%%%% format LATEX 2.09

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%%%%%%%%%%%%%%%%%   Corrig\'{e} de la premi\`{e}re \'{e}preuve de math\'{e}matiques
%%%%%%%%%%%%%%%%%            Agr\'{e}gation interne 2004
%%%%%%%%%%%%%%%%%   par St\'{e}phane Legros (MP Rouen) stephane.legros@free.fr
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\documentstyle[epsf]{article}


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%%%%%%%%%%%%%%%%%                   MACROS
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\pagestyle{plain}


\parindent=0pt
\frenchspacing

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\def\longtetep{165mm}
\def\longtetei{165mm}

\parskip 3pt
\renewcommand{\footnoterule}{\vskip 3pt \hbox to 2.35cm{\hrulefill} \vskip 3pt}

\font\twelvesym=msbm10 at 12pt
\font\tensym=msbm10
\font\sevensym=msbm7
\font\fivesym=msbm5

\font\twelvegoth=eufb10 at 12pt
\font\tengoth=eufb10
\font\sevengoth=eufb7
\font\fivegoth=eufb5

\newfam\gothfam
\textfont\gothfam=\tengoth
\scriptfont\gothfam=\sevengoth
\scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth
\def\goth{\fam\gothfam\tengoth}


\def\C{{\bf C}}
\def\N{{\bf N}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\R{{\bf R}}
\def\Z{{\bf Z}}

\def\d{\displaystyle}


\def\SG{{\goth S}}
\def\IG{{\goth I}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\binomial#1#2{\left(\,\matrix{#1 \cr #2}\,\right)}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\def\vt{\vrule height 0mm depth 2mm width 0mm}
\def\vtt{\vrule height 0mm depth 3mm width 0mm}
\def\vttt{\vrule height 0mm depth 13mm width 0mm}
\def\vtr#1{\vrule height 0mm depth #1mm width 0mm}
\def\wtr#1#2{\vrule height #2mm depth #1mm width 0mm}

% ****************************************************************************
% ****************************************************************************

% Fonctions usuelles:

\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\exp{\mathop{\rm exp}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\cotan{\mathop{\rm cotan}\nolimits}
\def\arctan{\mathop{\rm Arctan}\nolimits}
\def\argth{\mathop{\rm Argth}\nolimits}
\def\argsh{\mathop{\rm Argsh}\nolimits}
\def\argch{\mathop{\rm Argch}\nolimits}
\def\arcsin{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits}
\def\arccos{\mathop{\rm Arccos}\nolimits}
\def\build#1_#2^#3{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}^{#3}}}

% Derivee partielle

\def\part#1#2{{\partial #1\over \partial #2}}
\def\partxx#1#2{{\partial^2 #1\over \partial #2^2}}
\def\partxy#1#2#3{{\partial^2 #1\over \partial #2\partial#3}}
\def\dif#1#2{{{\rm d}#1\over {\rm d}#2}}


% Convergence

\def\tend#1#2#3#4{\build\hbox to #1mm{\rightarrowfill}_{#3\rightarrow #4}^{}#2}



% application f A B a b donne f : A  -> B
%                                a |-> b

\def\application#1#2#3#4#5{\begin{tabular}[t]{cccc}
                                              $\d #1\,:$&$\d #2$&$\d \longrightarrow$&$\d #3$\\
                                                        &$\d #4$&$\d \longmapsto$&$\d #5$\\
                           \end{tabular}}

        % applicationbis A B a b donne   A  -> B
        %                                a |-> b


\def\applicationbis#1#2#3#4{\begin{tabular}[t]{ccc}
                                              $\d #1$&$\d \longrightarrow$&$\d #2$\\
                                              $\d #3$&$\d \longmapsto$&$\d #4$\\
                           \end{tabular}}



%Expression en rm dans un $  $

\def\Ker#1{{\rm Ker}\left(#1\right)}
\def\Im#1{{\rm Im}\,#1}
\def\dim#1{{\rm dim}\left(#1\right)}
\def\rg#1{{\rm rg}\left(#1\right)}
\def\Mat#1{{\rm Mat}\left(#1\right)}
\def\Vect#1{{\rm Vect}\left(#1\right)}
\def\Tr#1{{\rm Tr}\left(#1\right)}
\def\et{\ {\rm et}\ }
\def\ou{\ {\rm ou}\ }
\def\Card{\ {\rm Card}\ }

% Ecrire en calligraphique

\def\ca#1{{\cal #1}}

% Num\'{e}ro de question (d\'{e}cal\'{e}e dans la marge)

\def\ques#1{\vskip .5cm \hskip -1.6cm \hbox to 1.58cm{\bf #1 \hfill}}
\def\vec#1{\overrightarrow {#1}}
\def\norme#1{\left|\left|\overrightarrow {#1}\right|\right|}
\def\ps#1#2{\left\langle \,#1\, ,\, #2\,\right\rangle}
\def\ep{\varepsilon}
\def\la{\lambda}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%       D\'{e}but du corrig\'{e}
%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}
\Large \bf Agr\'{e}gation interne 2005
\vskip 3mm
\Large \bf Corrig\'{e} de la premi\`{e}re \'{e}preuve\\

\vskip 1cm

\end{center}

\section*{I. Nombre de rotations d'une ligne polygonale ferm{\'e}e}

\ques{I.1)a)}L'application $u\mapsto \rho(u)^2+\rho'(u)^2$ est de classe $C^{k-1}$ et strictement positive sur $\R$. Comme $\sqrt{\ \ }$ est de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$, $g$ est de classe $C^k$. D'autre part, $g'(x)>0$ pour tout $x\in \R${\,}; $g$ r{\'e}alise donc un $C^k$ diff{\'e}omorphisme  de $\R$ sur l'intervalle $g(\R)$. Enfin, $g'$ est de p{\'e}riode $2\pi$ et strictement positive{\,}: elle admet donc un minimum $m>0$ sur $\R$. On en d{\'e}duit{\,}:
\begin{itemize}
\item pour $x>0$, $g(x) \geq mx$ donc $g(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty${\,} ;
\item pour $x<0$, $g(x) \leq mx$ donc $g(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $-\infty$.
\end{itemize}
Ceci prouve que $g(\R)=\R${\,}: $g$ est un $C^k$-diff{\'e}omorphisme de $\R$ sur lui-m{\^e}me.


