\documentclass{article}
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\begin{document}
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%Macros perso
\renewcommand{\leq}{\,\leqslant\,}
\renewcommand{\geq}{\,\geqslant\,}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
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\newcommand{\integrale}[3]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3}}
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%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}) }



\begin{minipage}{5cm}
INSTITUT DE STATISTIQUE DE L'UNIVERSIT{\'E} DE PARIS
\end{minipage}

\begin{center}
\textbf{{\large \underline{CONCOURS D'ENTR{\'E}E 2004}}}

\textbf{\textit{{\'E}preuve de Math{\'e}matique III}}

\textbf{\textit{3 heures}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{{\large \underline{NOTATIONS}}}\end{center}

On consid{\`e}rera des fonctions de variable r{\'e}elle, {\`a} valeurs complexes, p{\'e}riodiques, admettant $2\pi$ comme p{\'e}riode.
On dit qu'une telle fonction $f$ est continue par morceaux si l'intervalle $\ouvert{-\pi}{\pi}$ peut {\^e}tre d{\'e}compos{\'e} en un nombre fini (d{\'e}pendant de $f$) de sous-intervalles $\left(a_{i}, a_{i+1}\right)$ :

\centerline{$\pi = a_{0} < a_{1} < a_{2} < {\dots} a_{i} < {\dots} < a_{n} = \pi$}

tels que $f$ soit continue sur chaque $\ouvert{a_{i}}{a_{i+1}}$, admette une limite {\`a} gauche de $a_{i+1}$ :

\centerline{$f(a_{i+1}-) = \lim_{\stackrel{y \to a_{i+1}}{<}}\limits{f(y)}$}

 et admette une limite {\`a} droite de $a_{i}$ :

\centerline{$f(a_{i}+) = \lim_{\stackrel{y \to a_{i}}{>}}\limits{f(y)}$.}


On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des fonctions $2\pi$-p{\'e}riodiques, continues par morceaux et $\mathcal{C}^{0}$ le sous-ensemble des fonctions continues sur $\R$.

On dit qu'une fonction $f$ appartenant {\`a} $\mathcal{C}$ est $\mathscr{C}^{1}$ par morceaux si, en outre, $f$ admet sur chaque intervalle $\ouvert{a_{i}}{a_{i+1}}$ une d{\'e}riv{\'e}e $f'$ et si, en outre, cette d{\'e}riv{\'e}e admet une limite {\`a} gauche de $a_{i+1}$ et une limite {\`a} droite de $a_{i}$.

On note $\mathfrak{E}$ l'ensemble des fonctions $2\pi$-p{\'e}riodiques, continues par morceaux et $\mathscr{C}^{1}$ par morceaux.

On note $\mathfrak{D}$ [resp. $\mathfrak{F}$] le sous-ensemble de $\mathcal{C}$ [resp. $\mathfrak{E}$] constitu{\'e} des fonctions v{\'e}rifiant en tout point :

\centerline{$2 f(x) = f(x-) + f(x+)$.}

Pour toute fonction $f$ appartenant {\`a} $\mathcal{C}$ et tout $p \in \Z$, on note :

\centerline{$c_{p}(f) = \integ{-\pi}{\pi}{f(t) \dfrac{e^{-ipt}}{2\pi}}{t}$}

et pour tout $n \in \N$, on note :

\centerline{$S_{n}(f) = \somme{p=-n}{n}{c_{p}(f) e^{ipx}}$.}

\begin{center}\textbf{{\large I. \quad \underline{{\'E}TUDE G{\'E}N{\'E}RALE}}}\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Question I.1
Donner les relations d'inclusion qui lient les espaces :

\centerline{$\mathcal{C}$, $\mathcal{C}^{0}$, $\mathfrak{D}$, $\mathfrak{E}$, $\mathfrak{F}$.}

\item %Question I.2
Montrer que les fonctions de $\mathcal{C}$ sont born{\'e}es.

\item %Question I.3
En d{\'e}duire l'existence des $c_{p}(f)$.

\item %Question I.4
Montrer que, sur $\mathfrak{D}$ :

\centerline{$\nu_{1}(f) = \integ{-\pi}{\pi}{\abs{f(t)}}{t}$}

est une norme.

\item %Question I.5
Montrer que :

\centerline{$\nu_{2}(f) = \left(\integ{-\pi}{\pi}{\abs{f(t)}^{2}}{t}\right)^{1/2}$}

est une norme euclidienne associ{\'e}e au produit scalaire hermitien :

\centerline{$\scal{f}{g} = \integ{-\pi}{\pi}{\conj{f(t)} g(t)}{t}$.}

\item %Question I.6
Montrer que $\set{\varepsilon_{p} = \dfrac{e^{ipt}}{\sqrt{2\pi}} : p \in \Z}$ est un syst{\`e}me orthonorm{\'e} pour ce produit hermitien.

