\documentclass{article}
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%Macros perso
\renewcommand{\leq}{\,\leqslant\,}
\renewcommand{\geq}{\,\geqslant\,}
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\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
\newcommand{\ouvgauche}[2]{\left ] #1, #2 \right ]}
\newcommand{\ouvdroite}[2]{\left [ #1, #2 \right [}
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\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3  \ d#4}}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
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\newcommand{\systeme}[1]{\left \{ \begin{array}{l}  #1 \end{array} \right.}
\newcommand{\limite}[3]{\lim_{#1 \to #2} \limits #3}


%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}) }
\renewcommand{\labelenumii}{\alph{enumii}) }


\begin{minipage}{5cm}
INSTITUT DE STATISTIQUE DE L'UNIVERSIT{\'E} DE PARIS
\end{minipage}

\begin{center}
\textbf{{\large \underline{CONCOURS D'ENTR{\'E}E 2004}}}

\textbf{\textit{{\'E}preuve de Math{\'e}matique I}}

\textbf{\textit{3 heures}}
\end{center}

On note $E$ le $\R$-espace vectoriel des applications continues de $\segment{0}{2}$ dans $\R$ et $\normeun{\cdot}$ la norme de la convergence en moyenne sur $E$, d{\'e}finie par :
$$\forall f \inÊE, \normeun{f} = \integ{0}{2}{\abs{f(x)}}{x}$$

L'objet du probl{\`e}me est l'{\'e}tude de courbes int{\'e}grales d'{\'e}quations diff{\'e}rentielles lin{\'e}aires de la forme
$$(1-x)^{p} y' + a(x) y = 0$$

o{\`u} $p$ d{\'e}signe un entier naturel strictement positif et $a$ une fonction appartenant {\`a} $E$.

\begin{center}\textbf{Partie 1}\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Question I.1
On note $\normeinf{\cdot}$ la norme de la convergence uniforme sur $E$, d{\'e}finie par :
$$\forall f \inÊE, \normeinf{f} = \sup{\set{\abs{f(x)} ; x \in \segment{0}{2}}}$$
\begin{enumerate}
\item %I.1.a
Trouver la plus petite constante r{\'e}elle $c$ v{\'e}rifiant
$$\forall f \inÊE, \normeun{f} {\leq} c \normeinf{f}$$

\item %I.1.b
Existe-t-il une constante r{\'e}elle $d$ v{\'e}rifiant 

\centerline{$\forall f \inÊE, \normeinf{f} {\leq} d \normeun{f}$ ?}

\item %I.1.c
Montrer que l'ensemble des fonctions r{\'e}elles continues sur $\segment{0}{2}$ et d{\'e}rivables en tout point $x$ de la r{\'e}union $\ouvdroite{0}{1} \cup \ouvgauche{1}{2}$ est une partie dense de l'espace vectoriel norm{\'e} $\left(E, \normeun{\cdot}\right)$

(on pourra utiliser le th{\'e}or{\`e}me de Weierstrass : toute fonction r{\'e}elle continue sur un segment est, sur ce segment, limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales).
\end{enumerate}

\item %Question I.2
Pour tout entier naturel strictement positif $n$, on note $g_{n}$ la fonction d{\'e}finie sur le segment $\segment{0}{2}$ par :
$$\forall x \in \segment{0}{2}, g_{n}(x) = \sqrt[n]{\abs{x^{n} - 1}}$$

\begin{enumerate}
\item %I.2.a
Montrer que, pour tout entier naturel strictement positif $n$, la fonction $g_{n}$ est un {\'e}l{\'e}ment de $E$.
En quels points est-elle d{\'e}rivable ?
\item %I.2.b
Montrer que la suite $(g_{n})_{n \inÊ\N^{*}}$ converge simplement vers une fonction $g$, que l'on pr{\'e}cisera.
\item %I.2.c
La suite $(g_{n})_{n \inÊ\N^{*}}$ converge-t-elle uniform{\'e}ment sur le segment $\segment{0}{2}$ ?
\item %I.2.d
La suite $(g_{n})_{n \inÊ\N^{*}}$ converge-t-elle uniform{\'e}ment sur l'intervalle $\ouvdroite{0}{1}$ ?
\end{enumerate}

