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\begin{document}

%Source m04xm2e

%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{enumi}.}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\alph{enumii})}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\roman{enumiii})}}

%Macros
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\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
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\newcommand{\matrice}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\newcommand{\transpose}[1]{{}^{t}\!#1}



{\'E}COLE POLYTECHNIQUE \hfill FILI{\`E}RE {\Large MP}

\bigskip
CONCOURS D'ADMISSION 2004

\begin{center}
{\Large DEUXI{\`E}ME COMPOSITION DE MATH{\'E}MATIQUES}

\medskip
(Dur{\'e}e : 4 heures)

\bigskip
L'utilisation des calculatrices n'est pas autoris{\'e}e pour cette {\'e}preuve.
 
\bigskip
$\star \star \star$
\end{center}


\begin{center}
\textbf{{\large Courbures des surfaces dans l'espace $\R^{3}$}}
\end{center}

Ce probl{\`e}me propose une {\'e}tude des surfaces de l'espace $\R^{3}$ et de leurs courbures totale et moyenne.
Pour tout entier $n > 0$, l'espace $\R^{n}$ sera muni de son produit scalaire et de sa norme usuels not{\'e}s respectivement $\scal{\cdot}{\cdot}$ et $\norme{\cdot}$.
La premi{\`e}re partie est consacr{\'e}e {\`a} des pr{\'e}liminaires alg{\'e}briques.

\begin{center}\textbf{Premi{\`e}re partie}\end{center}

\begin{enumerate}
\item %1.
Soient $x^{(1)}$, {\dots}, $x^{(n)}$ des {\'e}l{\'e}ments de $\R^{n+1}$, $\left(x_{j}^{(i)}\right)_{j=1,{\dots},n+1}$ les composantes de $x^{(i)}$ dans
la base canonique de $\R^{n+1}$.
Pour tout $k = 1, \cdots, n + 1$ on note $V_{k}$ le produit par $(-1)^{k+1}$ du d{\'e}terminant de la matrice $\left(x_{j}^{(i)}\right)$ o{\`u} $i = 1, \cdots, n$ et $j = 1, \cdots, k-1, k +1, \cdots, n+1$.
On note $V$ le vecteur de $\R^{n+1}$ de composantes $V_{k}$.

\begin{enumerate}
\item %1.a)
Montrer que $V$ est orthogonal {\`a} tous les $x^{(i)}$.
\item %1.b)
Comparer les conditions suivantes :
\begin{enumerate}
\item $V = 0$
\item la famille $\left(x^{(i)}\right)_{i=1,\cdots,n}$ est li{\'e}e.
\end{enumerate}

\item %1.c)
Exprimer en fonction de $\norme{V}$ le d{\'e}terminant des $n+1$ vecteurs $V$, $x^{(1)}$, {\dots}, $x^{(n)}$ dans la base canonique de $\R^{n+1}$.
\end{enumerate}

\item %2
\begin{enumerate}
\item %2.a)
Montrer que, pour tout $n$-uple de vecteurs $\left(x^{(1)}, \cdots, x^{(n)}\right)$ lin{\'e}airement ind{\'e}pendants, il existe un unique vecteur $W\left(x^{(1)}, \cdots, x^{(n)}\right)$ ayant les propri{\'e}t{\'e}s suivantes
\begin{enumerate}
\item $W\left(x^{(1)}, \cdots, x^{(n)}\right)$ est de norme $1$ et orthogonal {\`a} tous les $x^{(i)}$
\item le d{\'e}terminant des $n+1$ vecteurs $W\left(x^{(1)}, \cdots, x^{(n)}\right)$, $x^{(1)}$, {\dots}, $x^{(n)}$ dans la base canonique de $\R^{n+1}$ est strictement positif.
\end{enumerate}

\item %2.b)
V{\'e}rifier que, pour toute rotation $R$ de $\R^{n+1}$, on a

\centerline{$W\left(R(x^{(1)}), {\dots}, R(x^{(n)})\right) = R\left(W\left(x^{(1)}, \cdots, x^{(n)}\right)\right)$.}
\end{enumerate}

\item %3.
Soit $(e_{1}, {\dots}, e_{n})$ une base de $\R^{n}$, $Q$ la matrice de coefficients $q_{i,j} = \scal{e_{i}}{e_{j}}$.
\begin{enumerate}
\item %3.a)
Montrer que $Q$ est inversible et diagonalisable.
Que peut-on dire de ses valeurs propres ?
\item %3.b)
Soit $v$ un vecteur de $\R^{n}$, de coordonn{\'e}es $v_{i}$ dans la base $(e_{1}, {\dots}, e_{n})$.
Exprimer le vecteur ligne $(v_{1}, {\dots}, v_{n})$ en fonction de $Q$ et du vecteur ligne $\left(\scal{v}{e_{1}}, {\dots}, \scal{v}{e_{n}}\right)$.
\end{enumerate}