\ques{I.1)b)}Pour $t\in \R$, on peut {\'e}crire{\,}:
$$g(t+2\pi)-g(t)=\int_t^{t+2\pi} \varphi(u)\,{\rm d}u$$
o{\`u}  $\d\varphi{\,}:\ u\mapsto \sqrt{\rho(u)^2+\rho'(u)^2}$. Comme $\varphi$ est de p{\'e}riode $2\pi$, son int{\'e}grale sur une p{\'e}riode $[a,a+2\pi]$ est ind{\'e}pendante de $a$, et donc{\,}:
$$g(t+2\pi)-g(t)=\int_t^{t+2\pi} \varphi(u)\,{\rm d}u=\int_0^{2\pi} \varphi(u)\,{\rm d}u=g(2\pi). $$

\ques{I.1)c)}La formule de d{\'e}riv{\'e}e d'une application compos{\'e}e donne{\,}:
$${{\rm d}M\over {\rm d}s}(s)=f'\circ g^{-1}(s)\times \left(g^{-1}\right)'(s)= {f'\circ g^{-1}(s)\over g'(g^{-1}(s))}
={f'\left(g^{-1}(s) \right)\over
\left|\left|f'\left(g^{-1}(s)\right)\right|\right|}$$
donc $\left|\left|{{\rm d}M\over {\rm d}s}(s)\right|\right|=1$ pour tout $s\in
\R$. Nous noterons $\vec T(s)$ ce vecteur unitaire tangent {\`a} $B$
au point d'abscisse curviligne $s$.

\vskip .3cm
$L=\d\int_0^L \left|\left|\vec T(s)\right|\right|{\rm d}s$
est la longueur de la courbe $B$.

\ques{I.1)d)}On a $M(s+L)=f(g^{-1}(s+L))=f(g^{-1}(s)+2\pi)=f(g^{-1}(s))=M(s)$ pour tout $s$, donc $M$ est $L$-p{\'e}riodique.

\vskip .3cm
Si $s_2-s_1\in L\Z$, on a donc $M(s_2)=M(s_1)$. R{\'e}ciproquement, supposons que $M(s_1)=M(s_2)$ et notons $t_1$ et $t_2$ les images de $s_1$ et $s_2$ par $g^{-1}$. L'{\'e}galit{\'e} $f(t_1)=f(t_2)$ donne $\rho(t_1)= |f(t_1)|=|f(t_2)|=\rho(t_2)$, puis ${\rm e}^{it_1}= {\rm e}^{it_2}$ (car $\rho(t_1)\not= 0$), soit $t_2-t_1\in \pi\,\Z$ et $s_2-s_1\in L\,\Z$.


\ques{I.2)a)}Montrons la propri{\'e}t{\'e} par r{\'e}currence sur $p$.
\begin{itemize}
\item pour $p=1${\,}: l'application $M$ r{\'e}alise une bijection de $[s_1,s_1+L[$ sur $B$. Comme $N_2\in B$, il existe un unique $s_2\in \R$ tel que $s_1\leq s_2 < s_1+L$ et $M(s_2)=N_2$.
\item soit $p\geq 2$ et supposons la propri{\'e}t{\'e} v{\'e}rifi{\'e}e au rang $p-1$. Si $N_1,N_2,\dots ,N_{p+1}$ sont des points de $B$ et si $N_1=M(s_1)$,
l'hypoth{\`e}se de r{\'e}currence au rang $p-1$ d{\'e}montre l'existence et l'unicit{\'e} d'une suite $(s_2,\dots ,s_{p})$ telle que $M(s_{i+1})=N_{i+1}$ et $s_i\leq s_{i+1}< s_i+L$ pour $1\leq i\leq p-1$. Il reste  {\`a} appliquer la propri{\'e}t{\'e} au rang 1 aux points $M_p$ et $M_{p+1}$ pour conclure.
\end{itemize}

\ques{I.2)b)}Supposons que $M(s'_1)=M(s_1)=N_1$ et notons
$(s'_2,\dots ,s'_{p+1})$ associ{\'e}e {\`a} ce nouveau choix d'abscisse
curviligne de $N_1$. Il existe alors un entier relatif $q$ tel que
$s'_1=s_1+qL$, et la suite $(s_2+qL,s_2+qL,\dots ,s_{p+1}+qL)$
v{\'e}rifie les conditions caract{\'e}risant  $(s'_2,\dots ,s'_{p+1})$. On
en d{\'e}duit que $s'_i=s_i+qL$ pour tout $i$, et en particulier{\,}:
$${s'_{p+1}-s'_1\over L}={s_{p+1}-s_1\over L}.$$
L'entier $m$ ne d{\'e}pend donc pas du $s_1$ choisi, mais uniquement de la suite de points $(N_1,\dots ,N_{p+1})$.

\vskip 3mm
Comme $s_{p+1}< s_p+L \leq s_{p+1} +2L < \dots < s_1+pL$, on a n{\'e}cessairement $m<p$.

\ques{I.3)}

$$\epsfxsize=8cm\epsfysize=6cm \epsffile{m05bd1fa.eps}$$


\section*{II. Th{\'e}or{\`e}me de Birkhoff}

\ques{II.1)a)}L'application $M$ est de classe $C^k$ sur $\R$, donc $(s,s')\mapsto M(s')-M(s)$ est de classe $C^k$ de $\R^2$ dans $\R^2$.
\begin{itemize}
\item l'application $u\mapsto ||u||$ est continue de $\R^2$ dans $\R$, donc $\psi$ est continue sur $\R^2$ comme compos{\'e}e d'applications continues.
\item l'application $u\mapsto ||u||$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\R^2\setminus\{0\}$, donc $\psi$ est de classe $C^k$ sur $\Omega$, comme compos{\'e}e d'applications de classe $C^k$ (en remarquant que $ M(s')-M(s)$ est non nul pour $(s,s')\in \Omega$).
\end{itemize}

\ques{II.1)b)}Pour $(s,s')\in \Omega$, nous pouvons {\'e}crire{\,}:
$$\part {\psi}s(s,s')={\d\ps{-\vec T(s)}{\vec{M(s)M(s')}}\over \wtr 15\norme{M(s')M(s)}}
=\cos(\theta)$$
en remarquant que  $\left|\left|\vec T(s)\right|\right|=1$, et en notant $\theta$ l'angle des vecteurs
$\overrightarrow{M(s')M(s)}$ et $\vec T(s)$.