\item %Question I.3
\begin{enumerate}
\item %I.3.a
D{\'e}montrer, {\`a} l'aide du th{\'e}or{\`e}me de convergence domin{\'e}e, que la suite de terme g{\'e}n{\'e}ral $\integ{0}{2}{g_{n}(x)}{x}$ est convergente et de limite {\'e}gale {\`a} $\dfrac{5}{2}$.
\item %I.3.b
Montrer que la suite $(g_{n})_{n \inÊ\N^{*}}$ est une suite convergente de l'espace vectoriel norm{\'e} $\left(E, \normeun{\cdot}\right)$.
\item %I.3.c
L'ensemble des fonctions de $E$ qui s'annulent au point $1$ est-il une partie ferm{\'e}e de l'espace vectoriel norm{\'e} $\left(E, \normeun{\cdot}\right)$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie 2}\end{center}

Dans cette partie, ind{\'e}pendante des deux autres, on {\'e}tudie la vitesse de convergence de la suite des int{\'e}grales des fonctions $g_{n}$, sur $\segment{0}{1}$ et sur $\segment{0}{2}$.

\begin{enumerate}
\item %Question II.1
\begin{enumerate}
\item %II.1.a
Montrer que, pour tout entier $n$ strictement positif, la fonction $x \mapsto \ln{(1-x^{n})}$ est int{\'e}grable sur l'intervalle $\ouvdroite{0}{1}$.

\item %II.1.b
Quelle est la limite de l'int{\'e}grale $J_{n} = \integ{0}{1}{\ln{(1-x^{n})}}{x}$ lorsque $n$ tend vers l'infini ?

\item %II.1.c
D{\'e}montrer que la fonction $x \mapsto \dfrac{\ln{(1-x)}}{x}$ est int{\'e}grable sur l'intervalle $\ouvert{0}{1}$ et justifier l'{\'e}galit{\'e} :
$$\integ{0}{1}{\dfrac{\ln{(1-x)}}{x}}{x} = -\somme{k=1}{{\infty}}{\dfrac{1}{k^{2}}}$$

\item %II.1.d
En admettant l'{\'e}galit{\'e} $\somme{k=1}{{\infty}}{\dfrac{1}{k^{2}}} = \dfrac{\pi^{2}}{6}$, d{\'e}montrer que, lorsque $n$ tend vers l'infini, on a l'{\'e}quivalence :
$$J_{n} \sim \dfrac{\pi^{2}}{6n}$$
\end{enumerate}

\item %Question II.2
\begin{enumerate}
\item %II.2.a
Justifier, pour tout nombre r{\'e}el n{\'e}gatif ou nul $u$, la double in{\'e}galit{\'e} :
$$1+u {\leq} e^{u} {\leq} 1 + u + \dfrac{u^{2}}{2}$$

\item %II.2.b
{\'E}tablir, pour tout entier strictement positif $n$, la double in{\'e}galit{\'e} :
$$\dfrac{J_{n}}{n} {\leq} \integ{0}{1}{g_{n}(x)}{x} - 1 {\leq} \dfrac{J_{n}}{n} + \dfrac{1}{2 n^{2}} \integ{0}{1}{ \left(\ln{(1-x)}\right)^{2}}{x}$$

\item %II.2.c
D{\'e}duire des r{\'e}sultats pr{\'e}c{\'e}dents un {\'e}quivalent simple de $1 - \integ{0}{1}{g_{n}(x)}{x}$, lorsque $n$ tend vers l'infini.
\end{enumerate}

\item %Question II.3
D{\'e}montrer que, lorsque $n$ tend vers l'infini, on a :
$$\integ{0}{2}{g_{n}(x)}{x} = \dfrac{5}{2} - \dfrac{\pi^{2}}{3 n^{2}} + \petito{\dfrac{1}{n^{2}}}$$
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie 3}\end{center}

Dans cette partie, on consid{\`e}re un nombre entier $p$ strictement positif et une suite $(a_{n})_{n \in \N^{*}}$ de fonctions appartenant {\`a} $E$, {\`a} valeurs strictement comprises entre $0$ et $1$.

