\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}

%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{enumi})} }
\renewcommand{\labelenumii}{\alph{enumii}) }


%Macros
\newcommand{\NomPropre}[1]{\textsc{#1}}
\renewcommand{\leq}{\,\leqslant\,}
\renewcommand{\geq}{\,\geqslant\,}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
\newcommand{\segmN}[2]{\left [ \left | #1, #2 \right  | \right ]}
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}
\newcommand{\bmin}[2]{\min_{#1}\limits #2}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\D}{\mathop{\rm{}d}}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3  \ \D #4}}
\newcommand{\scal}[2]{\left \langle #1,  #2 \right \rangle}
\newcommand{\norme}[1]{\left \| #1 \right \|}




SESSION 2004
\hfill
TPC005



\begin{center}
{\'E}PREUVE SP{\'E}CIFIQUE - FILI{\`E}RE TPC

\medskip
\rule{5cm}{1pt}

\bigskip
{\large \textbf{MATH{\'E}MATIQUES}}

\medskip
Dur{\'e}e : 4 heures
\end{center}

\medskip
\hrule

\vspace{8cm}
\begin{center}
\textit{Les calculatrices sont interdites}

\medskip
* * * * * 
\end{center}

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance {\`a} la clart{\'e}, {\`a} la pr{\'e}cision et {\`a} la concision de la r{\'e}daction.

Si un candidat est amen{\'e} {\`a} rep{\'e}rer ce qui peut lui sembler {\^e}tre une erreur d'{\'e}nonc{\'e}, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a {\'e}t{\'e} amen{\'e} {\`a} prendre.


\clearpage

Dans tout le probl{\`e}me, $E$ d{\'e}signe le $\R$-espace vectoriel $\R[X]$ des polyn{\^o}mes {\`a} coefficients r{\'e}els.

Pour tout entier naturel $n$, on note $E_{n}$ le sous-espace de $E$ form{\'e} par les polyn{\^o}mes de degr{\'e} au plus {\'e}gal {\`a} $n$.

Selon l'usage, on convient d'identifier un polyn{\^o}me et la fonction polynomiale associ{\'e}e.

L'espace $E_{n}$ est muni de sa base canonique $\mathscr{B}_{n} = \left(1, X, X^{2}, {\dots}, X^{n}\right)$.

Les coefficients binomiaux sont not{\'e}s $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! (n-k)!}$ $(0 {\leq} k {\leq}n)$.

\bigskip
\textbf{Partie A : {\'E}tude d'un endomorphisme}

\medskip
{\'E}tant donn{\'e} un polyn{\^o}me $P$ de $E$, on d{\'e}finit un polyn{\^o}me $\phi(P)$ par :

\centerline{$\left [\phi(P)\right ](X) = \left(X^{2} - 1\right) P''(X) + 2 X P'(X)$.}

\begin{enumerate}
\item %Question A.1
Justifier qu'on a ainsi d{\'e}fini un endomorphisme $\phi$ de $E$.
\item %Question A.2
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, le sous-espace vectoriel $E_{n}$ est stable par $\phi$.


\begin{center}
\textbf{On notera d{\'e}sormais $\varphi_{n}$ l'endomorphisme de $E_{n}$ induit par $\phi$ sur $E_{n}$ :}

$\forall P \in�E_{n}, \varphi_{n}(P) = \phi(P)$
\end{center}

\item %Question A.3
Dans cette question, on suppose que $n$ est {\'e}gal {\`a} $3$.
\begin{enumerate}
\item %A.3.a)
{\'E}crire la matrice $M_{3}$ de $\varphi_{3}$ dans la base canonique de $E_{3}$.
\item %A.3.b)
Justifier que $\varphi_{3}$ est diagonalisable.
\item %A.3.c)
D{\'e}terminer une base de $E_{3}$ diagonalisant $\varphi_{3}$, form{\'e}e de polyn{\^o}mes de coefficients dominants {\'e}gaux {\`a} $1$.
\end{enumerate}

\item %Question A.4
On revient au cas g{\'e}n{\'e}ral d'un entier naturel $n$ quelconque.
\begin{enumerate}
\item %A.4.a)
Montrer que la matrice $M_{n}$ de $\varphi_{n}$ dans la base canonique est triangulaire sup{\'e}rieure et pr{\'e}ciser ses coefficients diagonaux.
\item %A.4.b)
En d{\'e}duire que $\varphi_{n}$ est diagonalisable et pr{\'e}ciser les dimensions de ses sous-espaces propres.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : {\'E}tude d'une famille de polyn{\^o}mes}

Pour tout entier naturel $n$, on d{\'e}finit le polyn{\^o}me $L_{n}$ par 

\centerline{$L_{n}(X) = \dfrac{1}{2^{n}} \somme{k=0}{n}{{\binom{n}{k}}^{2} (X-1)^{n-k} (X+1)^{k}}$.}

\begin{enumerate}
\item %Question B.1
Calculer sous forme simplifi{\'e}e les polyn{\^o}mes $L_{0}$, $L_{1}$, $L_{2}$ et $L_{3}$.

\item %Question B.2
Calculer $L_{n}(1)$ pour tout $n \in�\N$.