\vskip .3cm
Par sym{\'e}trie, la d{\'e}riv{\'e}e partielle  $\d\part {\psi}s(s,s')$ est le cosinus de l'angle $\theta'$ que font les vecteurs  $\overrightarrow{M(s)M(s')}$ et $\vec T(s')$.

\ques{II.2)a)}Comme $\psi(s+L,s')=\psi(s,s'+L)$ pour tout $(s,s')$, l'application $\psi$ est major{\'e}e et  sa borne sup{\'e}rieure sur $\R^2$ est {\'e}gale {\`a} la borne sup{\'e}rieure de sa restriction sur le compact $[0,L]^2$. Comme $\psi$ est continue, ce sup est un maximum{\,}: $\psi$ admet donc un maximum absolu sur $\R^2$.

\ques{II.2)b)}Soit $(s,s')$ un point en lequel $\psi$ est maximale. Comme $\psi$ est strictement positive sur $\Omega$ et nulle en dehors de $\Omega$, $(s,s')$
est {\'e}l{\'e}ment de $\Omega$. Les d{\'e}riv{\'e}es partielles de $\psi$ en $(s,s')$ (qui existent d'apr{\`e}s la question 1.a) sont donc nulles. On en d{\'e}duit que
les angles $\theta$ et $\theta'$ associ{\'e}s aux points $M(s)$ et $M(s')$ sont droits{\,}: les tangentes {\`a} $B$ en $M(s)$ et $M(s')$ sont orthogonales
au segment $[M(s),M(s')]$. En choisissant $M_0$ {\'e}gal au milieu de $[M(s),M(s')]$ et $u=\overrightarrow{M(s)M(s')}$, nous obtiendrons une trajectoire
de type (1,2){\,}:
$$\cases{M_1=M(s'),\ M_2=M(s),\ M_3=M(s'),\dots&\cr
               \noalign{\vskip 3mm}
               m=\d{s'+L-s'\over L}=1&\cr}.$$

\ques{II.3)a)}Il suffit de poser{\,}:
\begin{itemize}
\item $\alpha _1=0$ et $\alpha_2=L/2${\,};
\item $\alpha _{i+1}=\alpha _i+L$ pour $2\leq i\leq m${\,};
\item $\alpha _{i+1}=\alpha _i$ pour $m+1\leq i\leq p-1$.
\end{itemize}

\ques{II.3)b)}Nous avons $s_1<s_2<s_1+L$ et deux cas se pr{\'e}sentent{\,}:
\begin{itemize}
    \item si $s_3=s_2$, on choisit $s'_2\in\,]s_1,s_2[${\,}: on a
    bien $(s_1,s'_2,s_3,\dots ,s_p)\in W${\,};
    \item si $s_3=s_2+L$, on choisit $s'_2\in\,]s_2,s_2+L[$ et on a
    toujours $(s_1,s'_2,s_3,\dots ,s_p)\in W$.
\end{itemize}
Dans les deux cas, les points $A_1=M(s_1)$, $A'_2=M(s'_2)$ et
$A_3=M(s_3)$ sont distincts et
$$||\overrightarrow{A_1A_2}||+||\overrightarrow{A_2A_3}||=||\overrightarrow{A_1A_3}||<||\overrightarrow{A_1A'_2}||+||\overrightarrow{A'_2A_3}||.$$
Cette derni{\`e}re in{\'e}galit{\'e} est stricte car $A'_2$ n'est pas sur le segment
$A_1A_3$(trois points distincts de $B$ ne sont jamais align{\'e}s).
On en d{\'e}duit{\,}:
$$F(s_1,\dots
,s_p)=||\overrightarrow{A_1A_2}||+||\overrightarrow{A_2A_3}||+\cdots
+||\overrightarrow{A_pA_1}||<||\overrightarrow{A_1A'_2}||+||\overrightarrow{A'_2A_3}||+\cdots
+||\overrightarrow{A_pA_1}||=F(s_1,s'_2,s_3,\dots ,s_p).$$

\vskip .3cm
La construction pr{\'e}c{\'e}dente se g{\'e}n{\'e}ralise sans probl{\`e}me au cas o{\`u}
il existe $i$ compris entre 1 et $p-2$ tel que $A_i\not=
A_{i+1}=A_{i+2}$. Seul le cas $A_{p-1}\not= A_p=A_1$ demande (peut-{\^e}tre) une
attention particuli{\`e}re{\,}: nous avons ici
$s_{p-1}<s_p<s_{p-1}+L$ et $s_p=s_1+(m-1)L$ ou $s_p=mL$. Dans le
premier cas, on choisit $s'_p\in\, ]s_p,s_{p-1}+L[${\,}; dans le
second, on choisit $s'_p\in\,]s_{p-1},s_p[$. On termine alors la
preuve comme pr{\'e}c{\'e}demment.

\ques{II.3)c)}Remarquons tout d'abord que $W$ est une partie
ferm{\'e}e de $\R^p$, puisque c'est l'image r{\'e}ciproque du ferm{\'e}
$[0,L]^{p-1}\times [(m-1)L,mL]$ par l'application continue
$(s_1,s_2,\dots ,s_p)\mapsto (s_2-s_1,s_3-s_2,\dots,
s_p-s_{p-1},s_p-s_1)$. La partie $K=\{(s_1,s_2,\dots ,s_p)\in W,\ s_1\in
[0,L]\}$ est compacte car ferm{\'e}e born{\'e}e{\,}:
\begin{itemize}
    \item $K$ est l'intersection des ferm{\'e}s $W$ et $[0,L]\times
    \R^{p-1}${\,};
    \item $K$ est contenue dans $[0,mL]^p$.
\end{itemize}
Pour $(s_1,\dots ,s_p)\in W$, il existe un entier relatif $k$
tel que $s_1-kL\in [0,L]$. On en d{\'e}duit que $(s_i-kL)_{1\leq i\leq p}\in K$ et que $\psi(s_1-kL,s_2-kL,\dots
,s_p-kL)=\psi(s_1,s_2,\dots ,s_k)$. Ainsi, $\psi$ {\'e}tant continue,
elle sera major{\'e}e sur le compact $K$ donc sur $W$, et{\,}:
$$\sup_{s\in W}\psi(s)=\sup_{s\in K}\psi(s)=\max_{s\in
K}\psi(s).$$
Il existe donc un $s\in W$ en lequel $\psi$ atteint son maximum,
qui est strictement positif puisque $\psi$ est positive et non
nulle d'apr{\`e}s le a).