\item %Question I.7
Montrer que, pour toute fonction $f$ appartenant {\`a} $\mathcal{C}$, et pour tout $n \in \N$ :

\centerline{$2\pi \left(\somme{k=-n}{n}{\abs{c_{k}(f)}^{2}}\right)^{1/2} {\leq} \nu_{2}(f)$.}

\item %Question I.8
En d{\'e}duire que $c_{k}(f)$ tend vers $0$ lorsque $k$ tend vers $\pm{\infty}$.
\end{enumerate}


\begin{center}\textbf{{\large II. \quad \underline{SOMMES DE DIRICHLET}}}\end{center}

L'espace $\mathcal{C}$ est muni de la loi de composition :

\centerline{$\convolee{f}{g}(x) = \integ{-\pi}{\pi}{f(t) g(x-t)}{t}$}

\begin{enumerate}
\item %Question II.1
Cette loi de composition est-elle interne {\`a} $\mathcal{C}$ ? {\`a} $\mathcal{C}^{0}$ ?

\item %Question II.2
Montrer que $\convolee{f}{g} = \convolee{g}{f}$.

\item %Question II.3
Est-elle associative ?

\item %Question II.4
Montrer que :

\centerline{$S_{n}(f) = \dfrac{1}{2\pi} \convolee{f}{D_{n}}$}

o{\`u} : \centerline{$D_{n}(x) = \somme{k=-n}{n}{e^{ikx}}$\hspace{3cm}}

\item %Question II.5
Montrer que :

\centerline{$D_{n}(x) = \dfrac{\sin{{\left [(2n+1)\dfrac{x}{2}\right ]}}}{\sin{\left(\dfrac{x}{2}\right)}}$}

\item %Question II.6
Montrer que 

\centerline{$\integ{-\pi}{\pi}{D_{n}(t)}{t} = 2\pi$}

\centerline{$\integ{-\pi}{\pi}{\abs{D_{n}(t)}}{t} \to {\infty}$ lorsque $n \to {\infty}$.}

\medskip
Dans la suite, nous allons {\'e}tudier une fonction continue dont les sommes de Fourier, $S_{n}(f)$, ne convergent pas ponctuellement vers $f$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{{\large III. \quad \underline{UNE {\'E}TUDE PARTICULI{\`E}RE}}}\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Question III.1
Soit $f : \R \rightarrow \R$ la fonction paire, $2\pi$ p{\'e}riodique, telle que

\centerline{$\forall x \in \segment{0}{\pi}, f(x) = \somme{p=1}{+{\infty}}{\dfrac{1}{p^{2}} \sin{\left [\left(2^{p^{3}} + 1\right) \dfrac{x}{2}\right ]}}$.}

V{\'e}rifier l'existence et la continuit{\'e} de $f$.

\item %Question III.2
Pour tout $k \in \N$, on pose :
$$\begin{array}{l}
\forall n \in \N, x_{n, k} = \integ{0}{\pi}{\cos{nt} \ \sin{\dfrac{(2k+1)t}{2}}}{t}, \\
\forall q \in \N, s_{q, k} = \somme{i=0}{q}{x_{i,k}}
\end{array}
$$

Montrer que

\centerline{$x_{n,k} = \dfrac{k+\dfrac{1}{2}}{\left(k+\dfrac{1}{2}\right)^{2} - n^{2}} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n+k+\dfrac{1}{2}} - \dfrac{1}{n-k-\dfrac{1}{2}}\right)$}

\item %Question III.3
Montrer que, si $q {\geq} k$

\centerline{$2 s_{q,k} = \dfrac{1}{k+\dfrac{1}{2}} + \somme{i=q-k}{q+k}{\dfrac{1}{i+\dfrac{1}{2}}}$}

\item %Question III.4
En d{\'e}duire que $s_{q, k} {\geq} 0$, pour tout $(q, k) \in \N^{2}$.

