, n-1}$, $\left(T^{n}(f)\right)^{(k)} = T^{n-k}(f)$.

\item Que vaut $\left(T^{n}(f)\right)^{(n)}$ ?
$\left(T^{n}(f)\right)^{(k)}(0)$ pour $k \in \set{0, {\dots}, n-1}$ ?

\item Montrer alors que : $\forall x \in \segment{0}{1}, \left(T^{n}(f)\right)(x) = \integ{0}{x}{\dfrac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} f(t)}{t}$.

\item Pr{\'e}ciser $\ker{(T^{n})}$ et $\im{(T^{n})}$.

\item Prouver que $T^{n}$ est un endomorphisme continu de $\left(E, \normeinf{\ }\right)$.

\item En utilisant la fonction $f_{0}$ d{\'e}finie {\`a} la question 2., prouver que : $\normetriple{T^{n}} = \dfrac{1}{n!}$.

\item En d{\'e}duire que : $\forall f \in E, \forall x \in \segment{0}{1}, \limite{n}{+{\infty}}{T^{n}(f)(x)} = 0$.
Pr{\'e}ciser $\limite{n}{+{\infty}}{T^{n}}$.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{Partie III : Pour $g \inÊE$ donn{\'e}e, recherche de $f \inÊE$ v{\'e}rifiant}

\centerline{$(S)$\quad : \quad $\forall x \in \segment{0}{1}, f(x) - \integ{0}{x}{f(t)}{t} = g(x)$.}


On note $H$ l'application qui a $f \in E$ associe l'application $H(f)$ d{\'e}finie sur $\segment{0}{1}$ par :

\centerline{$\forall x \in \segment{0}{1}, H(f)(x) = \integ{0}{x}{e^{x-t} f(t)}{t}$.}

\textbf{Question 1.}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $H$ est un endomorphisme de $E$.

\item Prouver que : $\exists K  \geq  0$ tel que $\forall x \in \segment{0}{1}$, $\abs{H(f)(x)}  \leq  K\normeinf{f}$.

En d{\'e}duire que $H$ est continue de $\left(E, \normeinf{\ }\right)$ dans $\left(E, \normeinf{\ }\right)$ et que $\normetriple{H}  \leq  e$.

\item Montrer que $H(f)$ est $\mathcal{C}^{1}$ sur $\segment{0}{1}$.
Calculer, pour $x \in \segment{0}{1}$, $\left(H(f)\right)'(x)$.
\end{enumerate}

\textbf{Question 2.}
Prouver que $\forall f \in E$, $\forall x \in \segment{0}{1}$, la s{\'e}rie $\somme{n \geq 1}{}{\left(T^{n}(f)\right)(x)}$ converge absolument.


Pour tout $x$ de $\segment{0}{1}$ et tout $f$ de $E$, on note $\Psi(f)(x) = \somme{n=1}{+{\infty}}{T^{n}(f)(x)}$.

\textbf{Question 3.}

On se propose de montrer que $\Psi = H$.
\begin{enumerate}
\item On pose, pour $n$ fix{\'e} dans $\N^{*}$, $x$ fix{\'e} dans $\segment{0}{1}$ et $f$ fix{\'e}e dans $E$ :
\begin{eqnarray*}
v_{n} : \segment{0}{x} & \rightarrow & \R \\
t & \mapsto & v_{n}(t) = \dfrac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} f(t)
\end{eqnarray*}

Montrer que la s{\'e}rie de fonctions $\somme{n \geq 1}{}{v_{n}}$ converge normalement sur $\segment{0}{x}$.

\item Prouver alors que $\forall f \inÊE, \forall x \in \segment{0}{1}, \somme{n=1}{+{\infty}}{\left(T^{n}(f)\right)(x)} = H(f)(x)$.

En d{\'e}duire que $\Psi = H$.
\end{enumerate}

\textbf{Question 4.}
\begin{enumerate}
\item On note $V = I_{E} - T$.

En calculant, pour $n \in \N$, $\left(\somme{k=0}{n}{T^{k}}\right) \circ V$, trouver $W \in L(E)$ telle que : $W \circ V = I_{E}$.

\item Prouver alors que l'{\'e}quation $(S)$ poss{\`e}de une unique solution $h$ dans $E$.

\item D{\'e}terminer $h$.

\item Que constate-t-on ?
\end{enumerate}
\end{document}