\ques{II.3)d)}Soit $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_p)$ un point en lequel
$\psi$ atteint son maximum{\,}; notons $A_i=M(\alpha_i)$ pour
$1\leq
i\leq p$, et prolongeons cette suite en une suite $(A_n)_{n\geq 0}$ de p{\'e}riode $p$.
Fixons ensuite un point $M_0$ int{\'e}rieur au
segment $[M(\alpha_p),M(\alpha_1)]$, posons $\overrightarrow v=
\overrightarrow{M(\alpha_{p})M(\alpha_{1})}$ et notons $(M_n)_{n\geq
0}$ la trajectoire d{\'e}finie par $(M_0,\overrightarrow v)$.

\vskip 3mm
$\bullet$ D'apr{\`e}s le b), les couples $(\alpha_1,\alpha_2),\dots
,(\alpha_{p-1},\alpha_p),(\alpha_p,\alpha_1)$
sont {\'e}l{\'e}ments
de $\Omega$, donc $\psi$ est diff{\'e}rentiable au point $\alpha$ et ses
d{\'e}riv{\'e}es partielles s'annulent en $\alpha$. Pour $i\in\{1,\dots ,p\}$,
notons $\theta_1$ (resp. $\theta_2$) l'angle que font les vecteurs $\d\overrightarrow{A_{i-1}A_i}$ et $\d\vec T(\alpha_i)$ (resp. $\d\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ et
$\vec T(\alpha_i)$. D'apr{\`e}s la question 1.b., nous
avons{\,}:
$$0=\part F{s_i}(\alpha)=\cos(\theta_1)+\cos(\theta_2),$$
et donc $\theta_2=\pi-\theta_1$. Cette propri{\'e}t{\'e} traduit que
$M_i=A_i$ pour tout $i\geq 1${\,}: la trajectoire $(M_n)$ est donc
de p{\'e}riode $p$.

\vskip 3mm
$\bullet$ comme $s_i<s_{i+1}< s_i+L$ pour tout $i\in \{1,\dots
,p-1\}$ et $s_1+(m-1)L< s_p<mL$ (la suite $(A_1,\dots ,A_p,A_1)$
ne contient pas deux points cons{\'e}cutifs {\'e}gaux), on en d{\'e}duit
que la suite $(s_1,s_2,\dots ,s_p,s_1+mL)$ v{\'e}rifie les
conditions de la question I.2.a. pour la ligne polygonale
$(M_1,M_2,\dots ,M_p,M_{p+1})${\,}: le nombre de rotation de cette
ligne est donc {\'e}gale {\`a} $m${\,}: il existe une
trajectoire de type $(m,p)$.

\section*{III. Billard elliptique}

\ques{III.1)}En d{\'e}rivant la relation
$2a=||\overrightarrow{OM(s)}||+||\overrightarrow{O'M(s)}||$,
nous
obtenons{\,}:
$$\forall s\in \R,\ 0={\ps {\vec T(s)}{\vec {OM(s)}}\over \wtr 15\norme
{OM(s)}}+{\ps {\vec T(s)}{\vec {O'M(s)}}\over \wtr 15\norme
{O'M(s)}}=\ps {\vec T(s)}{\vec u+\vec v}$$
en notant $\d\vec u={\vec {OM(s)}\over \wtr 15\norme {OM(s)}}$ et $\d\vec v={\vec {O'M(s)}\over \wtr 15\norme
{O'M(s)}}$.

\vskip .3cm
Nous en d{\'e}duisons que la tangente {\`a} l'ellipse en $M(s)$ est
orthogonale  au vecteur $\vec u+\vec v$, qui dirige la
bissectrice int{\'e}rieure du triangle $O'M(s)O$ en $M(s)${\,}: la
tangente est donc la bissectrice ext{\'e}rieure.

\ques{III.2)a)}Soit $\vec u$ un vecteur directeur de $D$. Si $P_1$ et $P_2$ sont deux points de $D$ et si
$\vec {n_1}$ et $\vec {n_2}$ sont deux vecteurs unitaires normaux
{\`a} $D$, il existe $\ep\in \{-1,1\}$ et $\la \in \R$ tel que $\vec
{n_2}=\ep\,\vec {n_1}$ et $\vec{P_1P_2}=\la\,\vec u$. Nous avons
alors{\,}:
$$\ca E(D,\vec {n_2},P_2)=\ps {\vec{OP_1}+\la \vec u}{\ep\,\vec
{n_1}}\ps {\vec{O'P_1}+\la \vec u}{\ep\,\vec {n_1}}=\ps
{\vec{OP_1}}{\vec {n_1}}\ps {\vec{O'P_1}}{\vec {n_1}}=\ca
E(D,\vec {n_2},P_1)$$
car $\ep^2=1$ et $\vec u$ est orthogonal {\`a} $\vec {n_1}$.

\ques{III.2)b)}Fixons $P\in D$ et soit $\vec n$ un vecteur unitaire normal {\`a} $D$. Si $M$ est un point de $\ca P$,
$\ps {\vec{MP}}{\vec {n}}$ est la ``distance alg{\'e}brique'' du point
$M$ {\`a} la droite $D$ (la valeur est n{\'e}gative si $M$ est dans
le demi-plan d{\'e}limit{\'e} par $D$ et dirig{\'e} par $\vec n$, n{\'e}gative
sinon). On en d{\'e}duit donc{\,}:

\begin{itemize}
    \item l'{\'e}nergie de $D$ par rapport {\`a} $O$ et $O'$ est le produit des distances alg{\'e}briques de $O$ et $O'$ {\`a}
    $D${\,};
    \item l'{\'e}nergie est nulle si et seulement si l'un des points
    $O$ ou $O'$ est sur $D${\,};
    \item l'{\'e}nergie est strictement positive si $O$ et $O'$ sont
    dans un m{\^e}me demi-plan ouvert d{\'e}limit{\'e} par $D${\,};
    \item l'{\'e}nergie est strictement n{\'e}gative si $O$ et $O'$ sont
    s{\'e}par{\'e}s par la droite $D$.
\end{itemize}

\ques{III.3)a)}Remarque{\,}: les mesures $\phi(s)$ et $\phi'(s)$
sont d{\'e}finies sans ambuigu{\"\i}t{\'e} car les angles mesur{\'e}s ne
sont jamais plats (les tangentes {\`a} l'ellipse ne passent jamais par $O$ ou $O'$){\,}:
il n'existe aucune valeur de $s$ pour laquelle
on pourrait avoir {\`a} choisir entre 0 et $\pi$).