Dans la suite du probl{\`e}me, on d{\'e}signe par $U$ une partie ouverte de $\R^{n}$, par $u = \left(u_{1}, {\dots}, u_{n}\right)$ un {\'e}l{\'e}ment quelconque de $U$, par $F$ une application de classe $\mathcal{C}^{2}$ de $U$ dans $\R^{n+1}$, par $\partial_{i}F$ (resp. $\partial_{i}\partial_{j} F$) ses d{\'e}riv{\'e}es partielles d'ordre $1$ (resp. $2$).
On suppose que les $n$ vecteurs $(\partial_{i}F)(u)$ sont lin{\'e}airement ind{\'e}pendants pour tout $u$, et on pose $W(u) = W\left((\partial_{1}F)(u), {\dots}, (\partial_{n}F)(u)\right)$.

\item %4
\begin{enumerate}
\item %4.a)
V{\'e}rifier que l'application $u \mapsto W(u)$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$.

\item %4.b)
Comparer $\scal{(\partial_{k}W)(u)}{(\partial_{i}F)(u)}$ et $\scal{W(u)}{(\partial_{i}\partial_{k}F)(u)}$.

\item %4.c)
D{\'e}montrer l'existence et l'unicit{\'e} de nombres r{\'e}els $a_{i,j}(u)$ tels que l'on ait

\centerline{$(\partial_{i}W)(u) = \somme{j}{}{a_{i,j}(u) (\partial_{j}F)(u)}$.}

\item %4.d)
On note respectivement $A(u)$, $S(u)$, $Q(u)$ les matrices de coefficients respectifs $a_{i,j}(u)$, $\scal{W(u)}{\partial_{i}\partial_{j} F)(u)}$, $ \scal{(\partial_{i}F)(u)}{(\partial_{j}(F)(u))}$.
V{\'e}rifier que $A(u) = -S(u) Q(u)^{-1}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Deuxi{\`e}me partie}\end{center}

Dans toute la suite du probl{\`e}me, on suppose $n = 2$ ; on a donc un ouvert $U$ de $\R^{2}$ et une application $F$ de classe $\mathcal{C}^{2}$ de $U$ dans $\R^{3}$ telle que les vecteurs $(\partial_{1}F)(u)$ et $(\partial_{2}F)(u)$ soient lin{\'e}airement ind{\'e}pendants pour tout $u$ de $U$.
On a en outre

\centerline{$W(u) = \dfrac{\vectoriel{(\partial_{1}F)(u)}{(\partial_{2}F)(u)}}{\norme{\vectoriel{(\partial_{1}F)(u)}{(\partial_{2}F)(u)}}}$}

o{\`u} $\vectoriel{\cdot}{\cdot}$ d{\'e}signe le produit vectoriel dans $\R^{3}$.
On pose

\centerline{$K(u) = \det{A(u)}$, $H(u) = \dfrac{1}{2} \trace{A(u)}$}

o{\`u} $A(u)$ est la matrice d{\'e}finie {\`a} la question \textbf{4.d)}.
On note $F_{i}(u)$, $i = 1, 2, 3$, les composantes de $F(u)$ ; on suppose que $U$ contient le point $0$ et on fait l'{\'e}tude de la surface $F(U)$ au voisinage
du point $F(0)$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
\item %5.
Soit $R$ une rotation de $\R^{3}$. Montrer que les objets $\hat{K}(0)$ et $\hat{H}(0)$ associ{\'e}s {\`a} l'application $\hat{F} = R \circ F$ sont {\'e}gaux respectivement {\`a} $K(0)$ et $H(0)$.

\item %6.
On suppose que, pour $u$ suffisamment voisin de $0$, $F(u)$ est de la forme

\centerline{$F(u) = \left(u_{1}, u_{2}, f(u_{1}, u_{2})\right)$}

avec $f(0) = (\partial_{1}f)(0) = (\partial_{2}f)(0) = 0$.
\begin{enumerate}
\item %6.a)
Calculer $K(0)$ et $H(0)$ en fonction des nombres

\centerline{$r = (\partial_{1}\partial_{1}f)(0)$, $s = (\partial_{1}\partial_{2}f)(0)$, $t = (\partial_{2}\partial_{2}f)(0)$.}

\item %6.b)
(Cas d'un cylindre) On suppose que $f(u_{1}, u_{2})$ est fonction de $u_{1}$ seul, soit $f(u_{1}, u_{2}) = g(u_{1})$.
Exprimer $H(0)$ en fonction de la courbure de la courbe $\Gamma$, intersection du cylindre avec le plan $x_{2} = 0$.
\end{enumerate}