\item %Question B.3
D{\'e}terminer le degr{\'e} de $L_{n}$ en fonction de $n$ ($n \in \N$) et donner son coefficient dominant sous la forme d'une somme.

\item %Question B.4
En utilisant un changement d'indice, montrer que $L_{n}$ a la m{\^e}me parit{\'e} que $n$.

\item %Question B.5
V{\'e}rifier, {\`a} l'aide de la formule de \NomPropre{Leibniz}, que :

\centerline{$\forall n \in \N, L_{n}(X) = \dfrac{1}{2^{n} n!} \dfrac{\D^{n}}{\D X^{n}} \left [\left(X^{2}-1\right)^{n}\right ]$.}

\item %Question B.6
En d{\'e}duire explicitement le coefficient dominant de $L_{n}$, puis la relation

\centerline{$\forall n \in�\N, \somme{k=0}{n}{{\binom{n}{k}}^{2}} = \binom{2n}{n}$.}

\item %Question B.7
Montrer alors que

\centerline{$\forall n \in \N, \forall x \in \R, \abs{L_{n}(x)} {\leq} \left(\dfrac{1+\abs{x}}{2}\right)^{n} \binom{2n}{n}$.}

\item %Question B.8
On d{\'e}finit, pour tout entier naturel $n$, le polyn{\^o}me $U_{n}(X) = \left(X^{2} - 1\right)^{n}$.
\begin{enumerate}
\item %B.8.a)
V{\'e}rifier que :

\centerline{$\left(X^{2} - 1\right) U'_{n}(X) = 2 n X U_{n}(X)$.}

\item %B.8.b)
En d{\'e}rivant $n+1$ fois cette relation, montrer que

\centerline{$\forall n \in \N, \phi(L_{n}) = n (n+1) L_{n}$.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie C : D{\'e}finition d'un produit scalaire}

On pose

\centerline{$\forall (P, Q) \in�E^{2}, \scal{P}{Q} = \integ{-1}{1}{P(x) Q(x)}{x}$.}

\begin{enumerate}
\item %Question C.1
Justifier que l'on a ainsi d{\'e}fini un produit scalaire sur $E$.

\begin{center}
\textbf{Dans toute la suite du probl{\`e}me, l'espace $E$ et ses sous-espaces $E_{n}$ ($n \in\N$) seront syst{\'e}matiquement munis de ce produit scalaire.}
\end{center}

\item %Question C.2
\begin{enumerate}
\item %C.2.a)
Montrer que

\centerline{$\forall (P, Q) \in�E^{2}, \scal{\phi(P)}{Q} = \integ{-1}{1}{(1-x^{2}) P'(x) Q'(x)}{x}$.}

\item %C.2.b)
Que peut-on dire d{\'e}duire pour les endomorphismes $\varphi_{n}$ ($n \in \N$) ?
\item %C.2.c)
En d{\'e}duire, {\`a} l'aide d'un r{\'e}sultat de la partie \textbf{B}, que les polyn{\^o}mes $L_{p}$ ($p \in�\N$) sont deux {\`a} deux orthogonaux.
\end{enumerate}

\item %Question C.3
Soit $n$ un entier naturel.
\begin{enumerate}
\item %C.3.a)
{\'E}tablir par r{\'e}currence sur $k$ que

\centerline{$\forall k \in \segmN{0}{n}, \scal{Q}{L_{n}} = \dfrac{(-1)^{k}}{2^{n} n!} \integ{-1}{1}{\dfrac{\D^{k}}{\D x^{k}} \left [Q(x)\right ] \dfrac{\D^{n-k}}{\D x^{n-k}}\left [(x^{2}-1)^{n}\right ]}{x}$.}

\item %C.3.b)
En d{\'e}duire que, poour tout $n \in \N^{*}$, $L_{n}$ est orthogonal {\`a} $E_{n-1}$.

\item %C.3.c)
Retrouver ainsi que les polyn{\^o}mes $L_{p}$ ($p \in \N$) sont deux {\`a} deux orthogonaux.
\end{enumerate}

\item %Question C.4
\begin{enumerate}
\item %C.4.a)
{\`A} l'aide de \textbf{C.3)a)}, exprimer, pour tout entier naturel $n$, $\norme{L_{n}}^{2}$ en fonction de

\centerline{$I_{n} = \integ{-1}{1}{(x^{2} - 1)^{n}}{x}$.}

\item %C.4.b)
{\`A} l'aide d'une int{\'e}gration par parties, montrer que

\centerline{$\forall n \in \N, I_{n+1} = -\dfrac{2n+2}{2n+3} I_{n}$.}

\item %C.4.c)
En d{\'e}duire, pour tout $n \in \N$, une expression de $I_{n}$ faisant intervenir des factorielles.

\item %C.4.d)
En d{\'e}duire que

\centerline{$\forall n \in \N, \norme{L_{n}} = \sqrt{\dfrac{2}{2n+1}}$.}
\end{enumerate}

\item %Question C.5
Donner, pour tout entier naturel $n$, une base orthonorm{\'e}e de $E_{n}$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie D : Une relation de r{\'e}currence}

Soit $n$ un entier naturel non nul.
\begin{enumerate}
\item %Question D.1
Calculer le coefficient de $X^{n+1}$ dans $(n+1) L_{n+1}(X) - (2n+1) X L_{n}(X)$.