\vskip .3cm
En reprenant les notations du 1, l'angle mesur{\'e} par $\phi(s)$
(resp. par $\phi'(s)$) est l'angle que font les droites engendr{\'e}es
par les vecteurs $\vec T(s)$ et $\vec u$ (resp. $\vec v$).  D'apr{\`e}s le
1., $\phi(s)+\phi'(s)=0$ mod ($\pi$), et donc
$\phi(s)+\phi'(s)=\pi$ (les mesures $\phi(s)$ et $\phi'(s)$ sont
des {\'e}l{\'e}ments de $]0,\pi[$).

\vskip 3mm
On en d{\'e}duit directement{\,}:
$$\ca E(D(s))=\sin \phi(s)
\norme{OM(s)}\times \sin \phi'(s)\norme{O'M(s)}=\sin^2 \phi(s)
\norme{OM(s)}\,\norme{O'M(s)}.$$

\ques{III.3)b)}L'ellipse est param{\'e}tr{\'e}e, en coordonn{\'e}es polaires,
par{\,}: $\theta=t$ et $OM=\rho=\d{b^2\over a-c\cos t}$. L'angle $\phi$ est {\'e}gal {\`a}
$\pi-V(s)$, o{\`u} $V(s)$ est l'angle des vecteurs $\vec {0M(s)}$ et
$\vec T(s)$. La formule usuelle donne la tangente de cet angle
$V(s)${\,}:
$$\tan \phi(s)=-\tan V(s)=-{\rho(t)\over \rho'(t)}={a-c\cos t\over c\sin t}.$$
en notant $t$ l'ant{\'e}c{\'e}dent de $s$ par le diff{\'e}omorphisme $g$. On
en d{\'e}duit{\,}:
\begin{eqnarray*}
\sin^2\phi(s)&=&{1\over \wtr 14\cotan^2\phi(s)+1}={(a-c\cos
    t)^2\over \wtr 14 c^2\sin^2t+(a-c\cos t)^2}={(a-c\cos
    t)^2\over \wtr 14 c^2+a^2-2ac\cos t}\\
\\
\ca E(D(s))&=&\sin^2\phi(s)\rho(t)(2a-\rho(t))={(a-c\cos t)^2\over \wtr 13 c^2+a^2-2ac\cos t}\times{b^2\over \wtr 13 a-c\cos
t}\times{2a(a-c\cos t)-b^2\over \wtr 13 a-c\cos
    t}\vtr3\\
&=&b^2\,{2a^2-b^2-2ac\cos t\over \wtr 13 c^2+a^2-2ac\cos t}=b^2
\end{eqnarray*}

\ques{III.4)a)}Nous avons $b^2=\sin^2 \phi(s)
\norme{OM(s)}\norme{O'M(s)}$ pour tout $s\in \R$.

\ques{III.4)b)}La relation pr{\'e}c{\'e}dente
donne donc{\,}:
$$\forall\,s\in \R,\ h(s)= {b^2\over
\norme{OM(s)}\norme{O'M(s)}}.$$
Comme la fonction $s\mapsto M(s)$ est de classe $C^{\infty}$ et {\`a}
valeur dans $\C\setminus\{O,O'\}$, $h$ est de classe
$C^{\infty}$ comme compos{\'e}e de fonctions de classe $C^{\infty}$
(pour tout $A$, l'application $M\mapsto \norme{AM}$ est de classe
$C^{\infty}$ sur $\cal P\setminus \{A\}$). $M$ {\'e}tant d'autre part
$L$-p{\'e}riodique, $h$ l'est {\'e}galement.

\vskip .3cm
Nous avons ensuite, pour $s\in \R$, en notant $t=g^{-1}(s)$ et $\rho{\,}:\ t\mapsto |f(t)|${\,}:
$$\dif h s(s)=-2{b^2\over
\rho^2(t)(2a-\rho(t))^2}\,\rho'(t)(a-\rho(t))\dif{g^{-1}}s(s)$$
donc $\d\dif h s(s)$ est du signe de $\rho'(t)(\rho(t)-a)$. Mais
le cercle de centre $O$ et de rayon $a$ coupe l'ellipse $\ca E$ en
les deux points d'abscisses curvilgnes $L/4$ et $3L/4$ (comme
$\ca E{\,}:\ OM+O'M=2a$, les points de $\ca E$ v{\'e}rifiant $OM=a$
sont sur la m{\'e}diatrice du segment $[O,O']$). Nous obtenons donc les variations
suivantes{\,}:



\begin{itemize}
    \item $h$ est strictement d{\'e}croissante sur $[0,L/4]${\,};
    \item $h$ est strictement croissante sur $[L/4,L/2]${\,};
    \item $h$ est strictement d{\'e}croissante sur $[L/2,3L/4]${\,};
    \item $h$ est strictement croissante sur $[3L/4,L]$.
\end{itemize}