\item %7.
Dans cette question, on consid{\`e}re le cas d'une surface de r{\'e}volution :

\centerline{$F(u) = \left(f(u_{1}) \cos{u_{2}}, f(u_{1}) \sin{u_{2}}, u_{1}\right)$}

o{\`u} $f$ est une fonction strictement positive de classe $\mathcal{C}^{2}$ d{\'e}finie sur un intervalle $I$.
\begin{enumerate}
\item %7.a
Dire pour quelles valeurs de $u$ les vecteurs $(\partial_{1}F)(u)$ et $(\partial_{2}F)(u)$ sont lin{\'e}airement ind{\'e}pendants.
\item %7.b
V{\'e}rifier que

\centerline{$A(u) = f(u_{1})^{-1} \left(1+f'(u_{1})^{2}\right)^{-3/2} \matrice{f(u_{1}) f''(u_{1}) & 0 \\ 0 & - \left(1+f'(u_{1})\right)^{2}}$.}

\item %7.c
Donner une fonction $f$ {\'e}l{\'e}mentaire pour laquelle $H(u)$ est nul pour tout $u$.

\item %7.d
Montrer que, pour tous nombres r{\'e}els $\alpha$ et $\beta$, $\alpha > 0$, il existe $f$ satisfaisant

\centerline{$H(u) = 0$ pour tout $u$, $f(0) = \alpha$, $f'(0) = \beta$.}

Interpr{\'e}ter g{\'e}om{\'e}triquement le r{\'e}sultat obtenu.

\item %7.e
Calculer $K(u)$ pour une telle fonction $f$.
\end{enumerate}

\item %8.
Indiquer, sans aucun calcul, des surfaces pour lesquelles $K(u)$ et $H(u)$ sont des constantes.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Troisi{\`e}me partie}\end{center}

Dans cette partie, on se propose d'{\'e}tudier l'effet d'un changement de param{\'e}trage sur les fonctions $H$ et $K$.

Dans la situation du d{\'e}but de la deuxi{\`e}me partie on note $\dfrac{\partial F}{\partial u}$ la matrice (jacobienne) de coefficients $\left(\dfrac{\partial F}{\partial u}\right)_{i,j} = \partial_{j}F_{i}$.
Notation analogue pour $\dfrac{\partial W}{\partial u}$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{8}
\item %9
V{\'e}rifier que $\dfrac{\partialÊW}{\partial u} = \dfrac{\partial F}{\partial u} \transpose{A(u)}$.

On se donne maintenant un diff{\'e}omorphisme $\Phi$ de $U$ sur un autre ouvert $\tilde{U}$ de $\R^{2}$ et on pose $\Psi = \Phi^{-1}$.

Pour tout $u \in U$ on {\'e}crira aussi $\tilde{u} = \Phi(u)$ ; on pose $\tilde{F}(\tilde{u}) = F(u)$, c'est-{\`a}-dire $\tilde{F} = F \circ \Psi$, et on note $\tilde{W}(\tilde{u})$, $\tilde{A}(\tilde{u})$, $\tilde{K}(\tilde{u})$, $\tilde{H}(\tilde{u})$ les objets d{\'e}finis {\`a} partir de $\tilde{F}$ et $\tilde{u}$ comme $W(u)$, $A(u)$, $K(u)$, $H(u)$ l'ont {\'e}t{\'e} {\`a} partir de $F$ et $u$. On suppose $U$ connexe par arcs.

\item %10.
\begin{enumerate}
\item %10.a)
Exprimer $\dfrac{\partial \tilde{F}}{\partial \tilde{u}}$ en fonction de $\dfrac{\partial F}{\partial u}$ et $\dfrac{\partial \Psi}{\partial \tilde{u}}$, puis $\vectoriel{(\partial_{1} \tilde{F})(\tilde{u})}{(\partial_{2} \tilde{F})(\tilde{u})}$ en fonction de $\vectoriel{(\partial_{1}F)(u)}{(\partial_{2}F)(u)}$ et $\det{\dfrac{\partial\Psi}{\partial \tilde{u}}}$.
\item %10.b
Montrer qu'il existe $\varepsilon \in \set{1, -1}$ tel que l'on ait $\tilde{W}(\tilde{u}) = \varepsilon W(u)$ pour tout $u \in U$.

\item %10.c
Exprimer $\tilde{A}(\tilde{u})$ en fonction de $\varepsilon$, $A(u)$ et $\dfrac{\partial\Psi}{\partial \tilde{u}}$.

\item %10.d
Comparer $\tilde{H}(\tilde{u})$ et $H(u)$, $\tilde{K}(\tilde{u})$ et $K(u)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
