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\begin{document}

\begin{center}
\Large \bf Concours Centrale-Sup\'elec  2005 \\
Epreuve : MATHEMATIQUES I \qquad   Filière PC \\
------------
\end{center}

\bigskip\bigskip
\noindent
On dit qu'une suite r\'eelle $a=(a_n)_{n \in \N}$ est {\bf ultimement p\'eriodique} 
lorsqu'elle est p\'eriodique \`a partir d'un certain rang, c'est-\`a-dire s'il existe 
$n_0 \in \N$ et $ p \in \N^*$ tels que : 
$$
({\cal R}) \qquad \forall n \in \N, \quad n\ge n_0 \Rightarrow a_{n+p}=a_n.
$$ 
(L'entier $p$ est une p\'eriode de la suite $(a_n)_{n\ge n_0}$ ). \\
On note $UP$ l'ensemble des suites ultimement p\'eriodiques de r\'eels. \\
L'objet du problème est d'\'etudier quelques propri\'et\'es \'el\'ementaires de ces suites 
et le caract\`ere ultimement p\'eriodique \'eventuel de suites simples. 

\bigskip\bigskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{ \centerline{Partie I -}} 
\begin{itemize}
\item[{\bf I.A -} ]
Montrer que $UP$ est un sous espace vectoriel de l'espace $\R^{\N}$ des suites 
r\'eelles. Est-il de dimension finie ? 



\item[{\bf I.B - }]
Soit $a=(a_n)_{n \in \N}$ un \'el\'ement de $UP$ et ${\cal P}(a)$ l'ensemble des entiers 
$p\ge 1$ tels que la suite $a$ admette $p$ pour p\'eriode \`a partir d'un certain rang. 

\item[I.B.1)] Montrer qu'il existe un entier $T\ge 1$ (que l'on appellera la p\'eriode de 
$a$ ) tel que : 
$$
{\cal P}(a)=\N^{*} T =\{ kT, \; k \in \N^* \}.
$$ 

Que peut-on dire de la suite lorsque $T=1$ ? 

\item[I.B.2)] Montrer qu'il existe un plus petit entier $n_0$ tel que : 
$$
\forall n \in \N, \quad n\ge n_0 \Rightarrow a_{n+T}=a_n.
$$ 
Montrer que, pour tout $p\in {\cal P}(a)$, $n_0$ est le plus petit entier \`a partir duquel la 
suite $(a_n)_{n \in \N}$ devient $p$-p\'eriodique. Combien de param\`etres r\'eels suffisent 
\`a d\'efinir parfaitement $a$ ? 


\item[{\bf I.C -}]
Soit $a=(a_n)_{n \in \N}$ un \'el\'ement de $UP$. 

\item[I.C.1)] Montrer que $a$ est born\'ee et que le rayon de convergence $R_a$ de la s\'erie 
enti\`ere $\dsum a_n x^n$ est strictement positif. À quelle condition n\'ecessaire et 
suffisante $R_a$ est-il \'egal \`a $+\infty$ ? Que vaut-il sinon ? 

\item[I.C.2)] Montrer que la somme de cette s\'erie est une fraction rationnelle. Dans 
quel cas est-ce un polyn\^ome ? 

\item[{\bf I.D - }]
Soit $\dsum a_n x^n$ une s\'erie enti\`ere de rayon de convergence $R>0$, dont la 
somme est la restriction \`a $]-R ,R[$  d'une fraction rationnelle. \\
La suite $(a_n)_{n \in \N}$ est-elle ultimement p\'eriodique ? 

\end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{ \centerline{Partie II -} }

\begin{itemize}
\item[{\bf II.A -}]  {\bf Exemple 1}
 
On d\'efinit la suite $(F_n)_{n \in \N}$ par : 
$$
F_0=0, \; F_1=1  \mbox{ et } \forall n \in \N,\; F_{n+2}=F_{n+1}+ F_n 
$$
et la suite $(a_n)_{n \in \N}$ par $a_n=0$ si $F_n$ est pair et  $a_n=1$ sinon. La suite 
$(a_n)_{n \in \N}$ est-elle ultimement p\'eriodique ? 

D\'eterminer le rayon de convergence et la somme de la s\'erie enti\`ere $\dsum a_n x^n$. 

\item[{\bf II.B -}]  {\bf Exemple 2}
 
On d\'efinit maintenant la suite $(a_n)_{n \in \N}$ par : 
$$
a_0=1   \mbox{ et } \forall n \in \N, \;  a_{2n}=a_n  \mbox{ et } a_{2n+1}=-a_n.
$$ 

\item[II.B.1)] D\'eterminer le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $\dsum a_n x^n$. 
On note $S$ sa somme. 