\ques{III.5)}Notons $\rho$ la distance $OM(s)$, $\phi$ l'angle $\phi(s)$, $\phi'$ l'angle $\phi'(s)$,
$\vec T$ le vecteur $\vec T(s)$ et $\vec N$ le
vecteur unitaire directement normal {\`a} $\vec T${\,}: $(M(s),\vec T,\vec
N)$ est le rep{\`e}re de Fresnet au point de param{\`e}tre $s$. Nous
pouvons alors {\'e}crire, en notant $\vec n$ un vecteur unitaire normal {\`a} $D(s,\theta)${\,}:
\begin{itemize}
    \item $\vec{OM}=\rho\left(-\cos \phi \vec T-\sin \phi\vec
    N\right)${\,};
    \item $\vec{O'M}=(2a-\rho)\left(-\cos \phi' \vec T-\sin \phi'\vec
    N\right)=(2a-\rho)\left(\cos \phi \vec T-\sin \phi\vec N\right)${\,};
    \item $\vec n=\pm \left(-\sin \theta \vec T +\cos \theta \vec
    N\right)$.
\end{itemize}
On en d{\'e}duit{\,}:
\begin{eqnarray*}
\ca E(D(s,\theta))&=&\rho(2a-\rho)\ps{-\cos \phi \vec T-\sin
\phi\vec
N}{-\sin \theta \vec T +\cos \theta \vec N}\ps{\cos \phi \vec T-\sin \phi\vec
N}{-\sin \theta \vec T +\cos \theta \vec N}\\
&=&\rho(2a-\rho)(\sin\theta\cos
\phi-\cos\theta\sin\phi)(\sin\theta
\cos\phi+\cos\theta\sin\phi)\\
&=&{\ca E(D(s))\over
\sin^2\phi}\,(\sin^2\theta\cos^2\phi-\cos^2\theta\sin^2\phi)\\
&=&{b^2\over \sin^2\phi}\,\left((1-\cos^2\theta)\cos^2\phi-\cos^2\theta(1-\cos^2\phi)\right)\\
&=&b^2\,{\cos^2\theta-\cos^2\phi\over \sin^2\phi}.
\end{eqnarray*}

\ques{III.6)}Nous pouvons {\'e}crire $E(s,u)=\d{b^2\over
h(s)}(u^2-1+h(s))$, donc $E$ est de classe $C^{\infty}$ et de
p{\'e}riode $L$ par rapport {\`a} $u$. On en d{\'e}duit que $E$ est born{\'e}e et
qu'elle atteint ses bornes (on peut se limiter {\`a} {\'e}tudier $E$ sur
le compact $[0,L]\times [-1,1]$). Si $E$ atteint un extr{\'e}mum
global en un point $(s,u)$ avec $u\in ]-1,1[$, nous aurons alors{\,}:
$$0=\part Eu(s,u)=2b^2\,{u\over h(s)}$$
et donc $u=0$. On en d{\'e}duit que $E$ atteint ses extr{\'e}ma globaux
en des points de la forme $(s,-1)$, $(s,0)$ ou $(s,1)$, d'o{\`u} la
distinction{\,}:
\begin{itemize}
    \item si $u=1$ ou $-1$, $D(s,\theta)=D(s)$ et $E=b^2${\,};
    \item si $u=0$, $E(s,u)={b^2\over h(s)}(h(s)-1)=F(s)${\,}: en
    d{\'e}rivant cette expression, on obtient $\d F'(s)={b^2\over
    h^2(s)}\,h'(s)$, donc $F$ pr{\'e}sente les m{\^e}mes variations que
    $h$.
\end{itemize}
Les valeurs extr{\'e}males prises par $E(s,u)$ sont donc les extrema de
l'ensemble
$$\{b^2,E(0,0),E(L/4,0),E(L/2,0),E(3L/4,0)\}.$$
Quand
$s=0$ ou $s=L$, $\phi(s)=\pm\pi/2$ et $E(s,0)=0$. Quand $s=L/4$ ou
$s=3L/4$, $D(s,0)$ est la normale {\`a} l'ellipse, i.e. la m{\'e}diatrice
du segment $[O,O']${\,}: on en d{\'e}duit que $E(s,0)=-c^2$. Les
extrema de la fonctions $E$ sont donc{\,}:
\begin{itemize}
    \item $b^2$, atteint pour $s$ quelconque et $u=\pm 1$, i.e. pour $D(s,u)$ tangente {\`a} $\ca
    E${\,};
    \item $-c^2$, obtenue pour la droite $D(L/4,0)$, m{\'e}diatrice du
    segment $[0,0']$.
\end{itemize}


\ques{III.7)a)}Pour $n\geq 1$, choisissons $s$ tel que $M_n=M(s)$
et notons $\theta$ l'angle de la tangente {\`a} $\ca E$ en
$M_n$ et de la droite $M_{n-1}M_n$. Alors l'angle de cette m{\^e}me
tangente avec la droite $M_{n-1}M_n$ est $\pi-\theta$, ce qui
donne{\,}:
$$\ca E(M_{n-1}M_n)=E(s,\cos \theta)=E(s,\cos(\pi-\theta))=\ca E(M_{n}M_{n+1})$$
car $E$ est paire par rapport {\`a} $u$. On en d{\'e}duit qu'il y a
conservation de l'{\'e}nergie {\`a} chaque rebond{\,}: toutes les droites
$M_nM_{n+1}$ ont m{\^e}me {\'e}nergie $E_0$.

\ques{III.7)b)}Soit $b_0=\sqrt{E_0}$ et soit $\ca E_0$ l'ellipse
de foyers $O$ et $O'$ et de demi-petit axe $b_0$. Soit $D$ une droite
non tangente {\`a} l'ellipse $\ca E_0${\,}; si $D$ coupe l'ellipse, la
question 6) prouve que $\ca E(D)<b_0^2$. Sinon, il existe une tangente $D'$ {\`a}
$\ca E_0$ telle que $D'$ soit parall{\`e}le {\`a} $D$, $O$ et $O'$ {\'e}tant
s{\'e}par{\'e}s de $D$ par $D'$. La propri{\'e}t{\'e} 2)b) montre alors que
l'{\'e}nergie de $D$ par rapport aux points $O$ et $O'$ est positive
et strictement plus grande que celle de $\ca D'$, i.e. que $\ca
E(D)<b_0^2$. On en d{\'e}duit que les droites tangentes {\`a} $\ca E_0$
sont exactement les droites $D$ telles que $\ca E(D)=E_0${\,}:
les droites $M_nM_{n+1}$ sont donc toutes tangentes {\`a} l'ellipse
$\ca E_0$.

\section*{IV. La transformation $T$}
\ques{IV.1)}C'est le m{\^e}me r{\'e}sultat qu'{\`a} la question III.7){\,}: la
droite r{\'e}fl{\'e}chie a la m{\^e}me {\'e}nergie que la droite incidente.

\ques{IV.2)a)}Il suffit d'appliquer la question II.1.b){\,}: $G_1(s,s')=(s,-\cos (\pi-\theta))=(s,\cos\theta)$ et
$G_2(s,s')=(s',\cos\theta')$, et donc $T\circ G_1(s,s')=(s',\cos
\theta')=G_2(s,s')$.