\item %Question III.5
Montrer que $2 s_{k,k} {\geq} \somme{i=0}{2k}{\integrale{i+\frac{1}{2}}{i+\frac{3}{2}}{\dfrac{dt}{t}}}$

\item %Question III.6
En d{\'e}duire que : $s_{k, k} {\geq} \dfrac{\ln{k}}{2}$

\item %Question III.7
On s'int{\'e}resse {\`a} la s{\'e}rie de Fourier de $f$ en $0$ :

\centerline{$S_{n} = S_{n}(f) = \somme{k=-n}{n}{c_{k}(f)}$}

et on pose, pour tout $k \in \N$

\centerline{$a_{k}(f) = c_{k}(f) + c_{-k}(f) = \integ{-\pi}{\pi}{f(t) \dfrac{\cos{(kt)}}{\pi}}{t}$}

Montrer que : $\forall k \in \N, a_{k}(f) = \dfrac{2}{\pi} \somme{p=1}{+{\infty}}{\dfrac{1}{p^{2}} \integ{0}{\pi}{ \sin{\left [\left(2^{p^{3}} + 1\right) \dfrac{t}{2}\right ] \cos{nt}}}{t}}$,

(en justifiant soigneusement cette formule) et calculer $a_{k}(f)$ en fontion des $s_{p,q}$.

\item %Question III.8
Montrer que

\centerline{$S_{n}(f)(0) = \dfrac{2}{\pi} \somme{p=1}{+{\infty}}{\dfrac{1}{p^{2}} s_{n,2^{p^{3}-1}}}$}

\item %Question III.9
En d{\'e}duire que

\centerline{$\forall p \in \N, S_{2^{p^{3}-1}} {\geq} \dfrac{1}{p^{2}} S_{2^{p^{3}-1}, 2^{p^{3}-1}} {\geq} \dfrac{1}{2p^{2}} \log{(2^{p^{3}-1})} = \dfrac{p^{3}-1}{2p^{2}} \log{2}$}

\item %Question III.10
Ceci montre que $S_{2^{p^{3}-1}} \to +{\infty}$, conclure.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{{\large IV. \quad \underline{{\'E}TUDE D'UN EXEMPLE ET RETOUR SUR LA}}}

\textbf{{\large \underline{D{\'E}MONSTRATION DU TH{\'E}OR{\`E}ME DE DIRICHLET}}}\end{center}

On consid{\`e}re la fonction $2\pi$-p{\'e}riodique
$$\begin{array}{lcl}
f(x) = -\pi-x & \mbox{ si } & -\pi {\leq} x < 0 \\
f(x) = \pi-x & \mbox{ si } & 0 {\leq} x {\leq}�\pi
\end{array}$$

\begin{enumerate}
\item %Question IV.1
Calculer ses coefficients de Fourier.

\item %Question IV.2
Montrer que $\somme{n\in\Z}{}{\abs{c_{n}(f)}} = +{\infty}$ et que $\somme{n\in\Z}{}{\abs{c_{n}(f)}^{2}} < {\infty}$.

\item %Question IV.3
Montrer que $\abs{\somme{p=1}{m}{\dfrac{\sin{(px)}}{p}}}$ est major{\'e} par une constante ind{\'e}pendante de $m$ et de $x$.

\item %Question IV.4
Montrer que, si l'on pose

\centerline{$g_{1}(t) = \systeme{h(x-t) \cotg{\left(\dfrac{t}{2}\right)} \mbox{ si } \delta {\leq} \abs{t} {\leq} \pi \\
0 \mbox{ si }\abs{t} {\leq} \delta}$}

et

\centerline{$g_{2}(t) = \systeme{h(x-t) \cotg{\left(\dfrac{t}{2}\right)} \mbox{ si } \delta {\leq} \abs{t} {\leq} \pi \\
0 \mbox{ si }\abs{t} {\leq} \delta}$}

%C'est bien le texte d'origine ...

et si $h \in \mathcal{C}$, on peut {\'e}crire :

$$\begin{array}{lcl}
\int_{-\pi}^{-\delta}\limits + \integrale{\delta}{\pi}{h(x-t) D_{n}(t) \dfrac{dt}{2\pi}} & = & \integrale{-\pi}{\pi}{g_{1}(t) \sin{(nt) \dfrac{dt}{2\pi}}} + \integrale{-\pi}{\pi}{g_{2}(t) \cos{(nt) \dfrac{dt}{2\pi}}} \\
&=& \Im{\left [\integrale{-\pi}{\pi}{g_{1}(t) e^{int} \dfrac{dt}{2\pi}}\right ]} + \Re{\left [\integrale{-\pi}{\pi}{g_{2}(t) e^{int} \dfrac{dt}{2\pi}}\right ]}
\end{array}$$

\item %Question IV.5
Montrer que les deux int{\'e}grales tendent vers $0$ si $n$ tend vers l'infini.

\item %Question IV.6
En d{\'e}duire une d{\'e}monstration du th{\'e}or{\`e}me de Dirichlet pour les fonctions de $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\end{document}