\item %Question D.2
En d{\'e}duire l'existence et l'unicit{\'e} de $n+1$ r{\'e}els $\alpha_{k}$ tels que 

\centerline{$(n+1) L_{n+1}(X) - (2n+1) X L_{n}(X) = \somme{k=0}{n}{\alpha_{k} L_{k}(X)}$.}

\item %Question D.3
Montrer que  $\forall k \in \segmN{0}{n}, \alpha_{k} = - (2n+1) \dfrac{\scal{XL_{n}}{L_{k}}}{\norme{L_{k}}^{2}}$.

\item %Question D.4
Pour tout $k \in \segmN{0}{n-2}$, v{\'e}rifier que $\scal{XL_{n}}{L_{k}} = \scal{L_{n}}{XL_{k}}$ puis montrer que $\alpha_{k} = 0$.

\item %Question D.5
Par des consid{\'e}rations de parit{\'e}, montrer que $\alpha_{n} = 0$.

\item %Question D.6
En utilisant la valeur des polyn{\^o}mes $L_{k}$ au point $1$, d{\'e}terminer alors $\alpha_{n-1}$.

\item %Question D.7
En d{\'e}duire que $\forall n \in \N^{*}, (n+1) L_{n+1}(X) - (2n+1) XL_{n}(X) + n L_{n-1}(X) = 0$.
\end{enumerate}


\textbf{Partie E : Fonction g{\'e}n{\'e}ratrice}

On fixe un r{\'e}el $t$ et on consid{\`e}re la s{\'e}rie enti{\`e}re $\somme{n\in\N}{}{L_{n}(t) x^{n}}$, de la variable r{\'e}elle $x$.

\begin{enumerate}
\item %E.1
D{\'e}terminer le rayon de convergence de la s{\'e}rie enti{\`e}re $\somme{n\in\N}{}{\left(\dfrac{1+\abs{t}}{2}\right)^{n} \binom{2n}{n} x^{n}}$.

\item %E.2
En d{\'e}duire que le rayon de convergence $R_{t}$ de la s{\'e}rie enti{\`e}re $\somme{n\in\N}{}{L_{n}(t) x^{n}}$ est strictement positif.

On donnera une minoration de $R_{t}$, mais on ne cherchera pas {\`a} le calculer.

\begin{center}\textbf{On note $S_{t}$ la somme de cette s{\'e}rie enti{\`e}re : $\forall x \in \ouvert{-R_{t}}{R_{t}}, S_{t}(x) = \somme{n=0}{+{\infty}}{L_{n}(t) x^{n}}$}
\end{center}

\item %Question E.3
En utilisant le r{\'e}sultat de \textbf{D.7)}, montrer que $S_{t}$ est solution sur $\ouvert{-R_{t}}{R_{t}}$ de l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle suivante, d'inconnue $y$ fonction de $x$ :

\centerline{$(\mathscr{E}_{t})$ $(1 - 2tx + x^{2}) y'(x) + (x-t) y(x) = 0$}

\item %Question E.4
Pour $\abs{t} < 1$, en d{\'e}duire l'expression de $S_{t}(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie F : Projection orthogonale, calcul de distance}

\begin{enumerate}
\item %Question F.1
Calculer, pour tout entier naturel $k$, l'int{\'e}grale

\centerline{$J_{k} = \integ{-1}{1}{x^{k}}{x}$.}

\item %Question F.2
{\'E}tant donn{\'e}s deux entiers naturels $n$ et $r$, tels que $0 {\leq} r {\leq}n$, on note $p_{r}$ la projection orthogonale de $E_{n}$ sur son sous-espace vectoriel $E_{r}$.

Donner une expression g{\'e}n{\'e}rale de $p_{r}(P)$ utilisant le produit scalaire, pour tout polyn{\^o}me $P$ de $E_{n}$.

\item %Question F.3
On suppose d{\'e}sormais $n = 3$ et $P = X^{3}$.
\begin{enumerate}
\item %F.3.a)
D{\'e}terminer $p_{0}(P)$, $p_{1}(P)$ et $p_{2}(P)$.
\item %F.3.b)
Calculer les distances $d(P, E_{k})$ de $P$ aux sous-espaces vectoriels $E_{k}$ pour tout entier $k$ tel que $0 {\leq} k {\leq} 2$.
\end{enumerate}

\item %Question F.4
On note $G$ l'ensemble des polyn{\^o}mes de degr{\'e} $3$ et de coefficient dominant {\'e}gal {\`a} $1$.

Montrer l'existence de

\centerline{$m = \bmin{Q \in G}{\integ{-1}{1}{\left(Q(x)\right)^{2}}{x}}$}

et pr{\'e}ciser sa valeur, ainsi que les polyn{\^o}mes r{\'e}alisant ce minimum.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Fin de l'{\'e}nonc{\'e}}\end{center}

\end{document}