\ques{IV.2)b)}Nous en d{\'e}duisons que
$\d{\rm Jac}\,T(s,u)\times {\rm Jac}\,G_1(s,s')={\rm
Jac}\,G_2(s,s')$. Or{\,}:
$$\d{\rm Jac}\,G_1(s,s')=\left|\matrix{1&0\cr
                                         \noalign{\vskip 3mm}
                                         -\d\partxx{\psi}s&-\d\partxy{\psi}{s}{s'}(s,s')\cr}\right|=-\partxy{\psi}{s}{s'}(s,s')$$
$$\d{\rm Jac}\,G_2(s,s')=\left|\matrix{0&1\cr
                                         \noalign{\vskip 3mm}
                                         \d\partxy{\psi}s{s'}&\d\partxx{\psi}{s'}(s,s')\cr}\right|=-\partxy{\psi}{s}{s'}(s,s')$$

donc ${\rm Jac}\,T(s,u)=1$ (on admet que
$\d\partxy{\psi}{s}{s'}$ ne s'annule pas).


\ques{IV.3)a)}Nous avons $\d E(s,u)={b^2\over
\sin^2\phi(s)}\,(u^2-\cos^2\phi(s))$, donc il suffit de poser{\,}:
$$U(s,r)=\sqrt{\d{r\over b^2}\,\sin^2\phi(s)+\cos^2\phi(s)}$$
pour tout $s\in \R$ et $r\in \,]0,b^2[$. L'application $U$ ainsi
d{\'e}finie est {\`a} valeur dans $]0,1[$, de classe $C^{\infty}$ (car
$\phi$ l'est)  et v{\'e}rifie bien $E(s,U(s,r))=r$ pour tout $(s,r)\in
\R\times ]0,b^2[$.

\ques{IV.3)b)}Posons $u=U(s,r)$ et $(s',u')=T(s,u)$. Nous avons
donc $(T\circ J)(s,r)=(s',u')$ et $T_1(s,U(s,r))=T_1(s,u)=s'$. Nous
avons donc{\,}:
$$r=E(s,u)=E(s',u')$$
donc $u'=\pm U(s',r)$ (car pour tout $s'$, $E(s',u_1)=E(s',u_2)\Longleftrightarrow
u_1^2=u_2^2$). Comme on admet que $u'=T_2(s,U(s,r))\geq 0$, on a
ensuite $u'=U(s',r)$, ce qui s'{\'e}crit{\,}:
$$J(T_1(s,U(s,r)),r)=(s',U(s',r))=(s',u')=(T\circ J)(s,r).$$


\ques{IV.3)c)}Remarquons tout d'abord quelques propri{\'e}t{\'e}s qui nous
seront utiles pour la suite{\,}:
\begin{itemize}
    \item la fonction $\mu$ est strictement positive (voir par
    exemple la formule de la question 3.a qui d{\'e}finit $U$).
    \item $\nu(s)$ est une abscisse du point atteint par la
    trajectoire partant de $M(s)$ avec une {\'e}n{\'e}rgie $E_0$.
\end{itemize}
La relation pr{\'e}c{\'e}dente s'{\'e}crit{\,}:
$$\forall\,(s,r)\in \R\times ]0,b^2[,
T_2(s,U(s,r))=U(T_1(s,U(s,r)),r).$$
La r{\^e}gle de la cha{\^\i}ne permet de d{\'e}river cette relation par rapport {\`a} $r$ et $s$, pour obtenir
les deux nouvelles relations{\,}:
$$\cases{\d\part {T_2}u(s,U)\part Ur(s,r)=\part
Us(T_1(s,U),r)\part
{T_1}u(s,U)\part Ur(s,r)+\part Ur(T_1(s,U),r)&\ \ \ (1)\cr
  \noalign{\vskip 3mm}
  \d\part {T_2}s(s,U)+\part {T_2}u(s,U)\part Us(s,r)=\part
  Us(T_1(s,U),r)\left(\part{T_1}s(s,U)+\part{T_1}u(s,U)\part
  Us(s,r)\right)&\ \ \ (2)\cr}$$
toujours pour tout $(s,r)$, en notant $U=U(s,r)$ pour simplifier l'{\'e}criture.
Nous pouvons maintenant passer au calcul demand{\'e}{\,}:
$$(\mu\circ\nu)(s)\nu'(s)=\part Ur(T_1(s,U),E_0)\left(\part
{T_1}s(s,U)+\part {T_1}u(s,U)\part
Us(s,E_0)\right)$$
$${}=\part Ur(s,r)\left(\part {T_2}u(s,U)-\part
Us(T_1(s,U),r)\part
{T_1}u(s,U)\right)\left(\part {T_1}s(s,U)+\part {T_1}u(s,U)\part
Us(s,E_0)\right)$$
en notant $U=U(r,E_0)$ et en utilisant la relation (1). Il est
maintenant temps de se souvenir que le d{\'e}terminant jacobien de $T$
est {\'e}gal {\`a} 1, i.e. que $\d\part {T_1}s(s,U)\part {T_2}u(s,U)=1+\part {T_1}u(s,U)\part
{T_2}s(s,U)$, ce qui permet d'{\'e}crire, en utilisant la relation
(2){\,}:
\begin{eqnarray*}
&&\left(
\part {T_2}u(s,U)
-
\part Us(T_1(s,U),r)\part {T_1}u(s,U)
\right)\left(
\part {T_1}s(s,U)
+\part{T_1}u(s,U)\part Us(s,E_0)
\right)\\
&=&1+\part {T_2}s(s,U)\part {T_1}u(s,U)+\part
{T_2}u(s,U)\part{T_1}u(s,U)\part Us(s,E_0)
-\part Us(T_1(s,U),r)\part {T_1}u(s,U)\part {T_1}s(s,U)\\
&&\hskip 1cm{}-\part Us(T_1(s,U),r)\left(\part
{T_1}u(s,U)\right)^2\part
Us(s,E_0)\\
&=&1+\part {T_1}u(s,U)\underbrace{\left[\part {T_2}s(s,U)+\part
{T_2}u(s,U)\part
Us(s,E_0)-\part Us(T_1(s,U),r)\left(\part {T_1}s(s,U)
+\part {T_1}u(s,U)\part
Us(s,E_0)\right)\right]}_{=0}\\
&=&1
\end{eqnarray*}
Nous obtenons donc{\,}:
$$\forall s\in \R,\ (\mu\circ\nu)(s)\nu'(s)=\part
Ur(s,r)=\mu(s).$$


\ques{IV.4)}Comme $\mu$ est continue, $\chi$ est d{\'e}rivable et
$\chi'(s)=\mu(s)$ pour tout $s\in \R$. On en d{\'e}duit{\,}:
$$\forall\,s\in \R,\ (\chi\circ \nu-\chi)'(s)=(\mu\circ
\nu)(s)\,\nu'(s)-\mu(s)=0$$
ce qui prouve que $\chi\circ \nu-\chi$ est constante sur $\R${\,}:
il existe donc un r{\'e}el $\chi_0$ (ne d{\'e}pendant que de $E_0$)
tel que $\chi\circ \nu(s)=\chi(s)+\chi_0$ pour tout $s\in \R$.