Pour tout entier $n$ strictement positif, on note $f_{n}$ l'unique application d{\'e}rivable de $\ouvdroite{0}{1}$ dans $\R$ v{\'e}rifiant :
$$\systeme{f_{n}(0) = 1 \\
\forall x \in \ouvdroite{0}{1}, (1-x)^{p} f'_{n}(x) + a_{n}(x) f_{n}(x) = 0}$$

\begin{enumerate}
\item %Question III.1
Dans cette question et la suivante, l'entier $n$ est consid{\'e}r{\'e} comme fix{\'e}.
\begin{enumerate}
\item %III.1.a
Donner une expression de $f_{n}(x)$ sous forme exponentielle.

\item %III.1.b
D{\'e}montrer que la fonction $f_{n}$ est d{\'e}croissante sur $\ouvdroite{0}{1}$ et de limite nulle en $1$.

\item %III.1.c
Montrer qu'en prolongeant $f_{n}$ par la valeur $0$ en $1$, on obtient une fonction de classe $C^{1}$ sur le segment $\segment{0}{1}$ si et seulement si l'entier $p$ est au moins {\'e}gal {\`a} $2$.

\item %III.1.d
Pour quelles valeurs de $p$ l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle $(1-x)^{p} y' + a_{n}(x) y = 0$ admet-elle une solution sur $\segment{0}{2}$ autre que la fonction nulle ?
\end{enumerate}

\item %Question III.2
\begin{enumerate}
\item %III.2.a
D{\'e}montrer que la fonction $x \mapsto \sqrt{1 + f'_{n}(x)^{2}}$ est int{\'e}grable sur $\ouvdroite{0}{1}$ et {\'e}tablir l'in{\'e}galit{\'e} :
$$\integ{0}{1}{\sqrt{1 + f'_{n}(x)^{2}}}{x} {\leq} 2$$

\item %III.2.b
{\'E}tablir, pour tout {\'e}l{\'e}ment $x$ de $\ouvdroite{0}{1}$, l'in{\'e}galit{\'e} 
$$\integ{x}{1}{\sqrt{1 + f'_{n}(t)^{2}}}{t} {\geq} \sqrt{(1-x)^{2} + f_{n}(x)^{2}}$$
en en donner une interpr{\'e}tation g{\'e}om{\'e}trique.
\end{enumerate}

\item %Question III.3
On suppose dans cette question que la suite $(a_{n})_{n \in \N^{*}}$ converge uniform{\'e}ment vers $0$ sur tout segment inclus dans l'intervalle $\ouvdroite{0}{1}$.
\begin{enumerate}
\item %III.3.a
Montrer que, pour tout r{\'e}el strictement positif $\varepsilon$, l'int{\'e}grale $\integ{0}{1-\varepsilon}{\sqrt{1+f'_{n}(x)^{2}}}{x}$ tend vers $1-\varepsilon$ quand $n$ tend vers l'infini.

\item %III.3.b
Utiliser les in{\'e}galit{\'e}s {\'e}tablies dans la question pr{\'e}c{\'e}dente pour prouver que :
$$\limite{n}{+{\infty}}{\integ{0}{1}{\sqrt{1 + f'_{n}(x)^{2}}}{x}} = 2$$
\end{enumerate}

\item %Question III.4
\begin{enumerate}
\item %III.4.a
Trouver un entier $q$ et une suite $(b_{n})_{n \in \N^{*}}$ d'{\'e}l{\'e}ments de $E$ tels que la fonction $g_{n}$, d{\'e}finie dans la premi{\`e}re partie, soit, sur chacun des deux intervalles $\ouvdroite{0}{1}$ et $\ouvgauche{1}{2}$, solution de l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle :
$$(1-x)^{q} y' + b_{n}(x) y = 0  \eqno{(e_{n})}$$

\item %III.4.b
Justifier, pour tout entier $n$ strictement positif, l'existence et l'unicit{\'e} d'un {\'e}l{\'e}ment $h_{n}$ de $E$ v{\'e}rifiant :
$$\systeme{h_{n}(0) = h_{n}(2) = 1 \\
\forall x \in \ouvdroite{0}{1} \cup \ouvgauche{1}{2}, (1-x^{n}) h'_{n}(x) + x^{n-1} h_{n}(x) = 0}$$

\item %III.4.c
Trouver la limite des int{\'e}grales $\integ{0}{1}{\sqrt{1 + h'_{n}(x)^{2}}}{x}$ et $\integ{1}{2}{\sqrt{1 + h'_{n}(x)^{2}}}{x}$ quand $n$ tend vers l'infini.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