\item[II.B.2)] Trouver une relation liant $S(x)$ et $S(x^2)$. \\
En d\'eduire que, pour tout $x$, $x\in ]-1,1[$, 
$$
S(x)=\lim_{n \rightarrow +\infty}\dprod_{k=0}^n (1-x^{(2^k)}). 
$$

\item[II.B.3)] \'Etudier, pour $n$ donn\'e dans $\N$, 
$$
\lim_{x \rightarrow 1^-} \left( \frac{S(x)}{(1-x)^n}\right)
$$
et en d\'eduire que  $(a_n)_{n \in \N}$ n'est pas ultimement p\'eriodique. 


\item[{\bf II.C -}]  {\bf Exemple 3}
 
Soit $x=\frac{a}{b}$  un rationnel strictement positif, donn\'e sous forme irr\'eductible. 
On d\'efinit deux suites d'entiers $(r_n)_{n \in \N}$ et $(d_n)_{n \in \N}$ par : 

$\bullet$ $d_0=E(x)$ (partie enti\`ere) et $r_0$ est le reste de la division euclidienne de 
$a$ par $b$. 

$\bullet$  pour tout $n\ge 1$, $r_n$ (resp. $d_n$ ) est le reste (resp. le quotient) de la 
division euclidienne de $10.r_{n-1}$ par $b$. 

\item[II.C.1)] Dans cette question (uniquement), $x=\frac{22}{7}$. 
D\'eterminer $d_0, d_1, \ldots, d_{10}$. 

\item[II.C.2)] Montrer que la suite $(r_n)_{n \in \N}$ est ultimement p\'eriodique. 
Qu'en est-il de $(d_n)_{n \in \N}$? 

\item[II.C.3)] Montrer que, pour tout $n\in \N^*$, $0\le d_n \le 9$. 

\item[II.C.4)] \'Etablir l'\'egalit\'e : 
$$
x=E(x)+\dsum_{n=1}^{+\infty} d_n 10^{-n}.
$$
\end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{ \centerline{Partie III -} }
\noindent
Le but de cette partie est de montrer que le r\'eel $\pi$ n'est pas un \'el\'ement de $\Q$.\\ 
$E=C^{\infty}(\R,\R)$ est l'espace des fonctions de classe $C^{\infty}$ de $\R$ dans lui-même. 
Pour tout \'el\'ement $f$ de $E$, on note $F$ l'application de $\R$ dans $\R$ d\'efinie par : 
$$
 \forall x \in \R, \quad  F(x)=\int_0^x  t f(t) \, dt.
$$

\begin{itemize}
\item[{\bf III.A -}]
 L'application de $E$ qui \`a tout \'el\'ement $f$ associe $F$ est not\'ee $L$. V\'erifier 
que $L$ est une application lin\'eaire de $E$ dans $E$. 

\item[{\bf III.B -}]
On consid\`ere dans cette question un \'el\'ement $f$ de $E$ suppos\'e born\'e sur $\R$ 
et on note $M=\|f\|_{\infty,\R} = \dsup_{ x\in \R}|f(x)|$. 

\item[III.B.1)] Montrer que, pour tout $x$ de $\R$, 
$$
|F(x)|\le M \frac{x^2}{2}.
$$ 
 
\item[III.B.2)] On d\'efinit une suite d'\'el\'ements de $E$ par $f_0=f$ et, pour tout $n$ 
de $\N$, $f_{n+1}=L(f_n)$. 
 
Montrer que, pour tout $n$ de $\N^*$ et tout $x$ de $\R$, 
$$
|f_n(x)| \le \frac{x^{2n}}{2.4\ldots 2n}M. 
$$ 
\item[III.B.3)] Soit $I$ un segment quelconque de $\R$. Montrer que pour tout $n$, $f_n$ est 
born\'ee sur $I$ et $\dlim_{n \rightarrow +\infty}(\dsup_{x\in I}|f_n(x)|)=0$.

\item[{\bf III.C -}]
On prend maintenant dans cette question et dans les suivantes $f=\sin$ , 
et on consid\`ere la suite de fonctions d\'efinie comme dans la question pr\'ec\'edente. 

\item[III.C.1)] D\'eterminer les fonctions $f_1$ et $f_2$. 

\item[III.C.2)] Montrer que, pour tout $n$ de $\N^*$ et tout $x$ de $\R$, 
$$
f_{n+1}(x)=(2n+1)f_n(x)-x^2 f_{n-1}(x).
$$ 

\item[{\bf III.D -}]
Pour $p\in\N$, on note $F_p$ le sous-espace vectoriel de $E$ form\'e des fonctions polyn\^omes
 de degr\'e au plus $p$. 

\item[III.D.1)] On d\'efinit : 
\begin{eqnarray*}
H: F_p \times F_p & \rightarrow & F_p \times F_p \\
       (P,Q) & \mapsto & (P'- Q, P+ Q')
\end{eqnarray*}

V\'erifier que $H$ est un automorphisme de $ F_p \times F_p$. 