\vskip .3cm
S'il existe une trajectoire p{\'e}riodique pour laquelle les droites
$M_nM_{n+1}$ sont toutes tangentes {\`a} $B'$, l'{\'e}nergie de toutes
ces droites par rapport aux points $O$ et $O'$ est {\'e}gal {\`a} $E_0$.
Notons $s_0$ une abscisse curviligne de $M_0$, $u_0$
le cosinus de l'angle que fait la droite $M_0M_1$ avec le vecteur tangent $\vec T(s_0)$,
et d{\'e}finissons les suites $(s_n)$ et $(u_n)$ par r{\'e}currence{\,}:
$$\forall\,n\in\N,\ (s_{n+1},u_{n+1})=T(s_n,u_n).$$
Quitte {\`a} changer le sens de parcours de la trajectoire p{\'e}riodique, on peut supposer que $u_0\geq
0$, ce qui donne $u_0=U(s_0,E_0)$, puis $u_n=U(s_n,E_0)$ pour tout
$n\geq 1$ (propri{\'e}t{\'e} 3.b) et enfin $s_{n+1}=\nu(s_n)$ pour tout
$n\geq 0$. Nous obtenons donc{\,}:
$$\forall\,n\in \N,\ \chi(s_{n+1})=\chi(s_n)+\chi_0.$$
Si $(m,p)$ est le type de la trajectoire, nous pouvons
{\'e}crire{\,}:

$$p\chi_0=\chi(s_{p})-\chi(s_0)=\int_{s_0}^{s_0+mL}\mu(t)\,{\rm
d}t=m\int_0^L\mu(t)\,{\rm d}t=m\,\chi(L)$$
car $\mu$ est de p{\'e}riode $L$ ($U$ est de p{\'e}riode $L$ par rapport {\`a}
$s$). Ainsi, $\chi_0$ et $\chi(L)$ sont {\sl commensurables}, i.e.
que leur rapport est rationnel.

\vskip .3cm
R{\'e}ciproquement, supposons que $\chi_0$ et $\chi(L)$ sont
commensurables. Comme $0<\nu(0)<L$, nous pouvons {\'e}crire
$\d\chi_0=\chi(\nu(0))-\chi(0)=\int_0^{\nu(0)}\mu(t){\rm d}t$
puis $\d 0<\chi_0 < \int_0^{L}\mu(t){\rm d}t=\chi(L)$. Il existe donc deux entiers naturels $0<m<p$ tels que
$p\chi_0=m\,\chi(L)$. Soit alors $(M_n)$ une trajectoire telle que
les droites $M_nM_{n+1}$
soient tangentes {\`a} $B'$ (il suffit pour cela que la premi{\`e}re
droite $M_0M_1$ le soit). Notons encore $s_0$ une abscisse
curviligne de $M_0$ et $u_0$
le cosinus de l'angle que fait la droite $M_0M_1$ avec le vecteur tangent $\vec T(s_0)$.
Deux cas sont alors {\`a} envisager{\,}:
\begin{itemize}
    \item Si $u_0$ est positif, il est possible de reprendre la construction
    pr{\'e}c{\'e}dente{\,}: les point $M_n$ sont repr{\'e}sent{\'e}s par les abscisses
    curvilignes $s_n$ d{\'e}finies par r{\'e}currence{\,}: $s_{n+1}=\nu(s_n)$
    pour tout $n\geq 0$. Nous avons alors, pour $n$ entier naturel
    quelconque, $\chi(s_{n+1})=\chi(s_n)+\chi_0$, puis
    $$\chi(s_{n+p})=\chi(s_{n})+p\chi_0=\chi(s_n)+m\chi(L)=\chi(s_n+mL).$$
    La fonction $\chi$ {\'e}tant strictement croissante, cela donne
    $s_{n+p}=s_n+mL$, et donc $M_{n+p}=M_n$ pour tout $n$ et la
    trajectoire est p{\'e}riodique.
    \item Si $u_0$ est strictement n{\'e}gatif, consid{\'e}rons la
    trajectoire $(P_n)_{n\geq 0}$ d{\'e}finie par $P_0=M_1$ et
    $P_1=M_0$. Cette trajectoire correspond au cas pr{\'e}c{\'e}dent (comme $P_0P_1$ est tangente {\`a} $B'$, toutes les droites $P_nP_{n+1}$
    sont aussi tangentes {\`a} $B'$){\,}: elle est donc p{\'e}riodique de
    p{\'e}riode $p$, ce qui prouve que $(M_n)$ est {\'e}galement
    p{\'e}riodique de p{\'e}riode $p$. En effet, $P_p=M_1$ et $P_{p+1}=M_0$ donne
    $P_{p-1}=M_2$, et plus g{\'e}n{\'e}ralement $(M_n)_{n\geq
    0}=(P_1,P_0,P_{p-1},P_{p-2},\dots ,P_2,P_1,P_0,\dots)$.
\end{itemize}
\vskip 3mm
Nous avons donc obtenu la C.N.S. suivante{\,}:

\vskip 2mm
Pour qu'il existe une trajectoire p{\'e}riodique ``tangente'' {\`a} $B'$, il
faut et il suffit que $\chi(L)$ et $\chi_0$ soient commensurables.
Dans ce cas, toutes les trajectoires tangentes {\`a} $B'$ sont
p{\'e}riodiques de m{\^e}me p{\'e}riode.

\end{document}