\item[III.D.2)] On d\'esigne par $S$ l'ensemble des fonctions paires de $F_p$, par $A$ celui 
des fonctions impaires. 

Montrer que $H(S\times A)= A \times S$.
 

\item[III.D.3)] On consid\`ere la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \N}$ d\'efinie dans la 
question III.C. Montrer que pour tout $n$ de $\N$, il existe un couple unique de fonctions 
$P_n$ et $Q_n$ de $F_n$, $P_n$ paire et $Q_n$ impaire, telles que : 
$$
\forall x\in \R, \quad f_n(x)= P_n(x) \sin x + Q_n(x) \cos x.
$$ 
D\'eterminer $P_n$ et $Q_n$ pour $n=0,1,2$. 

\item[III.D.4)] Montrer que, pour tout $n\in\N^*$ et tout $x\in\R$, 
$$
P_{n+1}(x)= (2n+1) P_n(x)-x^2 P_{n-1}(x).
$$ 
En d\'eduire que les fonctions $P_n$ sont des polyn\^omes \`a coefficients entiers. 

\item[{\bf III.E -}]
On suppose ici que le r\'eel $\pi$ est \'el\'ement de $\Q$, ensemble des nombres 
rationnels.\\ 
Soit donc $p$ \'el\'ement de $\Z$ et $q$ \'el\'ement de $\Z$ tels que $\pi=\frac{p}{q}$. 

\item[III.E.1)] Montrer que la suite 
$$
\left( (2q)^n P_n(\frac{\pi}{2}) \right)_{n \in\N}
$$ 
est une suite d'entiers. Quelle est sa limite ? 

\item[III.E.2)] En d\'eduire que $\pi$ n'est pas rationnel. 


\end{itemize}  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{ \centerline{Partie IV -} }

\noindent
Soit $(a_n)_{n \in \N}$ la suite d\'efinie par, pour tout $n$ de $\N^*$, $a_n=1$ 
si $\sin n > 0$, $a_n=0$ sinon.\\ 
Le but de cette partie est d'\'etudier si cette suite \`a valeurs enti\`eres est \'el\'ement 
de $UP$. 

\begin{itemize}
\item[{\bf IV.A -}]
 On suppose que cette suite est ultimement p\'eriodique. 

\item[IV.A.1)] Montrer qu'il existe un entier $N$ et un entier strictement positif $T$ tels 
que, pour tout entier $k$ sup\'erieur ou \'egal \`a $N$ , le signe de $\sin(kT)$ soit constant. 

\item[IV.A.2)] En d\'eduire que la suite  $(\cos(kT))_{k \in \N}$ est compos\'ee de r\'eels 
strictement positifs \`a partir d'un certain rang. 

\item[{\bf IV.B -}]
 Soit $G=\Z T+ 2 \pi \Z = \{ nT+ 2k \pi, \; (n,k)\in \Z^2 \}$. 

\item[IV.B.1)] Montrer que $G$ est un sous-groupe additif de $\R$. Existe-t-il $a\in\R$ tel 
que $G= a \Z$ ? 

\item[IV.B.2)] On pose $G^+=G\bigcap \R^{+*}$ (ensemble des \'el\'ements strictement positifs de 
$G$ ). Montrer que $G^+$ poss\`ede une borne inf\'erieure $a$. 

\item[IV.B.3)] On suppose $a \in G^+$. Montrer que $G=a \Z$. 

\item[IV.B.4)] $a$ n'est donc pas \'el\'ement de $G^+$. Supposant $a>0$, montrer que l'on 
peut trouver deux \'el\'ements $g$ et $g'$ de $G^+$ tels que $a< g'< g< 2a$. En d\'eduire 
$a=0$. 

\item[{\bf IV.C -}]

\item[IV.C.1)] Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe $g_n \in G$ tel que $0<g_n< 10^{-n}$. 

\item[IV.C.2)] Soit $x$ un r\'eel.\\ 
Construire une suite d'\'el\'ements de $G$ convergeant vers $x$. 

\item[{\bf IV.D -}]

\item[IV.D.1)] Montrer l'existence d'une suite d'entiers positifs  $(k_n)_{n \in \N}$ telle que 
la suite  $(\cos(k_n T))_{n \in \N}$ converge vers $-\frac{1}{2}$. 

Montrer que l'ensemble $\{ \cos(k_n T), \; n \in \N \}$ des termes de cette suite n'est pas de 
cardinal fini. 

\item[IV.D.2)] Construire alors une suite strictement croissante $(y_n)_{n \in \N}$ extraite de 
$(k_n)_{n \in \N}$ telle que la limite de $(\cos(y_n T))_{n \in \N}$ soit $-\frac{1}{2}$. 

\item[IV.D.3)] La suite $(a_n)_{n \in \N}$ est-elle ultimement p\'eriodique ? 



\end{itemize}

\bigskip  
\centerline{{\bf ... FIN ...}} 
\end{document}

